فيديو الدرس: حركة جسم على مستوى مائل أملس الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المسائل التي تتضمن حركة جسم على مستوى أملس مائل. وسيتضمن هذا دراسة القوى التي تؤثر على هذه الجسيمات واستخدام قانون نيوتن الثاني للحركة ومعادلات الحركة لوصف هذه الحركة.

في البداية، سنفترض أن لدينا جسمًا في حالة سكون على سطح أملس مستو. إذا رسمنا القوى المؤثرة على هذا الجسم، فسنجد أن هناك قوة وزن مؤثرة لأسفل تساوي كتلة الجسم مضروبة في عجلة الجاذبية الأرضية. وهناك أيضًا قوة رد فعل مساوية لها في المقدار ومضادة لها في الاتجاه. إنها قوة رد فعل السطح على الجسم؛ حيث تدفع هذه القوة الجسم في اتجاه عكسي لأعلى. ينص قانون نيوتن الثاني للحركة على أن القوة المحصلة المؤثرة على جسم ما تساوي كتلة هذا الجسم مضروبة في عجلته. ولأن قوة الوزن المؤثرة على الجسم مساوية في المقدار لقوة رد الفعل ومضادة لها في الاتجاه، فإن القوة المحصلة المؤثرة على الجسم تساوي صفرًا. ووفقًا لقانون نيوتن الثاني، فإننا نعرف أن هذا الجسم لا يتسارع.

هذا هو ما نلاحظه عندما يكون الجسم في حالة سكون على سطح أملس مستو. لكن لنتخيل أننا جعلنا هذا السطح الأملس يميل على المستوى الأفقي؛ بحيث يكون زاوية سنطلق عليها 𝜃. إذا رسمنا القوى المؤثرة على الجسم مرة أخرى، فسنجد أن هناك قوة الوزن التي تؤثر على الجسم لأسفل. لكن قوة رد الفعل لم تعد تشير لأعلى. فهذه القوة تشير في اتجاه عمودي على السطح الذي يستقر عليه الجسم. إذا لم يكن هذا المستوى المائل أملس، فسيكون هناك احتكاك بينه وبين الجسم. وحينها، يمكننا تضمين قوة ثالثة، وهي قوة الاحتكاك التي ستؤثر لأعلى المستوى المائل. لكن بما أننا نتعامل مع منحدر أملس، فليس هناك قوة احتكاك.

نلاحظ إذن أن القوتين الوحيدتين المؤثرتين على الجسم لم تعودا متساويتين في المقدار ومتضادتين في الاتجاه. ومن ثم، فإن القوة المحصلة لا تساوي صفرًا. ومن ثم، عجلة الجسم لا تساوي صفرًا أيضًا. ولكي نفكر فيما تعنيه هذه العجلة، سنفترض أننا رسمنا نظامًا إحداثيًّا؛ حيث يكون اتجاه ﺹ الموجب عموديًّا على السطح، ويكون اتجاه ﺱ الموجب لأسفل المستوى المائل، إذا حللنا قوتي رد الفعل والوزن إلى المركبات ﺱ وﺹ، فسنجد أن قوة رد الفعل تقع بالكامل في اتجاه ﺹ الموجب، أما قوة الوزن فلها المركبتان ﺹ وﺱ.

لرؤية ذلك بشكل أوضح، دعونا نلق نظرة على هذه الصورة المكبرة لقوة الوزن المؤثرة على الجسم ومركبتيها. هذا السهم البرتقالي يمثل المركبة ﺹ لقوة الوزن، ويمثل هذا السهم المركبة ﺱ. مفتاح إيجاد مقدار هاتين المركبتين هو أن نعلم أن هذه الزاوية هنا تطابق زاوية ميل السطح. في الواقع، هذه هي الحالة دائمًا بغض النظر عن قيمة 𝜃. إذا فكرنا بعد ذلك في مثلث قائم الزاوية بصورته العامة؛ حيث نسمي إحدى زواياه الداخلية 𝜃، فيمكننا القول إن أضلاع هذا المثلث هي الوتر والضلع المقابل للزاوية 𝜃 والضلع المجاور لها. وإذا أردنا إيجاد جا 𝜃، فسنجد أنه يساوي النسبة بين طول الضلع المقابل وطول الوتر.

