فيديو الدرس: الجذور التكعيبية للعدد واحد الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية إيجاد الجذور التكعيبية للعدد واحد واستكشاف خصائصها. سنبدأ بتعلم المقصود بالجذور التكعيبية للعدد واحد وكيفية حسابها. سنتعلم كيفية حساب حواصل ضرب جذور العدد واحد وحساب القوى السالبة لهذه الجذور وكيفية جمعها وطرحها. وأخيرًا، سنتعلم كيفية تبسيط المقادير باستخدام خصائص هذه الجذور. لنتناول المعادلة ﻉ تكعيب يساوي واحدًا.

أوجد جميع قيم ﻉ التي تحقق ﻉ تكعيب يساوي واحدًا.

هنا لدينا المعادلة ﻉ تكعيب يساوي واحدًا، حيث ﻉ عدد مركب. يمكننا حل هذه المعادلة بعدد من الطرق. إحدى هذه الطرق هي استخدام نظرية ديموافر للجذور. الطريقة الأخرى هي إعادة ترتيب هذه المعادلة لتصبح ﻉ تكعيب ناقص واحد يساوي صفرًا. للقيام بذلك، علينا تحديد جذر واحد واستخدام نظرية العوامل الخطية، ثم إجراء القسمة المطولة لكثيرات الحدود، أو مساواة المعاملات لإيجاد الجذور الأخرى. دعونا ننظر إلى كيفية حل هذه المسألة باستخدام نظرية ديموافر.

سنستخدم نظرية ديموافر للأعداد المركبة المكتوبة بالصورة القطبية. وهي ﻝ جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃، حيث ﻝ هو المقياس و𝜃 هي سعة العدد المركب بالراديان. هذا يوضح أنه يمكننا حساب قيمة ﻉ أس واحد على ﻥ من خلال إيجاد ﻝ أس واحد على ﻥ مضروبًا في جتا 𝜃 زائد اثنين ‏𝜋‏ﻙ على ﻥ زائد ﺕ جا 𝜃 زائد اثنين ‏𝜋‏ﻙ على ﻥ حيث ﻙ يساوي صفرًا أو أي عدد صحيح حتى ﻥ ناقص واحد. ومن ثم، سنبدأ بكتابة العدد واحد بالصورة القطبية. الجزء الحقيقي يساوي واحدًا. والجزء التخيلي يساوي صفرًا. فمن السهل كتابة هذا العدد بالصورة القطبية.

إذا مثلنا العدد واحدًا على مخطط أرجاند، فسنلاحظ أنه يمكن تمثيله بالنقطة التي إحداثياها الكارتيزيان هما واحد، صفر. مقياس هذا العدد هو طول الخط الذي يصل هذه النقطة بنقطة الأصل. من الواضح أنه واحد. السعة هي قياس الزاوية التي يصنعها هذا الخط مع الجزء الموجب من المحور الحقيقي. وتقاس باتجاه عكس دوران عقارب الساعة. نلاحظ أنها صفر. بالصورة القطبية، العدد واحد هو نفسه واحد مضروبًا في جتا صفر زائد ﺕ جا صفر. إذا عوضنا بذلك في المعادلة التي لدينا، فسنجد أن ﻉ تكعيب يساوي واحدًا في جتا صفر زائد ﺕ جا صفر.

وبما أننا سنحل هذه المعادلة، علينا حساب قيمة ﻉ. للقيام بذلك، سنأخذ الجذر التكعيبي لكلا طرفي المعادلة. إذا قارنا ذلك بنظرية ديموافر، فسنجد أن قيمة ﻥ لدينا تساوي ثلاثة. إذن، لا بد أن ﻉ يساوي واحدًا أس ثلث مضروبًا في جتا صفر زائد اثنين ‏𝜋‏ﻙ على ثلاثة زائد ﺕ جا صفر زائد اثنين ‏𝜋‏ﻙ على ثلاثة. وبالطبع يمكننا تبسيط هذا بعض الشيء. نعرف أن واحدًا أس ثلث يساوي ببساطة واحدًا. ويمكن تبسيط السعة صفر زائد اثنين ‏𝜋‏ﻙ على ثلاثة لتصبح اثنين ‏𝜋‏ﻙ على ثلاثة.

