فيديو الدرس: تعريف المشتقة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

تعريف المشتقة

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نحسب مشتقة دالة باستخدام التعريف القياسي للمشتقة بأنها نهاية. سنتناول هنا تعريف المشتقة بمزيد من التفصيل ثم سنتناول بعض الأمثلة. فلنبدأ بعرض تعريف المشتقة عند نقطة معينة.

نعلم أن مشتقة الدالة ﺩﺱ تعبر عن معدل تغير هذه الدالة عند نقطة معينة. لنقل إن هذه النقطة هي ﺱ صفر. ويمكن أن تكون أي نقطة. ونعرف أن معدل تغير الدالة عند هذه النقطة يساوي ميل الدالة عند هذه النقطة. وبذلك، يمكن تقدير المشتقة من خلال إيجاد مماس تقريبي للمنحنى عند هذه النقطة ثم نوجد ميل هذا المماس. لنتناول الآن تمثيلًا بيانيًا جديدًا للدالة ﺩﺱ.

إذا كنا نريد إيجاد مشتقة ﺩﺱ عند النقطة ﺱ صفر، فيمكننا تقديرها عن طريق إيجاد مماس تقريبي عند النقطة ﺱ صفر. ويمكن أن نرسم مماسًا تقريبيًا عن طريق تحديد قيمة أخرى للمتغير ﺱ تقع بالقرب من النقطة ﺱ صفر، لنقل إنها النقطة ﺱ صفر زائد ﻫ حيث ﻫ عدد ثابت. بعد ذلك، يمكن أن نرسم المماس التقريبي في شكل خط يمر بالنقطة ﺱ صفر، ﺩﺱ صفر، والنقطة ﺱ صفر زائد ﻫ، ﺩﺱ صفر زائد ﻫ. وهذا هو شكل المماس التقريبي. لكنه ليس تقريبًا دقيقًا.

ويمكن أن نحسن دقة المماس التقريبي لهذه النقطة من خلال تقليل قيمة ﻫ. لنفترض أننا قللنا قيمة ﻫ بحيث يقع ﺱ صفر زائد ﻫ عند هذه النقطة على المحور ﺱ، فستنتقل النقطة ﺱ صفر زائد ﻫ، ﺩﺱ صفر زائد ﻫ، إلى هنا. إذن سيمر المماس التقريبي الجديد بهذه النقطة والنقطة ﺱ صفر، ﺩﺱ صفر. سيبدو بهذا الشكل، وهو مماس تقريبي أكثر دقة للدالة ﺩﺱ عند النقطة ﺱ صفر.

ويمكن أن نحسن دقة هذا المماس التقريبي أكثر إذا قللنا قيمة ﻫ مرة أخرى، بحيث تقع النقطة ﺱ صفر زائد ﻫ عند هذه النقطة على المحور ﺱ. وهذا سيؤدي إلى انتقال النقطة ﺱ صفر زائد ﻫ، ﺩﺱ صفر زائد ﻫ. وبهذا يمكن أن نرسم خطًا يمثل المماس التقريبي الجديد عند النقطة ﺱ صفر، والذي نلاحظ أنه أقرب إلى المماس الفعلي عند النقطة ﺱ صفر. هذه الطريقة لإيجاد المماس التقريبي عند النقطة ﺱ صفر توضح لنا أنه كلما صغرت قيمة ﻫ، زاد اقتراب المماس التقريبي من المماس الحقيقي عند النقطة ﺱ صفر.

وبذلك، يمكننا القول إن النهاية عندما ﻫ يقترب من الصفر لخط المماس التقريبي، تكون في الحقيقة مكافئة للمماس الحقيقي للدالة ﺩﺱ عند ﺱ يساوي ﺱ صفر. وإذا حاولنا الآن أن نتذكر تعريف المشتقة، فسنتذكر أنها قيمة ميل الدالة عند نقطة معينة. وبما أن ميل المماس عند أي نقطة على المنحنى يمثل ميل الدالة عند تلك النقطة، فيمكن أن نستخدم ميل المماسات التقريبية لكي يساعدنا في تحديد قيمة المشتقة.

لنتذكر النقاط التي استخدمناها لإيجاد خطوط المماس التقريبية. استخدمنا النقطة ﺱ صفر، ﺩﺱ صفر، والنقطة ﺱ صفر زائد ﻫ، ﺩﺱ صفر زائد ﻫ. ونعلم أن ميل أي خط مستقيم يساوي التغير في ﺹ على التغير في ﺱ. ولذلك، يمكن أن نحصل على ميل أي مماس باستخدام ﺩﺱ صفر زائد ﻫ ناقص ﺩﺱ صفر على ﺱ صفر زائد ﻫ ناقص ﺱ صفر. لدينا في المقام ﺱ صفر زائد ﻫ ناقص ﺱ صفر. الحدان ﺱ صفر يلغي أحدهما الآخر، ونحصل على ميل للمماس يساوي ﺩﺱ صفر زائد ﻫ ناقص ﺩﺱ صفر الكل على ﻫ.