أما جتا 𝜃، فيساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. لقد ذكرنا هذا لأن إيجاد المركبتين ﺹ وﺱ لقوة الوزن سيتضمن استخدام جتا 𝜃 وجا 𝜃. لاحظ أنه بالمقارنة بالزاوية 𝜃، فإن المركبة ﺹ لمتجه الوزن تمثل الضلع المجاور في المثلث القائم الزاوية. وبالنظر إلى المعادلة التي تتضمن هذا الضلع، نجد أننا إذا ضربنا كلا الطرفين في الوتر ، وحذفنا هذا العامل من الطرف الأيسر، فإن طول الضلع المجاور سيساوي طول الوتر في جتا 𝜃. وبما أن وتر المثلث الذي لدينا يساوي ﻙ في ﺩ ، إذن يمكننا كتابة أن الضلع المجاور في هذا المثلث القائم الزاوية يساوي ﻙ في ﺩ في جتا 𝜃.

وبالمثل، المركبة ﺱ لهذا المتجه تمثل الضلع المقابل للزاوية 𝜃 في المثلث. في هذه المعادلة، إذا ضربنا كلا الطرفين مرة أخرى في الوتر، وحذفنا هذا العامل من الطرف الأيسر، فيمكننا كتابة طول الضلع المقابل على الصورة: الوتر في جا 𝜃. إذن، المركبة ﺱ لقوة الوزن تساوي ﻙ في ﺩ في جا 𝜃. بعد أن عرفنا ذلك، يمكننا البدء في التعرف بشكل أوضح على العجلة التي يتحرك بها الجسم على المستوى الأملس المائل. إذا نظرنا إلى القوتين المؤثرتين عليه في البعد ﺹ، فسنجد أن لدينا قوة رد الفعل، وهي موجبة، ناقص ﻙ في ﺩ في جتا 𝜃. لاحظ أن قوة رد الفعل موجبة وقوة الوزن سالبة، وفقًا لقاعدة الإشارات التي افترضناها.

وبما أن هاتين القوتين هما الوحيدتان المؤثرتان على الجسم في البعد ﺹ، فإن قانون نيوتن الثاني ينص على أن مجموعهما يساوي كتلة الجسم في عجلته في هذا البعد. لكن ﺟﺹ يساوي صفرًا. فالجسم لا يتسارع سواء باتجاه سطح المستوى أو بعيدًا عنه. وبما أن الطرف الأيسر بالكامل من هذه المعادلة يساوي صفرًا، فإن هاتين القوتين متساويتان في المقدار. ومن ثم، فإن عجلة الجسم ليست في الاتجاه ﺹ. من المؤكد إذن أنها في الاتجاه ﺱ. إذا نظرنا إلى القوى الموجودة على هذا المحور، فسنجد قوة واحدة فقط. وهي المركبة ﺱ لقوة الوزن. وبما أن هذه القوة تشير إلى اتجاه ﺱ الموجب، فستكون قيمة موجبة.

باستخدام قانون نيوتن الثاني مرة أخرى، يمكننا القول إن القوة المحصلة المؤثرة على الجسم في الاتجاه ﺱ، وهي ﻙ في ﺩ في جا 𝜃، تساوي كتلة الجسم في عجلته في الاتجاه ﺱ. لاحظ أن العامل ﻙ، أو كتلة الجسم، موجود في طرفي المعادلة. وهذا يعني أنه يمكننا قسمة كل طرف على ﻙ وحذف هذا العامل. أصبحنا الآن نعرف اتجاه عجلة الجسم؛ إنه الاتجاه ﺱ فقط. ومقدار هذه العجلة يساوي ﺩ في جا 𝜃. لاحظ أن عجلة الجاذبية الأرضية و𝜃 كلتاهما قيمتان ثابتتان. ومن ثم، تظل عجلة الجسم ﺟ ثابتة خلال الزمن. وهذا مهم لأنه يعني أن معادلات الحركة ستنطبق على وصف حركة هذا الجسم.