والآن نطبق الجزء الأخير من نظرية ديموافر. بما أن قيمة ﻥ تساوي ثلاثة، فسنعوض بـ ﻙ يساوي صفرًا وواحدًا واثنين في هذه المعادلة. إذا عوضنا عن ﻙ بصفر، نحصل على ﻉ يساوي جتا صفر زائد ﺕ جا صفر. ‏‏جتا صفر يساوي واحدًا. وﺕ جا صفر يساوي صفرًا. إذن، أول حل للمعادلة هو ﻉ يساوي واحدًا. بعد ذلك، نعوض عن ﻙ بواحد. وتصبح السعة اثنين ‏𝜋‏ مضروبًا في واحد على ثلاثة، ويساوي اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة. الحل الثاني هو جتا اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة زائد ﺕ جا اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة.

نوجد الحل الأخير بالتعويض عن ﻙ باثنين. ونحصل على ﻉ يساوي جتا أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة زائد ﺕ جا أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة. سعة هذا الحل تقع خارج نطاق السعة الأساسية. وهي 𝜃 أكبر من سالب ‏𝜋‏ وأصغر من أو تساوي ‏𝜋‏. يمكننا إضافة مضاعفات اثنين ‏𝜋‏ إلى أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة أو طرحها؛ لنتمكن من كتابة هذا الحل بالسعة الأساسية.

أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة ناقص اثنين ‏𝜋‏ يساوي سالب اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة. وهكذا نجد أن الجذور التكعيبية للواحد هي: ﻉ يساوي واحدًا. وﻉ يساوي جتا اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة زائد ﺕ جا اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة. وﻉ يساوي جتا سالب اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة زائد ﺕ جا سالب اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة. هذه هي الجذور التكعيبية للعدد واحد، وتسمى كذلك؛ لأن جميعها قيم ممكنة للجذر التكعيبي لواحد.

يمكننا في الواقع كتابة هذه القيم بالصورة الجبرية أيضًا. الحل الأول سيظل واحدًا. الحل الثاني يصبح سالب نصف زائد جذر ثلاثة على اثنين ﺕ. والحل الثالث يصبح سالب نصف ناقص جذر ثلاثة على اثنين ﺕ.

سنتناول الآن مثالًا يوضح خصائص حواصل ضرب الجذور التكعيبية للعدد واحد.

افترض أن ﻉ واحد يساوي ﻫ أس ﺕ اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة، وﻉ اثنين يساوي ﻫ أس سالب ﺕ اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة، جذران تكعيبيان مركبان للعدد واحد. ‏‏(١) احسب ﻉ واحد تربيع. ما علاقة ذلك بـ ﻉ اثنين؟ ‏‏(٢) احسب ﻉ اثنين تربيع. ما علاقة ذلك بـ ﻉ واحد؟

لاحظ أن ﻉ واحد وﻉ اثنين حلان مركبان لـ ﻉ تكعيب يساوي واحدًا، مكتوبان بالصورة الأسية. وهذا يعني أنه يمكننا استخدام نظرية ديموافر لإيجاد قيمة ﻉ واحد تربيع. تنص النظرية على أنه لأي عدد مركب بالصورة ﻉ يساوي ﻝﻫ أس ﺕ𝜃، فإن ﻉ أس ﻥ يساوي ﻝ أس ﻥ في ﻫ أس ﺕﻥ𝜃. تذكر أن ﻝ هو المقياس و𝜃 هي السعة. نلاحظ أن مقياس ﻉ واحد يساوي ببساطة واحدًا. وسعة ﻉ واحد تساوي اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة. إذن، ﻉ واحد تربيع يساوي واحدًا تربيع في ﻫ أس ﺕ اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة في اثنين.

واحد تربيع يساوي واحدًا. واثنان ‏𝜋‏ على ثلاثة مضروبًا في اثنين يساوي أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة. نجد أن ﻉ واحد تربيع يساوي ﻫ أس ﺕ أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة. سعة ﻉ واحد تربيع تقع خارج نطاق السعة الأساسية. لذا، سنطرح اثنين ‏𝜋‏. وسنجد أن السعة الأساسية لـ ﻉ واحد تربيع هي سالب اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة. ويمكننا الآن ملاحظة أن ﻉ واحد تربيع يساوي ﻉ اثنين.

