فيديو السؤال: دراسة حركة جسم على مستوى أملس مائل تحت تأثير قوة معطاة الرياضيات

جسم كتلته ﻙ موضوع على مستوى أملس يميل على الأفقي بزاوية 𝜃؛ حيث ظا 𝜃 = ٣‏/‏٤ أثرت على الجسم قوة مقدارها ٧٧ ثقل كيلوجرامًا في اتجاه خط أكبر ميل. ونتيجة لهذه القوة، تحرك الجسم من السكون لأعلى المستوى مسافة ١٩٦ سم في ثانيتين، أوجد كتلة الجسم ﻙ عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ = ٩٫٨ م‏/‏ث^٢.

٠٧:٥٩

‏نسخة الفيديو النصية

جسم كتلته ﻙ موضوع على مستوى أملس يميل على الأفقي بزاوية 𝜃؛ حيث ظا 𝜃 يساوي ثلاثة أرباع. أثرت على الجسم قوة مقدارها ٧٧ ثقل كيلوجرامًا في اتجاه خط أكبر ميل. ونتيجة لهذه القوة، تحرك الجسم من السكون لأعلى المستوى مسافة ١٩٦ سنتيمترًا في ثانيتين، أوجد كتلة الجسم ﻙ. عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

قبل أن نجري أي عمليات حسابية، سنبدأ ببساطة برسم شكل يوضح هذا السيناريو. لدينا جسم كتلته ﻙ موضوع على مستوى يميل على الأفقي بزاوية. بما أن الجسم كتلته ﻙ، نعرف أن القوة التي يؤثر بها على المستوى لأسفل تساوي الكتلة في عجلة الجاذبية. سنسمي هذا ﻙﺩ في الوقت الحالي. يميل المستوى بزاوية 𝜃 على الأفقي، حيث ظا 𝜃 يساوي ثلاثة أرباع. لن نحل هذه المعادلة لنوجد قيمة 𝜃. بدلًا من ذلك، سنستخدم هذه المعادلة لاحقًا لإيجاد القيمة الفعلية لجيب الزاوية 𝜃. وسنتناول ذلك بعد قليل.

لدينا أيضًا قوة تؤثر لأعلى في اتجاه خط أكبر ميل للمستوى. ومقدار هذه القوة ٧٧ ثقل كيلوجرامًا، كما هو موضح. المستوى أملس، ومن ثم لا توجد أي قوى احتكاك تؤثر على الجسم. وهذا يعني أن القوة الأخرى الوحيدة التي تعنينا هي قوة رد الفعل العمودي للمستوى التي تؤثر على الجسم، كما هو موضح. وعليه، سنستخدم المعادلة: ﻕ يساوي ﻙﺟ؛ أي القوة تساوي الكتلة في العجلة. وسنوجد القوى المؤثرة في اتجاه مواز للمستوى. نعرف أن الجسم يبدأ في التحرك لأعلى المستوى. لذا، نفترض أن العجلة في هذا الاتجاه موجبة.

هيا إذن نوجد مجموع القوى المؤثرة في هذا الاتجاه. لدينا قوة مقدارها ٧٧ ثقل كيلوجرامًا تؤثر على المستوى لأعلى. ولكننا سنستخدم هنا وحدة النيوتن. لعلنا نتذكر أن واحدًا ثقل كيلوجرام يساوي ٩٫٨ نيوتن. سنحول وحدة هذه القوة إلى نيوتن لأننا نتحدث عن وزن الجسم، أي الكتلة في عجلة الجاذبية، بالنيوتن. لذا علينا التأكد من أن جميع القوى مقيسة بالوحدة نفسها. ولنعرف كم نيوتن يوجد في ٧٧ ثقل كيلوجرامًا، نضرب ٧٧ في ٩٫٨ لنحصل على ٧٥٤٫٦ نيوتن. إذن، لدينا قوة مقدارها ٧٥٤٫٦ نيوتن تؤثر لأعلى المستوى وفي اتجاه مواز له.