عادة ما تكتب معادلات الحركة على هذه الصورة. وفي كل مرة نرى ﺟ، الذي يمثل العجلة، نعلم أن هذه القيمة لا بد أن تكون ثابتة. ذلك لأن هذه المعادلات لا تنطبق إلا إذا تحقق هذا الشرط. وبما أننا أثبتنا أن الجسم المتحرك على مستوى أملس مائل يتسارع بمعدل ثابت، فإننا نعرف أنه يمكن وصف حركته باستخدام هذه العلاقات. بمعلومية كل ذلك عن حركة جسم على مستوى أملس مائل، دعونا نتدرب على بعض الأمثلة.

جسم كتلته ٠٫٧ كيلوجرام وضع على مستوى أملس يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٦٦ درجة، ثم ترك ليتحرك بحرية تحت تأثير الجاذبية الأرضية، علمًا بأن عجلة الجاذبية الأرضية تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. أوجد مقدار رد فعل المستوى على الجسم، لأقرب منزلتين عشريتين.

حسنًا، سنفترض أن هذا هو المستوى، وهذا هو الجسم الذي يبدأ من حالة سكون على المستوى. ونظرًا لأن قوة الوزن المؤثرة على الجسم تساوي كتلته في عجلة الجاذبية الأرضية، وبسبب حقيقة أننا نتعامل مع مستوى أملس؛ أي لا يوجد احتكاك بين المستوى والجسم، فإن الجسم يبدأ في الحركة. وعندما يحدث ذلك، فإن الجسم لا يتحرك في اتجاه قوة الوزن، بل يتحرك لأسفل المستوى المائل هكذا. والسبب الذي يجعل الجسم لا يتحرك لأسفل في خط مستقيم هو وجود قوة تسمى قوة رد الفعل. وتؤثر هذه القوة على الجسم في اتجاه عمودي على المستوى المائل، وهذه هي القوة التي نريد الحل لإيجاد مقدارها.

سنبدأ الحل بملاحظة أن كتلة الجسم، التي سنطلق عليها ﻙ، تساوي ٠٫٧ كيلوجرام وتتحرك على مستوى يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٦٦ درجة. إذا رسمنا نظامًا إحداثيًّا؛ بحيث يشير ﺱ لأسفل المستوى المائل، ويشير ﺹ إلى اتجاه عمودي عليه، فيمكننا في البداية ملاحظة أن عجلة الجسم ستكون في الاتجاه ﺱ. وهذا يعني أنه إذا حللنا قوة الوزن المؤثرة على الجسم إلى مركبتيها ﺱ وﺹ، ففي هذه الحالة تكون المركبة ﺹ لتلك القوة، ويمثلها المتجه البرتقالي، مساوية في المقدار لقوة رد الفعل ومضادة لها في الاتجاه. وهذا لأن الجسم لا يتسارع في الاتجاه ﺹ.

لذا، إذا استطعنا إيجاد مقدار المركبة ﺹ لقوة الوزن، فسنعرف مقدار قوة رد الفعل ﺭ. إذا رسمنا هذا المثلث بمقياس رسم أكبر قليلًا، فسنلاحظ أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية طول وتره يساوي ﻙ في ﺩ . ولإيجاد طول هذا الضلع، والذي يمثل المركبة ﺹ لقوة الوزن، علينا أن نعلم أن الزاوية الموضحة هنا في المثلث تطابق زاوية ميل المستوى، التي أطلقنا عليها 𝜃. بمعرفة ذلك، نستنتج أن المركبة ﺹ هذه تساوي ﻙ في ﺩ في جيب تمام هذه الزاوية. وبما أننا نعرف قيمتي ﻙ و𝜃 وكذلك ﺩ ، وهي عجلة الجاذبية الأرضية، يمكننا إذن التعويض بتلك القيم في هذه المعادلة دون استخدام وحدات في هذه المرحلة. وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن ذلك يساوي ٢٫٧٩.