دعونا نكرر هذه العملية لحل السؤال الثاني. دعونا نبدأ بتوقع ما. رأينا أن ﻉ واحد تربيع يساوي ﻉ اثنين. لذا من الممكن أن يكون ﻉ اثنان تربيع يساوي ﻉ واحد. فلنتحقق من ذلك. مرة أخرى، مقياس ﻉ اثنين يساوي واحدًا. لكن هذه المرة، سعته تساوي سالب اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة. سالب اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة مضروبًا في اثنين يساوي سالب أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة. ومرة أخرى، سعة ﻉ اثنين تربيع تقع خارج نطاق السعة الأساسية.

هذه المرة سنضيف اثنين ‏𝜋‏. تذكر أنه يمكننا إضافة أي من مضاعفات اثنين ‏𝜋‏ أو طرحها للحصول على سعة تقع ضمن نطاق السعة الأساسية. هذه المرة، سعة ﻉ اثنين تربيع تساوي اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة. ونلاحظ الآن أن ﻉ اثنين تربيع يساوي ﻉ واحد كما توقعنا. إذن ﻉ واحد تربيع يساوي ﻉ اثنين. وﻉ اثنان تربيع يساوي ﻉ واحد، حيث ﻉ واحد وﻉ اثنان جذران تكعيبيان مركبان للعدد واحد.

وفي الواقع، يمكننا توسيع هذه الفكرة لتشمل القوى الأعلى للجذور التكعيبية المركبة للعدد واحد.

يمكننا القول: إنه لأي عدد صحيح موجب ﻥ، فإن ﻉ واحد أس ﻥ يساوي واحدًا عندما ﻥ يكافئ صفرًا عند القسمة على ثلاثة. بعبارة أخرى، باقي قسمة ﻥ على ثلاثة يساوي صفرًا. ويساوي ﻉ واحد عندما ﻥ يكافئ واحدًا عند القسمة على ثلاثة. أي إن باقي قسمة ﻥ على ثلاثة يساوي واحدًا. ويساوي ﻉ اثنين عندما ﻥ يكافئ اثنين عند القسمة على ثلاثة. وهذا يعطينا طريقة مفيدة لصياغة تعريف للجذور التكعيبية للعدد واحد.

إذن، التعريف هو: هناك ثلاثة جذور تكعيبية للعدد واحد. الرمز 𝜔 يرمز إلى الجذر البدائي. وهو الجذر الذي له أقل سعة موجبة، وهي اثنان ‏𝜋‏ على ثلاثة. وبالتالي فإن 𝜔 يساوي ﻫ أس ﺕ اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة بالصورة الأسية. وبالصورة القطبية، يساوي جتا اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة زائد ﺕ جا اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة. وبالصورة الجبرية، يساوي سالب نصف زائد جذر ثلاثة على اثنين ﺕ. ويمكن تعريف الجذور الثلاثة بأنها واحد، و𝜔، و𝜔 تربيع. يمكننا تمثيل الخاصية الدورية المتعلقة بضرب الجذور التكعيبية للعدد واحد كما هو موضح. دعونا الآن نر خصائص الجذور التكعيبية للعدد واحد عند رفعه لأس سالب.

افترض أن 𝜔 هو الجذر التكعيبي البدائي للعدد واحد. ‏‏(١) أوجد 𝜔 أس سالب واحد. ما علاقة ذلك بالجذور التكعيبية الأخرى للعدد واحد؟ ‏‏(٢) أوجد 𝜔 أس سالب اثنين. ما علاقة ذلك بالجذور التكعيبية الأخرى للعدد واحد؟

دعونا نبدأ بكتابة 𝜔 بصورته الأسية. وهي ﻫ أس ﺕ اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة. هذا يعني أن 𝜔 أس سالب واحد يساوي ﻫ أس ﺕ اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة أس سالب واحد. وفي حالة تطبيق قوانين الأسس، سنلاحظ أن 𝜔 أس سالب واحد يساوي ﻫ أس سالب ﺕ اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة. وهذا بالطبع هو نفسه 𝜔 تربيع.

