تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: حركة جسم على مستوًى مائل أملس الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحل المسائل التي تتضمَّن حركة جسم على مستوًى مائل أملس.

يوضح الشكل التالي قوة رد الفعل العمودية، 𞸓 على جسم موضوع على سطح مائل.

قوة رد الفعل هي القوة الناتجة عن تأثير وزن الجسم على السطح الذي يرتكز عليه. ويُعطى وزن الجسم 𞸅 بواسطة: 𞸅=𞸊𞸃، حيث 𞸊 هي كتلة الجسم و𞸃 هي عجلة الجاذبية الأرضية.

يكون اتجاه 𞸓 دائمًا عموديًّا على السطح. ومقدار 𞸓 يساوي مركِّبة وزن الجسم المؤثرة عموديًّا على السطح. إذن، يُعطى 𞸓 بالعلاقة: 𞸓=𞸊𞸃𝜃، حيث 𝜃 هي الزاوية التي يميل بها السطح من الأفقي.

دعونا نتناول مثالًا المطلوب فيه إيجاد قوة رد الفعل على جسم موضوع على سطح مائل.

مثال ١: إيجاد قوة رد الفعل المؤثرة على جسم يتحرك على مستوًى مائل

وُضِع جسم كتلته ٠٫٧ كجم على مستوًى أملس يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٦٦، ثم تُرِك ليتحرَّك بحرية تحت تأثير الجاذبية الأرضية، علمًا بأن عجلة الجاذبية الأرضية تساوي ٩٫٨ م/ث٢. أوجد مقدار رد فعل المستوى على الجسم لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

يمكن إيجاد قوة رد الفعل المؤثرة على الجسم باستخدام المعادلة: 𞸓=𞸊𞸃𝜃، ما يعطينا: 𞸓=٧٫٠(٨٫٩)(٦٦).

وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، تكون قوة رد الفعل ٢٫٧٩ نيوتن.

القوة المحصلة المؤثرة على جسم موضوع على مستوى مائل، 𞹟، هي مجموع 𞸓، 𞸅. ويمكننا التعبير عن ذلك على الصورة: 󰄮󰄮𞹟=󰄮𞸓+𞸊𞸃.

يوضح الشكل التالي اتجاه خط عمل 𞹟:

حيث: |𞸓|=𞸊𞸃𝜃.

اتجاه 𞹟 إلى أسفل موازٍ للمستوى.

نلاحظ أن 𞹟 ، 𞸓 المركِّبتان العموديتان لـ 𞸊𞸃؛ ولذلك: |𞹟|=𞸊𞸃𝜃.

لنُلْقِ نظرة على مثال وُضع فيه جسم على سطح مائل، والمطلوب هو إيجاد عجلة الجسم الموازية للسطح.

مثال ٢: إيجاد عجلة جسم يتحرك على مستوى مائل

وُضِع جسم كتلته ١٫٤ كجم على مستوى أملس يميل بزاوية ٥٤ على الأفقي. إذا أثَّرت قوة مقدارها ٥٩ نيوتن على الجسم لأعلى في اتجاه خط أكبر ميل، فأوجد عجلة الجسم لأقرب منزلتين عشريتين. علمًا بأن 𞸃=٨٫٩/مث٢.

الحل

إذا لم تؤثر قوة خارجية على الجسم، فسينتج عن وزن الجسم وقوة رد الفعل قوة محصلة تؤثر على الجسم لأسفل في الاتجاه الموازي للمستوى، وتُعطى بواسطة: 𞹟=𞸊𞸃𝜃=٤٫١(٨٫٩)(٥٤)=٢٧٫٣١󰋴٢.

لكن بالإضافة إلى هذه القوة، توجد قوة مقدارها ٥٩ نيوتن تؤثر لأعلى في الاتجاه الموازي للمستوى، كما هو موضح بالشكل التالي.