وبما أن هذا هو مقدار القوة، فسنستخدم وحدة النيوتن. عمليًّا، بما أن اتجاه ﺹ الموجب يشير في اتجاه عمودي على المستوى، فإن قيمة المركبة ﺹ لقوة الوزن ستكون سالبة. لكن في هذا السؤال، أردنا إيجاد مقدار هذه المركبة لأنه يساوي مقدار رد فعل المستوى على الجسم. وهو ما حسبناه هنا. إذن، يمكننا القول إن مقدار قوة رد فعل المستوى على الجسم يساوي ٢٫٧٩ نيوتن.

دعونا الآن نتناول مثالًا ثانيًا.

وضع جسم كتلته ١٫٤ كيلوجرام على مستوى أملس يميل بزاوية قياسها ٤٥ درجة على الأفقي. إذا أثرت قوة مقدارها ٥٩ نيوتن على الجسم لأعلى في اتجاه خط أكبر ميل، فأوجد عجلة الجسم، لأقرب منزلتين عشريتين. ذلك مع العلم أن ﺩ يساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

حسنًا، سنفترض أن هذا هو المستوى الذي يميل بزاوية قياسها ٤٥ درجة على الأفقي، ونحن نعلم أن هناك جسمًا على هذا المستوى. وتؤثر على هذا الجسم قوة مقدارها ٥٩ نيوتن وتتجه لأعلى المستوى المائل. بمعرفة ذلك، بالإضافة إلى كتلة الجسم التي سنطلق عليها ﻙ، وعجلة الجاذبية الأرضية، وحقيقة أننا نتعامل مع مستوى أملس، والتي تعني عدم وجود احتكاك، سنوجد عجلة الجسم. ينص قانون نيوتن الثاني على أن العجلة التي يتحرك بها الجسم مضروبة في كتلته تساوي القوة المحصلة المؤثرة عليه. ولنفهم ذلك، دعونا نلق نظرة على القوى المؤثرة على الجسم.

بالإضافة إلى القوة التي مقدارها ٥٩ نيوتن، توجد أيضًا قوة الوزن التي تؤثر على الجسم لأسفل في خط مستقيم، وتساوي كتلة الجسم في ﺩ. وتوجد أيضًا قوة رد الفعل أو القوة العمودية ﺭ. وهي تؤثر على الجسم بزاوية قياسها ٩٠ درجة على المستوى المائل. لتحليل تأثير هاتين القوتين، دعونا نرسم نظامًا إحداثيًّا؛ حيث نفترض أن اتجاه ﺱ الموجب لأعلى المستوى المائل، واتجاه ﺹ الموجب عمودي عليه. بتحليل قوة الوزن إلى مركبتيها ﺹ وﺱ، نجد أن الجسم لا يتسارع في الاتجاه ﺹ. بل إن عجلته تكون إما لأعلى المستوى المائل وإما لأسفله في الاتجاه ﺱ.

دعونا نفكر في القوى المؤثرة على الجسم في الاتجاه ﺱ. هناك قوتان. إحداهما هي القوة التي مقدارها ٥٩ نيوتن وتؤثر في اتجاه ﺱ الموجب، والأخرى هي مركبة قوة الوزن الموضحة هنا، والتي تؤثر في اتجاه ﺱ السالب. لإيجاد قيمة هذه المركبة، علينا معرفة أن الزاوية الداخلية للمثلث القائم الزاوية الذي رسمناه تساوي بالضبط زاوية ميل المستوى. ومن ثم، فإن مقدار المركبة ﺱ هذه يساوي ﻙ في ﺩ في جا ٤٥ درجة. وعند إضافة ذلك إلى القوة التي مقدارها ٥٩ نيوتن، نستخدم إشارة سالبة؛ لأن المركبة ﺱ لقوة الوزن تؤثر في اتجاه ﺱ السالب. ووفقًا لقانون نيوتن الثاني، فإن هذا المجموع يساوي كتلة الجسم في عجلته.

