فيديو السؤال: إيجاد مشتقة دالة كسرية باستخدام تعريف النهاية للمشتقات الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

باستخدام تعريف المشتقة، أوجد قيمة ﺩ على ﺩﺱ لواحد على ﺱ زائد واحد.

وفقًا للتعريف، مشتقة الدالة ﺩﺱ، أي ﺩ على ﺩﺱ للدالة ﺩﺱ، هي نهاية الدالة ﺩ في المتغير ﺱ زائد ﻫ ناقص الدالة ﺩﺱ على ﻫ، حيث يقترب ﻫ من صفر. ويمكن كتابة ذلك أيضًا على صورة الدالة ﺩ شرطة في المتغير ﺱ للتأكيد على أنها دالة في متغير ﺱ. لنطبق هذا التعريف على المسألة.

نكتب ﻫ في المقام حسب التعريف. ومن الواضح أيضًا حسبما نأمل أن الدالة ﺩ في المتغير ﺱ يجب أن تساوي واحدًا على ﺱ زائد واحد في هذه المسألة. وهي، فعلًا، موجودة في الطرف الأيمن من المعادلة. قد يكون من الصعب نوعًا ما أن نحاول معرفة ما تعنيه الدالة ﺩﺱ زائد ﻫ. إذا كانت الدالة ﺩﺱ تساوي واحدًا على ﺱ زائد واحد، فإن الدالة ﺩﺱ زائد ﻫ تساوي واحدًا على ﺱ زائد ﻫ زائد واحد.

والآن، أصبحنا مستعدين لإيجاد النهاية. من المهم أن نلاحظ أن هذه هي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر. وهي ليست النهاية عندما يقترب ﺱ من قيمة ما. لذا، سيكون الحل النهائي بدلالة ﺱ. إذا حاولنا التعويض مباشرة هنا بـ ﻫ يساوي صفرًا، فسنحصل على الصيغة غير المعينة صفر على صفر. إذا لم تكن تصدقني، فيمكنك التأكد.

علينا أن نبسط الكسر في النهاية ومن ثم نوجد العامل ﻫ في البسط، لنحذفه مع ﻫ في المقام قبل أن نوجد النهاية. حاليًّا، يوجد لدينا كسور داخل الكسر. يوجد كسران في البسط. إذا ضربنا كلًّا من البسط والمقام في ﺱ زائد ﻫ زائد واحد، فسنتخلص من أحد هذين الكسرين.

وزعنا هنا ﺱ زائد ﻫ زائد واحد على الحدين في البسط. ونلاحظ الآن أن الكسر الأول يساوي واحدًا. ولكي نتخلص من الكسر الآخر في البسط، نضرب في ﺱ زائد واحد على ﺱ زائد واحد. ونبسط مرة أخرى. أصبحت المقامات الآن أكثر تعقيدًا، ولكن البسط أصبح أبسط كثيرًا. بل إنه في الواقع يمكن تبسيطه أكثر من ذلك.

بداية، يمكننا التخلص من القوسين غير الضروريين اللذين يحصران بينهما ﺱ زائد ﻫ. ثم نلاحظ أن حدي ﺱ يلغي كل منهما الآخر. لدينا ﺱ، ونطرح منه ﺱ. ويحدث المثل مع الواحد هنا وهنا. هكذا يتبقى لدينا سالب ﻫ في البسط. ولدينا كذلك العامل ﻫ في المقام. بحذف هذين العاملين، يصبح البسط سالب واحد والمقام ﺱ زائد ﻫ زائد واحد في ﺱ زائد واحد.

وبحذف العامل ﻫ هذا في كل من البسط والمقام، يمكننا التعويض مباشرة الآن. بالتعويض عن ﻫ بصفر، نحصل على سالب واحد على ﺱ زائد صفر زائد واحد في ﺱ زائد واحد. وبالطبع، لا نحتاج إلى كتابة زائد صفر صريحة. نحصل بذلك على سالب واحد على ﺱ زائد واحد في ﺱ زائد واحد، أو سالب واحد على ﺱ زائد واحد تربيع. هذا هو الحل إذن.

باستخدام تعريف المشتقة، أوضحنا أن ﺩ على ﺩﺱ لواحد على ﺱ زائد واحد يساوي سالب واحد على ﺱ زائد واحد تربيع. كما توقعنا، هذه المشتقة هي دالة في المتغير ﺱ.