وتُعطى القوة المحصلة المؤثرة على الجسم لأعلى في اتجاه موازٍ للمستوى من العلاقة: 𞹟=٩٥٢٧٫٣١󰋴٢.

عجلة الجسم لأعلى في الاتجاه الموازي للمستوى يمكن إيجادها باستخدام قانون نيوتن الثاني للحركة، بعد إعادة الترتيب لجعل جـ المتغير التابع نحصل على: 𞸢=𞹟𞸊=٩٥٤٫١.٢٧٫٣١󰋴٢

وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، فإن العجلة تساوي ٣٥٫٢١ م/ث٢.

والآن لنُلقِ نظرة على مثال يتضمن جسمًا موضوعًا على سطح مائل وتؤثر عليه قوة في اتجاه غير موازٍ للسطح.

مثال ٣: إيجاد قوة مجهولة تؤثر على جسم يتحرك على مستوى مائل

تُرك جسم كتلته ٢٠٥ كجم لينزلق على مستوًى يَميل على الأفقي بزاوية قياسها ٥٤. بدأت قوة تؤثِّر على الجسم فتسبَّبتْ في انخفاض عجلة الجسم إلى نصف قيمتها الأصلية. إذا كان خط عمل القوة يصنع زاوية قياسها ٥٤ مع خط أكبر ميل للمستوى، وكان كلاهما يقع في نفس المستوى الرأسي، فأوجد مقدار هذه القوة. علمًا بأن عجلة الجاذبية الأرضية ٩٫٨ م/ث٢.

الحل

يوضح الشكل التالي القوى المؤثرة على الجسم.

ويوضح الشكل التالي مركِّبات هذه القوى في الاتجاهين الموازي والعمودي على المستوى.

القوة التي تصنع مع المستوى زاوية قياسها ٥٤ لها خط عمل رأسي. وعندما لا تؤثر هذه القوة على الجسم، يُعطى مقدار القوة المؤثرة على الجسم في الاتجاه الموازي للمستوى بواسطة: 𞸊𞸃(٥٤)=𞸊𞸃󰃭󰋴٢٢󰃬.

عندما تؤثر القوة الرأسية على الجسم، ينخفض مقدار عجلة الجسم إلى النصف. تنخفض عجلة الجسم إلى النصف بسبب تأثير القوة الرأسية. يمكن إيجاد القوة المحصلة 𞹟 المؤثرة على جسم كتلته 𞸊 باستخدام قانون نيوتن الثاني: 𞹟=𞸊𞸢.

إذن، مقدار القوة المحصلة المؤثرة على الجسم يساوي نصف مقدار القوة المحصلة المؤثرة على الجسم قبل تأثير القوة الرأسية، ويُعطى بالعلاقة: 𞸊𞸃󰃁󰃀٢=𞸊𞸃󰃭󰋴٢٤󰃬.󰋴٢٢

عند تضمين القوة الرأسية، يمكن التعبير عن مقدار القوة المحصلة المؤثرة عموديًّا على المستوى، باعتبار الاتجاه الموجب هو لأعلى موازيًا للمستوى، على النحو التالي: 𞸊𞸃󰃭󰋴٢٤󰃬=𞹟(٥٤)𞸊𞸃(٥٤)، ما يُعطينا: 𞸊𞸃󰃭󰋴٢٤󰃬=𞹟󰃭󰋴٢٢󰃬𞸊𞸃󰃭󰋴٢٢󰃬.

يمكن إعادة ترتيب هذا التعبير لجعل 𞹟 المتغير التابع: 𞹟󰃭󰋴٢٢󰃬=𞸊𞸃󰃭󰋴٢٢󰃬𞸊𞸃󰃭󰋴٢٤󰃬.

ومن الممكن قسمة التعبير على 󰋴٢: 𞹟٢=𞸊𞸃٢𞸊𞸃٤=𞸊𞸃٢.

ويمكن ضرب المقدار في ٢: 𞹟=𞸊𞸃٢=٥٠٢(٨٫٩)٢=٥٫٤٠٠١.