بقسمة كلا الطرفين على ﻙ، وحذف هذا العامل المشترك من الطرف الأيمن، نجد أن ﺟ يساوي ٥٩ نيوتن ناقص ﻙﺩ جا ٤٥ الكل مقسوم على كتلة الجسم ﻙ. إذا عوضنا بقيمتي ﻙ وﺩ ولم نستخدم أي وحدات في هذه الخطوة، فسنحصل على الناتج ٣٥٫٢١ عند حساب قيمة الكسر لأقرب منزلتين عشريتين. تذكر أن هذه هي العجلة، ونحن نعرف أن وحدتها ستكون مترًا لكل ثانية مربعة. إذن، الإجابة النهائية هي أن عجلة الجسم لأقرب منزلتين عشريتين تساوي ٣٥٫٢١ مترًا لكل ثانية مربعة.

دعونا الآن نتناول مثالًا أخيرًا.

جسم كتلته تسعة كيلوجرامات تحرك من السكون على مستوى أملس مائل. تحرك الجسم مسافة ٢٥٫٢ مترًا في أول أربع ثوان من حركته. إذا قذف الجسم لأعلى في اتجاه خط أكبر ميل على نفس المستوى بسرعة ابتدائية ١٢٫٦ مترًا لكل ثانية، فما المسافة التي يقطعها قبل أن يصل إلى السكون اللحظي؟ ذلك مع العلم أن ﺩ يساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

حسنًا، لدينا هنا مستوى أملس مائل. ويخبرنا السؤال أن جسمًا كتلته، سنطلق عليها ﻙ، وتساوي تسعة كيلوجرامات، تحرك من السكون على المستوى. وبما أنه لا توجد قوة احتكاك مضادة لحركته، يبدأ الجسم في الانزلاق لأسفل. كما يخبرنا السؤال أنه بعد أربع ثوان، تحرك الجسم مسافة ٢٥٫٢ مترًا على المستوى. ستتيح لنا هذه المعلومات إيجاد عجلة الجسم عندما يكون على المستوى. وعلينا إيجاد العجلة للإجابة عن السؤال حول المسافة التي يتحركها الجسم لأعلى عند قذفه بسرعة ابتدائية قبل أن يصل إلى السكون.

لإيجاد عجلة هذا الجسم أثناء انزلاقه لأسفل المستوى، من المهم أن ندرك أن هذه العجلة ثابتة. إذا أطلقنا على زاوية ميل المستوى الأملس 𝜃، فإن ﺟ؛ أي العجلة، تساوي ﺩ في جا 𝜃. الفكرة هنا أن العجلة ثابتة؛ لأن ﺩ و𝜃 ثابتان. ومن ثم، يمكننا حساب عجلة الجسم بالتعويض بالمعلومات المعطاة في معادلات الحركة. لن نكتب جميع هذه المعادلات الأربعة. بل سنكتب واحدة فقط. تنص معادلة الحركة هذه على أن إزاحة الجسم تساوي سرعته الابتدائية في الزمن المستغرق زائد نصف عجلته في الزمن المستغرق تربيع.

في هذه الحالة، المسافة المقطوعة هي ﻑ، والتغير في الزمن هو Δﻥ. ولأن الجسم قد تحرك من السكون، فهذا يعني أن ﻉ صفر في هذه المعادلة؛ أي السرعة الابتدائية للجسم، يساوي صفرًا. إذن، ﻑ يساوي نصف ﺟ في Δﻥ تربيع. إذا ضربنا طرفي هذه المعادلة في اثنين وقسمناهما على Δﻥ تربيع، فسنحصل على معادلة يكون فيها ﺟ متغيرًا تابعًا. إلا أننا لن نوجد قيمة ﺟ، لكن سنرجع إلى هذه المعادلة بعد قليل.