دعونا نكرر هذه العملية لحل الجزء الثاني. هذه المرة، 𝜔 أس سالب اثنين يساوي ﻫ أس ﺕ اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة، الكل أس سالب اثنين. مرة أخرى، عند تطبيق قوانين الأسس، سنلاحظ أن 𝜔 أس سالب اثنين يساوي ﻫ أس سالب ﺕ أربعة ‏𝜋‏ على ثلاثة. سعة هذا العدد المركب تقع خارج نطاق السعة الأساسية. لذا، سنضيف اثنين ‏𝜋‏. ونجد أن 𝜔 أس سالب اثنين يساوي ﻫ أس ﺕ اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة، وهو ما يساوي 𝜔. وبما أن 𝜔 أس سالب واحد هو مقلوب 𝜔، نلاحظ أن الجذور التكعيبية للعدد واحد هي الأخرى تصبح دورية عند القسمة.

هناك طريقة أخرى للتمثيل البصري للجذور التكعيبية للعدد واحد من خلال استخدام مخطط أرجاند. نلاحظ أنها تقع على مسافات متساوية من نقطة الأصل. في الواقع، هذه الجذور تمثل رءوس مثلث متساوي الأضلاع مرسوم داخل دائرة الوحدة. والآن، لنلق نظرة على هذا بعناية.

التمثيل البصري لكل من 𝜔 و𝜔 تربيع على مخطط أرجاند يمثل انعكاسًا حول المحور الحقيقي أو المحور الأفقي. وإن كنا نتذكر، نعم أن مرافق العدد المركب يمثل بانعكاسه حول المحور الأفقي. فهذا يعني أن 𝜔 تربيع يجب أن يكون مساويًا لمرافق 𝜔.

رأينا خصائص الجذور التكعيبية للعدد واحد في إطار عمليتي الضرب والقسمة. لكن، ماذا عن الجمع والطرح؟

افترض أن 𝜔 هو الجذر التكعيبي البدائي للعدد واحد. ‏‏(١) أوجد 𝜔 زائد 𝜔 تربيع. ‏‏(٢) أوجد 𝜔 ناقص 𝜔 تربيع. ‏‏(٣) ما قيمة 𝜔 زائد واحد وما علاقة ذلك بالجذور الأخرى للعدد واحد؟ ‏‏(٤) ما قيمة 𝜔 تربيع زائد واحد وما علاقة ذلك بالجذور الأخرى للعدد واحد؟

للإجابة عن الجزء الأول، يمكننا محاولة كتابة 𝜔 و𝜔 تربيع بالصورة الجبرية وإيجاد مجموعهما بهذه الطريقة. بدلًا من ذلك، نتذكر أن 𝜔 تربيع هو نفسه مرافق 𝜔. وهذا يعني أن 𝜔 زائد 𝜔 تربيع يساوي 𝜔 زائد مرافق 𝜔. ولهذا خاصية يمكن استخدامها. نعلم أن ناتج جمع عدد مركب ومرافقه يساوي اثنين في الجزء الحقيقي من العدد المركب. إذن، 𝜔 زائد مرافق 𝜔 يساوي اثنين في الجزء الحقيقي من 𝜔.

حسنًا، الجزء الحقيقي للجذر التكعيبي البدائي للعدد واحد هو سالب نصف. واثنان في سالب نصف يساوي سالب واحد. وإذن، نلاحظ أن 𝜔 زائد 𝜔 تربيع يساوي سالب واحد. هذا يعني أيضًا أن 𝜔 تربيع زائد 𝜔 زائد واحد يساوي صفرًا. لاحظ أن هذه هي الجذور التكعيبية الثلاثة للعدد واحد. وقد رأينا أن مجموعها يساوي صفرًا.

دعونا نكرر هذه العملية لحل الجزء الثاني. من جديد، نعوض عن 𝜔 تربيع بمرافق 𝜔. لكن هذه المرة، الفرق بين العدد المركب ومرافقه يساوي اثنين ﺕ في الجزء التخيلي من ذلك العدد المركب. الجزء التخيلي لـ 𝜔 يساوي جذر ثلاثة على اثنين. إذن، الفرق بين 𝜔 و𝜔 تربيع يساوي ﺕ جذر ثلاثة أو جذر ثلاثة ﺕ. ويمكننا استخدام العمليات الحسابية التي أجريناها هنا لإيجاد قيمة 𝜔 زائد واحد لحل الجزء الثالث و𝜔 تربيع زائد واحد لحل الجزء الرابع. رأينا أن 𝜔 تربيع زائد 𝜔 زائد واحد يساوي صفرًا. لذا دعونا نطرح 𝜔 تربيع من كلا طرفي المعادلة. عند القيام بذلك، نجد أن 𝜔 زائد واحد يساوي سالب 𝜔 تربيع. وبالمثل، يمكننا أيضًا استنتاج أن 𝜔 تربيع زائد واحد يساوي سالب 𝜔.