إذا سمح لـ 𞹟 بالزيادة دون حد، فلن يستمر الجسم في الانزلاق لأسفل المستوى؛ حيث ستكون هناك قوة محصلة لا تساوي صفر عمودية على المستوى؛ ونتيجة لذلك، سيرتفع الجسم عن المستوى.

هيا نُلقِ نظرة على مثال نستنتج فيه عجلة الجسم بمعرفة معلومات عن حركته على مستوى مجهول الميل.

مثال ٤: استخدام معادلات الحركة في حل مسألة تتضمن جسمًا يتحرك على مستوى مائل

تحرَّك جسم كتلته ٩ كجم من السكون على مستوًى أملس مائل. قطع الجسم مسافة ٢٥٫٢ م في أول ٤ ثوانٍ من حركته. إذا قُذِف الجسم لأعلى في اتجاه خط أكبر ميل على نفس المستوى، بسرعة ابتدائية ١٢٫٦ م/ث فما المسافة التي يقطعها قبل أن يصل إلى السكون اللحظي؟ علمًا بأن 𞸃=٨٫٩/مث٢.

الحل

عندما يتحرك الجسم من السكون، فإنه يتحرك لأسفل في الاتجاه الموازي للمستوى. بهذه العجلة، يُزاح الجسم ٢٥٫٢ مترًا خلال ٤ ثوانٍ. باعتبار الإزاحة لأعلى في الاتجاه الموازي للمستوى موجبة، يمكن تحديد العجلة اللازمة لإزاحة الجسم ٢٥٫٢ مترًا خلال ٤ ثوانٍ باستخدام المعادلة: 𞸐=𞸏𞸍+١٢𞸢𞸍،٠٢ حيث 𞸏=٠/٠مث، 𞸍=٤ث، 𞸐=٥٫٥٢م.

وبإعادة الترتيب لجعل جـ المتغير التابع، سنحصل على: 𞸢=٢𞸐𞸍=٤٫٠٥٦١=٥١٫٣/.٢٢مث

عندما يُقذف الجسم لأعلى في الاتجاه الموازي للمستوى، تكون سرعته الابتدائية في الاتجاه المعاكس لعجلته؛ ومن ثَمَّ، إذا افترضنا أن الاتجاه الذي يُقذف فيه الجسم موجب، فإن إزاحة الجسم ترتبط بعجلته وسرعته النهائية بواسطة المعادلة: 𞸏=𞸏+٢𞸢𞸐،٢٢٠ حيث 𞸏 يساوي صفرًا عند النقطة التي يصل فيها الجسم إلى حالة سكون لحظي. وبإعادة الترتيب لجعل 𞸐 المتغير التابع، سنحصل على: 𞸐=𞸏٢𞸢.٢٠

بالتعويض بالقيم المعلومة، نجد أن: 𞸐=٦٫٢١٢(٥١٫٣)=٢٫٥٢.٢م

وتجدر الإشارة إلى أنه تم إيجاد الإزاحة دون معرفة زاوية ميل المستوى أو أي من القوى المؤثرة على الجسم؛ بما أن الجسم يتحرك بعجلة منتظمة، لا يمكن تمثيل حركته إلا باستخدام معادلات الحركة بعجلة ثابتة.

دعونا نُلقِ نظرة الآن على مثال يتضمن تمثيل حركة جسم على مستوى مائل تؤثر عليه قوة في اتجاهٍ غير موازٍ للمستوى.

مثال ٥: استخدام معادلات الحركة في حل مسألة تتضمن جسمًا يتحرك على مستوى مائل

وُضع جسم وزنه ٠١󰋴٣ كجم على مستوًى أملس يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٠٣. أثرت قوة مقدارها ١٢٦ نيوتن واتجاهها نحو المستوى بحيث يكون خط عمل القوة وخط أكبر ميل للمستوى في نفس المستوى الرأسي. بعد الحركة لمدة ٧ ثوانٍ وصل الجسم إلى السرعة 𞸏، ثم توقَّف تأثير القوة في تلك اللحظة، واستمرَّ الجسم في الحركة حتى وصل إلى السكون اللحظي بعد مرور 𞸍 ثانية من توقُّف تأثير القوة. أوجد 𞸏، 𞸍. علمًا بأن 𞸃=٨٫٩/مث٢.