والآن، هيا نفكر في المرحلة الثانية من حركة الجسم. افترضنا أن الجسم قد قذف لأعلى المستوى بسرعة ١٢٫٦ مترًا لكل ثانية. ونعلم أنه بفعل تأثير الجاذبية الأرضية، ستنخفض سرعة الجسم بمرور الزمن إلى أن يصل إلى السكون اللحظي في النهاية.

إذا أشرنا إلى المسافة التي يقطعها الجسم أثناء انخفاض سرعته من ١٢٫٦ إلى صفر متر لكل ثانية بـ ف اثنين، فسنجد أن هذه هي المسافة التي نريد إيجادها للإجابة عن السؤال. للقيام بذلك، سنرجع مرة أخرى إلى إحدى معادلات الحركة. دعونا نحذف نص المسألة ونكتب معادلة الحركة هذه. إنها تنص على أن السرعة النهائية للجسم تربيع تساوي سرعته الابتدائية تربيع زائد اثنين في عجلته في إزاحته. وبكتابتها بدلالة المتغيرات التي لدينا، يمكننا القول إن ﻉ تربيع يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين في ﺟ في ﻑ اثنين.

لاحظ أنه نظرًا لأن الجسم يصل إلى حالة السكون في النهاية، فذلك يعني أن ﻉ يساوي صفرًا. ولذا، يمكننا كتابة صفر يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين ﺟﻑ اثنين. وبما أننا نريد إيجاد قيمة ﻑ اثنين، دعونا نعد ترتيب هذه المعادلة. بإعادة الترتيب، يصبح لدينا ﻑ اثنين يساوي سالب ﻉ صفر تربيع على اثنين ﺟ. ويمكننا الآن التعويض هنا بالتعبير الدال على العجلة ﺟ. بالنسبة إلى الإشارة السالبة هذه، إذا اعتبرنا أن ﻉ صفر؛ أي السرعة الابتدائية للجسم، موجبة، فهذا يعني أننا نقول إن الحركة لأعلى المستوى المائل هي حركة في الاتجاه الموجب. ومن ثم، فإن الحركة في الاتجاه المضاد تكون في الاتجاه السالب. وهذا هو اتجاه العجلة ﺟ.

ووفقًا لقاعدة الإشارات، فإن ﺟ كمية سالبة؛ ومن ثم سنحذف إشارتي السالب من البسط والمقام. أصبحنا الآن جاهزين أخيرًا للتعويض بالقيم الموجودة لدينا عن ﻉ صفر وﻑ اثنين وΔﻥ. لن نحدد الوحدات الآن، وسنعوض بالقيمة ١٢٫٦ عن ﻉ صفر، وبالقيمة ٢٥٫٢ عن ﻑ اثنين، وبالقيمة أربعة عن Δﻥ. عندما نحسب هذا الكسر، يكون الناتج ٢٥٫٢ فعليًّا. وهذه المسافة بالمتر. إذن يمكننا القول إنه إذا قذف جسم لأعلى مستوى مائل بسرعة ١٢٫٦ مترًا لكل ثانية، فإن المسافة التي سيقطعها قبل أن يصل إلى حالة السكون تساوي ٢٥٫٢ مترًا.

دعونا نختتم هذا الدرس بتلخيص بعض النقاط الأساسية. في هذا الدرس، رأينا أن الجسم الموضوع على مستوى أملس مائل لا تؤثر عليه قوة احتكاك. بل تؤثر عليه قوتان فقط؛ وهما قوة الوزن وقوة رد الفعل. وعرفنا أيضًا أنه يمكن استخدام قانون نيوتن الثاني للحركة لإيجاد عجلة الجسم، وهو ينص على أن القوة المحصلة المؤثرة على الجسم تساوي كتلة الجسم في عجلته. وأخيرًا، عرفنا أنه عندما تكون عجلة الجسم ثابتة، يمكن تطبيق معادلات الحركة.