وهكذا فإن الجذور التكعيبية للعدد واحد لها ثلاث خصائص مهمة. نعرف أن 𝜔 تربيع يساوي مرافق 𝜔. وأن مجموع الجذور التكعيبية الثلاثة يساوي صفرًا. وأن 𝜔 ناقص 𝜔 تربيع يساوي ﺕ جذر ثلاثة.

دعونا نتناول مثالًا يوضح كيفية تطبيق هذه الخصائص.

أوجد قيمة تسعة ناقص 𝜔 تربيع زائد تسعة 𝜔 أس أربعة الكل تربيع زائد ستة زائد ستة 𝜔 تربيع زائد ستة 𝜔 أس أربعة الكل تربيع.

دعونا نبدأ باستخدام الخاصية الدورية لضرب الجذور التكعيبية للعدد واحد للتعويض عن 𝜔 أس أربعة. ‏‏𝜔 أس أربعة هو نفسه 𝜔 تربيع مضروبًا في 𝜔 ثم مضروبًا في 𝜔 مرة أخرى. إذن يمكننا القول: إن 𝜔 أس أربعة يجب أن يكون هو نفسه 𝜔. ويمكننا إعادة كتابة المقدار كما هو موضح. بعد ذلك سنحلل هذين المقدارين. في القوس الأول، سنأخذ تسعة عاملًا مشتركًا، وفي القوس الثاني سنأخذ ستة عاملًا مشتركًا. لماذا نفعل ذلك؟ حسنًا، لأننا نعلم أن مجموع 𝜔 تربيع و𝜔 وواحد يساوي صفرًا. ويمكننا إعادة ترتيب ذلك لاستخدام حقيقة أن واحدًا زائد 𝜔 يساوي سالب 𝜔 تربيع.

إذن، يمكن تبسيط المقدار إلى تسعة مضروبًا في سالب 𝜔 تربيع ناقص 𝜔 تربيع الكل تربيع زائد ستة في صفر الكل تربيع. وبالطبع ستة في صفر الكل تربيع يساوي صفرًا. نبسط ذلك أكثر، ليصبح سالب ١٠ ‏𝜔‏ تربيع الكل تربيع. سالب ١٠ تربيع يساوي ١٠٠. و𝜔 تربيع تربيع يساوي 𝜔 أس أربعة. لكننا رأينا بالفعل أن 𝜔 أس أربعة يساوي 𝜔. إذن، المقدار يبسط إلى ١٠٠ ‏𝜔‏.

في هذا الدرس، تعلمنا أنه يوجد ثلاثة جذور تكعيبية للعدد واحد، هي واحد، و𝜔، و𝜔 تربيع. ونسمي 𝜔 الجذر التكعيبي البدائي للعدد واحد. وهو يساوي ﻫ أس ﺕ اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة، وبالصورة القطبية يساوي جتا اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة زائد ﺕ جا اثنين ‏𝜋‏ على ثلاثة، وبالصورة الجبرية يساوي سالب نصف زائد جذر ثلاثة على اثنين ﺕ. كل من القوى السالبة والموجبة لـ 𝜔 تصنع دورة مغلقة. لأي عدد صحيح ﻥ، 𝜔 أس ثلاثة ﻥ يساوي واحدًا. ‏‏𝜔 أس ثلاثة ﻥ زائد واحد يساوي 𝜔. و𝜔 أس ثلاثة ﻥ زائد اثنين يساوي 𝜔 تربيع.

عرفنا أيضًا أن هذه الجذور لها ثلاث خصائص مهمة. وهي: مجموع الجذور التكعيبية الثلاثة للعدد واحد يساوي صفرًا. و𝜔 تربيع يساوي مرافق 𝜔. و𝜔 ناقص 𝜔 تربيع يساوي ﺕ جذر ثلاثة. ويمكننا استخدام هذه الخصائص لتبسيط المقادير التي تبدو أكثر تعقيدًا.