سنجمع بين ميل المماس وحقيقة أنه كلما اقتربت النقطة ﺱ صفر من الصفر، فإن المماس التقريبي يقترب من المماس الحقيقي عند النقطة ﺱ صفر، وذلك لكي نعرف المشتقة. وبذلك نصل إلى تعريف المشتقة. نقول إن مشتقة الدالة ﺩﺱ، عند النقطة ﺱ صفر، معرفة بأنها النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ﺩﺱ صفر زائد ﻫ ناقص ﺩﺱ صفر الكل على ﻫ، بشرط وجود هذه النهاية.

وإذا جعلنا ﺱ واحد مساويًا لـ ﺱ صفر زائد ﻫ، فسنحصل على ﻫ يساوي ﺱ واحد ناقص ﺱ صفر. وكلما اقترب ﻫ من الصفر، اقترب ﺱ واحد ناقص ﺱ صفر من الصفر، أي إن ﺱ واحد يقترب من ﺱ صفر. بالتالي يمكننا أن نكتب هذه النهاية بدلالة ﺱ واحد وﺱ صفر بدلًا من ﺱ صفر وﻫ. وهذا التعريف المكافئ هو النهاية عندما يقترب ﺱ واحد من ﺱ صفر لـ ﺩﺱ واحد ناقص ﺩﺱ صفر على ﺱ واحد ناقص ﺱ صفر. نؤكد مرة أخرى أن هذا بشرط وجود هذه النهاية.

هناك عدة طرق نرمز بها للمشتقة. الطريقة الأولى هي استخدام رمز الشرطة. حيث تكتب: ﺩ شرطة ﺱ. ويمكن أن نقول إنها مشتقة ﺩ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكن أن نرمز للمشتقة أيضًا باستخدام رمز لايبنز. حيث إذا كتبنا ﺩﺱ على هيئة ﺹ، فإن المشتقة تكون ﺩﺹ على ﺩﺱ، وهذا يعني أيضًا مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. هذان التعريفان والرمزان لهما فائدة كبيرة جدًا في حساب التفاضل والتكامل. لذلك، من المهم أن نتمكن من استخدام كلا التعريفين وكلا الرمزين. لنتناول الآن بعض الأمثلة التي توضح كيف نستخدم التعريف لإيجاد المشتقات.

أوجد مشتقة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع عند النقطة ﺱ يساوي اثنين باستخدام التعريفات الأساسية للمشتقات باستخدام النهايات.

المقصود في هذا السؤال بالتعريفات الأساسية للمشتقات باستخدام النهايات هو أن نستخدم تعريف المشتقة. وهو ينص على أن مشتقة ﺩ بالنسبة إلى ﺱ عند ﺱ صفر تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ واحد من ﺱ صفر لـ ﺩﺱ واحد ناقص ﺩﺱ صفر على ﺱ واحد ناقص ﺱ صفر. في السؤال نجد أن ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع. ومطلوب إيجاد قيمة المشتقة عند النقطة ﺱ يساوي اثنين. إذن، ﺱ صفر يساوي اثنين.

من هذا، يمكننا القول إن ﺩ شرطة لاثنين تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ واحد من اثنين لـ ﺱ واحد تربيع ناقص اثنين تربيع على ﺱ واحد ناقص اثنين. يمكن أن نكتب أربعة بدلًا من اثنين تربيع. لدينا الآن في البسط ﺱ واحد تربيع ناقص أربعة، وهو فرق بين مربعين. ولذا يمكننا تحليله إلى ﺱ واحد ناقص اثنين مضروبًا في ﺱ واحد زائد اثنين.

نلاحظ هنا وجود العامل المشترك ﺱ واحد ناقص اثنين في كل من البسط والمقام. وبما أن ﺱ واحد ناقص اثنين لا يساوي صفرًا، يمكننا أن نحذفه من البسط والمقام. وبذلك نحصل على ﺩ شرطة لاثنين تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ واحد من اثنين لـ ﺱ واحد زائد اثنين. وباستخدام التعويض المباشر، نحصل على اثنين زائد اثنين. وبذلك نكون قد وصلنا إلى الحل، وهو أن قيمة مشتقة ﺱ تربيع عند النقطة ﺱ يساوي اثنين، هي أربعة.

والآن، تذكر أننا في بداية هذا الفيديو عندما كنا نعرف المشتقة، استخدمنا ميول المماسات التقريبية لنقترب أكثر وأكثر من مشتقة الدالة. في المثال الآتي، سنرى كيف نستخدم تعريف مشتقة لإيجاد ميل مماس دالة عند نقطة ما بدقة.