الحل

يوضح الشكل التالي القوى المؤثرة على الجسم.

تؤثر مركِّبات غير صفرية لوزن الجسم والقوة التي مقدارها ١٢٦ نيوتن في الاتجاه الموازي للمستوى، بينما مركِّبتا قوة رد الفعل العمودية على المستوى تساوي صفرًا في الاتجاه الموازي للمستوى.

يوضح الشكل التالي مركّبات هذه القوى المؤثرة في الاتجاهين الموازي والعمودي على المستوى.

ويُعطى مقدار القوة المحصلة لأعلى الموازية للمستوى بواسطة الآتي: 𞹟=٦٢١(٠٣)٠١󰋴٣(٨٫٩)(٠٣)𞹟=٦٢١󰋴٣٢٠١󰋴٣󰂔٨٫٩٢󰂓𞹟=٣٦󰋴٣٩٤󰋴٣=٤١󰋴٣.ااا

يُعطى مقدار عجلة الجسم الناتجة عن 𞹟ا من العلاقة: 𞸢=٤١󰋴٣٠١󰋴٣=٤٫١/.مث٢

يُعطى مقدار سرعة الجسم بعد مرور ٧ ثوانٍ من حركة الجسم بهذه العجلة من العلاقة: 𞸏=𞸏+𞸢𞸍=٠+٤٫١(٧)=٨٫٩/.٠مث

وعندما تتوقف القوة التي مقدارها ١٢٦ نيوتن عن التأثير على الجسم، تُعطى عجلة الجسم الموازية للمستوى لأسفل من العلاقة: 𞸢=𞸃𝜃=٨٫٩٢=٩٫٤/.مث٢

تبلغ السرعة الابتدائية للجسم ٩٫٨ م/ث لأعلى موازيةً للمستوى، وبناءً عليه، يُعطى الوقت الذي يستغرقه الجسم للوصول إلى سرعة لحظية تُساوي صفرًا من العلاقة: 𞸍=𞸏𞸏𞸢=٠٨٫٩٩٫٤=.٠ن

هيا نلخص ما تعلمناه في هذه الأمثلة.

النقاط الرئيسية

  • بالنسبة لجسم تكون القوى الوحيدة المؤثرة عليه هي وزنه وقوة رد الفعل عليه، تُعطى قوة رد الفعل العمودية، 𞸓، المؤثرة على الجسم عندما يكون على سطح مائل، من العلاقة: 𞸓=𞸊𞸃𝜃، حيث 𝜃 هي زاوية ميل السطح مع الأفقي و𞸊 هي كتلة الجسم و𞸃 هي عجلة الجاذبية الأرضية.
  • تُعطى القوة المحصلة المؤثرة على جسم موضوع على سطح مائل أملس نتيجة وزن الجسم وقوة رد الفعل المؤثرة عليه من العلاقة: 𞹟=𞸊𞸃𝜃، حيث 𝜃 هي زاوية ميل السطح مع و𞸊 هي كتلة الجسم و𞸃 هي عجلة الجاذبية الأرضية.
  • وإذا أثرت قوة على جسم موضوع على سطح مائل أملس في اتجاه لا يوازي السطح، فإن القوة تغير مقدار قوة رد الفعل على الجسم. وهذا يقتضي أن نساوي المركِّبة العمودية للقوة المؤثرة مع المركِّبة العمودية لوزن الجسم وقوة رد الفعل العمودية على الجسم، لكي نحدد أي من هذه القوى خلاف وزن الجسم.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.