فيديو السؤال: استخدام خواص الجذور التكعيبية للعدد واحد لتبسيط التعبيرات الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة سالب خمسة ناقص أربعة على 𝜔 ناقص أربعة على 𝜔 تربيع مضروبًا في سالب اثنين زائد ثلاثة 𝜔 زائد ثلاثة 𝜔 تربيع؛ حيث 𝜔 جذر تكعيبي مركب للعدد واحد.

مفتاح الإجابة عن هذا السؤال يتمثل في فهم خواص الجذور التكعيبية المركبة للعدد واحد. بداية تذكر أنه عندما نشير إلى الجذر التكعيبي للعدد واحد، فهذا يعني العدد 𝜔؛ حيث 𝜔 تكعيب يساوي واحدًا. وعلى وجه التحديد، فإن كلمة «مركب» تستثني أن يساوي 𝜔 واحدًا، وهو ما يعرف بالجذر البديهي للعدد واحد. في حالة الجذور التكعيبية للعدد واحد، تكون الجذور المركبة أيضًا أمثلة للجذور البدائية التي لها بعض التعبيرات والحقائق المفيدة.

الخاصية الأولى التي نريد استخدامها هي أن 𝜔 أس ﻥ يساوي 𝜔 أس ﺃ، لأي عددين صحيحين ﻥ وﺃ متكافئين بمقياس ثلاثة. وهذا يعني مثلًا أن سبعة يكافئ واحدًا بمقياس ثلاثة. ونعرف ذلك؛ لأن الفرق بين سبعة وواحد هو أحد مضاعفات العدد ثلاثة. وبناء عليه يمكننا القول إن 𝜔 أس سبعة يساوي 𝜔 أس واحد.

ننتقل إلى الخاصية الثانية التي نريد استخدامها؛ وهي أن 𝜔 تربيع زائد 𝜔 زائد واحد يساوي صفرًا. ويبدو أن هذه الخاصية تحديدًا ستكون مفيدة للغاية عندما نتعامل مع الحدود الموجودة داخل أقواس التعبير المعطى؛ إذ يبدو أن كلا التعبيرين مكتوبين بصورة مماثلة تقريبًا لهذه الخاصية. لكن التحدي الرئيسي الذي نواجهه الآن هو إعادة صياغة الحدود؛ لتصبح على صورة يمكننا تطبيق هاتين الخاصيتين عليها.

دعونا نتناول أولًا التعبير الموجود داخل القوسين على اليسار. يبدو أن هذا التعبير يساوي تقريبًا ثلاثة أمثال تعبير الخاصية الثانية؛ لأن لدينا الحدين ثلاثة 𝜔 وثلاثة 𝜔 تربيع، لكن الحد الأخير ليس ثلاثة. لكن يمكننا التحايل على ذلك بإضافة خمسة إلى يمين التعبير وطرح خمسة من يمينه، وهي طريقة لإعادة كتابة التعبير من دون تغيير قيمته. بعد ذلك يمكننا أخذ ثلاثة عاملًا مشتركًا من الحدود الثلاثة الأولى. الآن يمكننا مساواة العامل داخل القوسين بصفر باستخدام الخاصية الثانية. وبذلك نحصل على سالب خمسة.

بعد ذلك علينا تبسيط التعبير الموجود بين القوسين على اليمين. في هذه الحالة، ليس لدينا حد مشتمل على 𝜔 أو 𝜔 تربيع صراحة. ولكن كلاهما بدلًا من ذلك يظهران في مقامي الحدين. للحصول على هذا المقدار بالصورة التي نريدها، يمكننا استخدام الخاصية الأولى للجذور التكعيبية البدائية. ولتسهيل ذلك يمكننا إعادة كتابة الحدين الثاني والثالث باستخدام خواص الأسس. ونلاحظ أننا هنا استخدمنا أسسًا سالبة للتعبير عن حدي 𝜔 اللذين يتضمنان مقلوبين.

حسنًا، دعونا الآن نتناول أسي 𝜔 في هذا التعبير. أولًا لدينا الأس سالب واحد، ونلاحظ أنه يساوي اثنين ناقص ثلاثة، وهذا يوضح لنا أن سالب واحد يكافئ اثنين بمقياس ثلاثة. بعد ذلك لدينا سالب اثنين يساوي واحدًا ناقص ثلاثة. إذن سالب اثنين يكافئ واحدًا بمقياس ثلاثة. ومن ثم يمكننا استخدام الخاصية الأولى لإعادة كتابة 𝜔 أس سالب واحد على الصورة 𝜔 تربيع، و𝜔 أس سالب اثنين على الصورة 𝜔 أس واحد.

الآن أصبح بإمكاننا استخدام الخاصية الثانية لتبسيط التعبير. وكما فعلنا من قبل، يمكننا إضافة واحد إلى يمين التعبير وطرح واحد من يساره. بعد ذلك يمكننا أخذ سالب أربعة عاملًا مشتركًا من الحدود الثلاثة الأولى. وهكذا نلاحظ أن التعبير الموجود داخل القوسين يساوي صفرًا، وفقًا للخاصية الثانية. وبهذا نحصل على سالب واحد فقط.

وبعد أن انتهينا من جميع الخطوات الصعبة، يتبقى لدينا دمج هذين التعبيرين معًا. إن حاصل ضرب هذين التعبيرين داخل الأقواس يساوي حاصل ضرب سالب خمسة وسالب واحد، وهو ما يعطينا الإجابة النهائية، وهي خمسة.