افترض أن ﺩﺱ تساوي ثمانية ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد تسعة. استخدم تعريف المشتقة لإيجاد ﺩ شرطة ﺱ. ما ميل المماس لمنحنى الدالة عند النقطة واحد واثنين؟

أولًا علينا استخدام تعريف المشتقة لحساب ﺩ شرطة ﺱ. نتذكر تعريف المشتقة الذي يقول إن ﺩ شرطة ﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩﺱ زائد ﻫ ناقص ﺩﺱ الكل على ﻫ. وفي هذه الحالة، ﺩﺱ تساوي ثمانية ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد تسعة، لذا يمكن أن نعوض بهذه الدالة في هذه النهاية. نحصل على ﺩ شرطة ﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لثمانية في ﺱ زائد ﻫ تربيع ناقص ستة في ﺱ زائد ﻫ زائد تسعة ناقص ثمانية ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد تسعة الكل على ﻫ.

الخطوة التالية هي فك الأقواس. ونحصل على هذه النهاية. نلاحظ أنه توجد عدة حدود يمكن أن نختصرها في البسط. لدينا ثمانية ﺱ تربيع وسالب ثمانية ﺱ تربيع. ولدينا سالب ستة ﺱ وستة ﺱ. ولدينا أيضًا تسعة وسالب تسعة. بحذف هذه الحدود الستة، يتبقى لنا النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ١٦ﻫﺱ زائد ثمانية ﻫ تربيع ناقص ستة ﻫ الكل على ﻫ.

ونلاحظ هنا وجود العامل المشترك ﻫ في كل من البسط والمقام. وبما أن ﻫ لا يساوي صفرًا، يمكن أن نحذفه. وبذلك نحصل على ﺩ شرطة ﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ١٦ﺱ زائد ثمانية ﻫ ناقص ستة. وبالتعويض المباشر في هذه النهاية، نصل إلى حل الجزء الأول من المسألة، وهو أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي ١٦ﺱ ناقص ستة. يمكننا الآن الانتقال إلى الجزء الثاني من المسألة، وهو إيجاد ميل المماس لمنحنى الدالة عند النقطة واحد واثنين.

نعلم أن مشتقة ﺩ تعطينا الميل عند أي نقطة على الدالة ﺩ. لذلك، الميل عند النقطة واحد واثنين، يساوي قيمة ﺩ شرطة ﺱ عند ﺱ يساوي واحدًا. وبذلك وجدنا قيمة ﺩ شرطة لواحد. وهي تساوي ١٦ مضروبًا في واحد ناقص ستة، وهو ما يمكن تبسيطه للحصول على ميل يساوي ١٠.

في المثال الآتي سنرى كيف نستخدم تعريف المشتقة لإيجاد مشتقة دالة مقلوب.

باستخدام تعريف المشتقة، أوجد قيمة ﺩ على ﺩﺱ لواحد على واحد زائد ﺱ.

نتذكر تعريف المشتقة. وهو يقول إنه إذا كان ﺹ يساوي ﺩﺱ، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩﺱ زائد ﻫ ناقص ﺩﺱ الكل على ﻫ. في هذه المسألة، ﺹ يساوي واحدًا على واحد زائد ﺱ. لذا يمكننا القول إن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لواحد على واحد زائد ﺱ زائد ﻫ ناقص واحد على واحد زائد ﺱ الكل على ﻫ.

علينا أن نكتب هذا الكسر في صورة كسر واحد بمقام مشترك. ويمكن أن نفعل ذلك عن طريق إيجاد مقام مشترك للكسرين الموجودين في البسط. هذا المقام المشترك هو واحد زائد ﺱ مضروبًا في واحد زائد ﺱ زائد ﻫ، لنحصل على هذه النهاية. ويمكن أن ندمج الكسرين الموجودين في البسط، ليتبقى لنا النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لسالب ﻫ على ﻫ مضروبًا في واحد زائد ﺱ مضروبًا في واحد زائد ﺱ زائد ﻫ. وبما أن ﻫ لا يساوي صفرًا، يمكن أن نحذف ﻫ من البسط والمقام.

بعد ذلك، يمكن أن نطبق قواعد النهايات. نعلم أن نهاية خارج القسمة تساوي خارج قسمة النهاية. وبما أن سالب واحد عدد ثابت، يتبقى لنا هذا. ويمكننا ببساطة القيام بالتعويض المباشر، لنحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب واحد على واحد زائد ﺱ مضروبًا في واحد زائد ﺱ. وبذلك، نكون قد وصلنا للحل، وهو ﺩ على ﺩﺱ لواحد على واحد زائد ﺱ يساوي سالب واحد على واحد زائد ﺱ تربيع.