لكن ماذا عن القوة التي يؤثر بها الجسم على المستوى لأسفل؟ إنها لا تؤثر في اتجاه مواز للمستوى أو عمودي عليه. ومن ثم، نرسم مثلثًا قائم الزاوية. نلاحظ أن الضلعين الآخرين في هذا المثلث القائم الزاوية هما مركبتا قوة هذا الوزن، فإحداهما موازية للمستوى والأخرى عمودية عليه. الزاوية المحصورة هي 𝜃. وسنسمي الضلع الذي نحاول إيجاد طوله ﺱ أو ﺱ نيوتن، وهو الضلع الموازي للمستوى. علينا إيجاد طول الضلع المقابل، ولدينا الوتر. إذن يمكننا القول إنه بما أن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، فإن جا 𝜃 هنا يساوي ﺱ على ﻙﺩ، وهو ما يعني أن ﺱ يساوي ﻙﺩ في جا 𝜃.

لكن ما قيمة جا 𝜃؟ حسنًا، لمعرفة ذلك، نستخدم المعلومة المعطاة وهي: ظا 𝜃 يساوي ثلاثة أرباع. يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية زاويته المحصورة 𝜃. وبما أن ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور، فإننا نعرف أن طول الضلع المقابل في هذا المثلث يساوي ثلاث وحدات، وطول الضلع المجاور يساوي أربع وحدات. باستخدام نظرية فيثاغورس أو ملاحظة أن لدينا ثلاثية فيثاغورس، نعرف أن طول الوتر في هذا المثلث يساوي خمس وحدات. جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. إذن، بالنسبة إلى قيمة 𝜃 لدينا، فإن جا 𝜃 يساوي ثلاثة على خمسة أو ثلاثة أخماس. وبذلك، نجد أن ﺱ يساوي ﻙﺩ في ثلاثة أخماس. نبسط هذا إلى ثلاثة أخماس ﻙﺩ، ونعلم أن هذه القوة تؤثر في الاتجاه المضاد للقوة التي تدفع الجسم لأعلى المنحدر. إذن، سنطرح هذه القيمة. وعليه، فإن القوة الكلية المؤثرة على الجسم تساوي ٧٥٤٫٦ ناقص ثلاثة أخماس ﻙﺩ. وهذا يساوي ﻙﺟ، أي الكتلة في العجلة.

لكن ما العجلة؟ لحساب العجلة، علينا التفكير في الجملة قبل الأخيرة من السؤال. وهي تخبرنا أن الجسم يقطع مسافة ١٩٦ سنتيمترًا في ثانيتين. نحن نستخدم وحدة المتر لكل ثانية مربعة، لذا نعرف أن الجسم يقطع ١٫٩٦ متر في ثانيتين. السرعة الابتدائية للجسم، أي ﻉ صفر، تساوي صفرًا، ونريد حساب عجلته، أي ﺟ. لنستخدم الصيغة التي تربط هذه المتغيرات الأربعة؛ وهي: ﻑ يساوي ﻉ صفرﻥ زائد نصف ﺟﻥ تربيع. بالتعويض بالقيم التي لدينا، نحصل على: ١٫٩٦ يساوي صفرًا زائد نصف في ﺟ في اثنين تربيع. إذن، ١٫٩٦ يساوي اثنين ﺟ. وإذا قسمنا الطرفين على اثنين، فسنجد أن عجلة الجسم تساوي ٠٫٩٨ متر لكل ثانية مربعة.

نعوض عن ﺟ في المعادلة الأصلية بـ ٠٩٨. وعندما نفعل ذلك، تصبح المعادلة: ٧٥٤٫٦ ناقص ثلاثة أخماس ﻙﺩ يساوي ٠٫٩٨ﻙ. أصبحت لدينا الآن معادلة بدلالة ﻙ، فهيا نحلها. نبدأ بإضافة ثلاثة أخماس ﻙﺩ إلى كلا الطرفين. ثم نأخذ ﻙ عاملًا مشتركًا في الطرف الأيسر، ليصبح لدينا: ﻙ في ٠٫٩٨ زائد ثلاثة أخماس ﺩ. لكننا نعلم أن ﺩ تساوي ٩٫٨. إذن، يصبح الطرف الأيمن: ﻙ في ٠٫٩٨ زائد ثلاثة أخماس في ٩٫٨. لإيجاد قيمة ﻙ، نقسم الطرفين على ٠٫٩٨ زائد ثلاثة أخماس في ٩٫٨، وهو ما يعطينا القيمة ١١٠. استخدمنا في البداية وحدة الثقل كيلوجرام، ثم حولنا إلى وحدة النيوتن. لذلك يجب أن تكون الكتلة بالكيلوجرام.

إذن، كتلة الجسم ﻙ تساوي ١١٠ كيلوجرامات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.