في المثال الأخير سنرى استخدامًا مختلفًا لتعريف مشتقة الدالة.

أوجد النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩﻫ زائد أربعة ناقص ﺩﻫ ناقص اثنين زائد ﺩ لسالب اثنين ناقص ﺩ لأربعة الكل على ﻫ.

نلاحظ هنا أن النهاية المطلوب إيجادها تشبه إلى حد كبير تعريف المشتقة. يقول إن ﺩ شرطة ﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩﺱ زائد ﻫ ناقص ﺩﺱ الكل على ﻫ. لنحاول الآن إعادة ترتيب المقدار الموجود في النهاية لنرى إذا كان من الممكن أن نعزل تعريف مشتقة ﺩ في مرحلة ما.

أول ما نلاحظه هو أن لدينا في البسط الحدين ﺩﻫ زائد أربعة وﺩ لأربعة. لذا يمكننا تجميع هذين الحدين معًا. لدينا أيضًا الحدان ﺩﻫ ناقص اثنين وﺩ لسالب اثنين. لذا يمكننا أيضًا تجميع هذين الحدين معًا. وبعد أن قمنا بالتجميع في البسط، يمكن أن نقسم هذا الكسر إلى كسرين بناء على ذلك، فنحصل على النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩﻫ زائد أربعة ناقص ﺩ لأربعة الكل على ﻫ، زائد النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩ لسالب اثنين ناقص ﺩﻫ ناقص اثنين الكل على ﻫ.

نلاحظ أن النهاية الأولى تشبه تعريف ﺩ شرطة لأربعة. إذا أردنا أن نكتب ﺩ شرطة لأربعة، نجد أنها تساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩ لأربعة زائد ﻫ ناقص ﺩ لأربعة الكل على ﻫ. والفرق الوحيد بين هذه النهاية والنهاية التي وجدناها في السؤال هو أن ﻫ زائد أربعة وأربعة زائد ﻫ معكوسان. لكن بما أن الترتيب غير ضروري في عملية الجمع، فإن هذين المقدارين متساويان بالفعل. وبذلك، نجد أن النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩﻫ زائد أربعة ناقص ﺩ لأربعة على ﻫ، تساوي في الواقع ﺩ شرطة لأربعة.

والآن ننتقل إلى النهاية الثانية. نلاحظ في تعريف المشتقة أننا نطرح ﺩﺱ من ﺩﺱ زائد ﻫ. لكن في هذه النهاية نطرح ﺩﻫ ناقص اثنين من ﺩ لسالب اثنين. للحصول على الترتيب الصحيح، علينا ضرب الكسر في سالب واحد. يمكننا فعل ذلك عن طريق وضع إشارة سالبة في بداية هذه النهاية. وبذلك نحصل على سالب النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩﻫ ناقص اثنين ناقص ﺩ لسالب اثنين على ﻫ.

أصبح هذا المقدار الآن قريبًا جدًا من تعريف مشتقة ﺩ عند ﺱ يساوي سالب اثنين، لأن ﺩ شرطة لسالب اثنين تساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩ لسالب اثنين زائد ﻫ ناقص ﺩ لسالب اثنين الكل على ﻫ. ومرة أخرى، يمكننا ملاحظة أن هذا مطابق للنهاية التي لدينا باستثناء أن ﻫ وسالب اثنين معكوسان. ولكننا نعرف أن هذين المقدارين متكافئان.

وبذلك، يمكننا القول إن النهاية الثانية تساوي ﺩ شرطة لسالب اثنين. وهكذا نكون قد وصلنا إلى الحل. وهو أن النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩﻫ زائد أربعة ناقص ﺩﻫ ناقص اثنين زائد ﺩ لسالب اثنين ناقص ﺩ لأربعة الكل على ﻫ، تساوي ﺩ شرطة لأربعة ناقص ﺩ شرطة لسالب اثنين.

وبذلك نكون قد شرحنا تعريف المشتقة وتناولنا أمثلة متنوعة تتضمنه. والآن دعونا نلخص النقاط الرئيسية الواردة في هذا الفيديو.

النقاط الرئيسية

تعرف مشتقة الدالة بأنها النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩﺱ زائد ﻫ ناقص ﺩﺱ الكل على ﻫ. ويوجد تعريف آخر ومكافئ لهذا التعريف، وهو النهاية عندما يقترب ﺱ واحد من الصفر لـ ﺩﺱ واحد ناقص ﺩﺱ صفر على ﺱ واحد ناقص ﺱ صفر. هناك طريقتان شائعتان نرمز بهما للمشتقات: رمز الشرطة، أي ﺩ شرطة ﺱ، ورمز لايبنز، أي ﺩﺹ على ﺩﺱ. المشتقة هي دالة تساوي ميل المماس عند كل نقطة على المنحنى.