شارح الدرس: تعريف المشتقة الرياضيات

مثال ١: حساب قيمة المشتقة عند نقطة

أوجد مشتقة عند النقطة من المبادئ الأولى.

الحل

تَذكَّر تعريف المشتقة عند :

بجَعْل ، ، يكون لدينا:

لاحِظْ أن البسط هو فرق بين مربعين يمكننا تحليله كما يلي:

بما أن ، إذن يمكننا حذف هذا العامل المشترك من البسط والمقام لنحصل على:

يمكننا الآن حساب النهاية لنحصل على:

مثال ٢: إيجاد ميل المماس باستخدام المشتقة

افترض أن . استخدم تعريف المشتقة لإيجاد . ما ميل مماس المنحنى للدالة عند ؟

الحل

سنستخدم تعريف المشتقة: لإيجاد تعبير للدالة . باستخدام الدالة المعطاة، يكون لدينا:

بفك الأقواس في البسط، يكون لدينا:

بما أن ، إذن يمكننا حذف هذا العامل المشترك من البسط والمقام لنحصل على:

يمكننا الآن أخذ النهاية عند ، وهو ما يعطينا:

وبما أن قيمة المشتقة عند نقطة ما تساوي ميل مماس المنحنى عند هذه النقطة، إذن ميل مماس المحنى عند يساوي:

مثال ٣: إيجاد مشتقة دالة مقلوب

باستخدام تعريف المشتقة، أوجد قيمة .

الحل

تَذكَّر تعريف المشتقة:

بجَعْل ، يكون لدينا:

نبدأ بالتعبير عن هذا على صورة كسر واحد مقامه هو المقام المشترك للبسط:

بما أن ، إذن يمكننا حذفه من البسط والمقام لنحصل على:

يمكننا الآن استخدام قواعد النهايات المنتهية لإعادة كتابة ذلك على صورة:

بحساب النهاية عند ، يكون لدينا:

مثال ٤: إيجاد مشتقة لدالة جذرية

أوجد مشتقة الدالة باستخدام تعريف المشتقة، ثم اذكر مجال الدالة ومجال المشتقة.

الحل

باستخدام تعريف المشتقة أن: يكون لدينا:

قبل أن نتمكَّن من إيجاد قيمة هذه النهاية، علينا ضرب البسط والمقام في مرافق البسط كما يلي:

بما أن ، إذن يمكننا حذفه من البسط والمقام لنحصل على:

يمكننا الآن استخدام قواعد النهايات المحدودة لإعادة كتابة ذلك على صورة:

بحساب النهاية عند نحصل على:

علينا الآن التفكير في مجال الدالة ومشتقتها. وبما أن الجذر التربيعي لعدد سالب ليس عددًا حقيقيًّا، إذن مجال يجب أن يقتصر على قيم التي تَنتج عنها قيمة للتعبير غير سالبة تحت الجذر التربيعي. ومن ثم، فإن مجال يكون معرَّفًا بـ:

وهذا يكافئ ، ويمكن كتابته على صورة الفترة . من الواضح أن الشرط نفسه ينطبق على المشتقة. لكن لدينا شرط إضافي، وهو أن المقام لا يساوي صفرًا. وهذا يحدث عند القيمة . إذن، فإن مجال المشتقة لا يتضمَّن هذه القيمة. ومن ثم، يُكتَب باستخدام ترميز الفترة، ويكون مجال هو .

مثال ٥: إيجاد النهايات باستخدام المشتقات

أوجد .

الحل

عندما يُطلَب منا إيجاد قيمة نهاية، علينا عادةً ربطها بأمور أخرى نعرفها. يمكننا هنا أن نرى أنها تشبه بطريقة ما تعريف مشتقة :

إذن، يمكننا أن نحاول إعادة ترتيب التعبير لنرى إذا ما كان يمكننا عزل تعريف مشتقة عند نقطة معيَّنة. وعليه فإن:

بما أن ، إذن يمكننا ملاحظة أن الجزء الأول من هذا التعبير هو المشتقة . ومن ثم، باستخدام قواعد النهايات، يكون لدينا:

وبالمثل، بما أن ، إذن يمكننا أن ندرك أن التعبير الثاني هو المشتقة . إذن:

مثال ٦: قابلية اشتقاق الدالة

افترض أن الدالة .

1. أوجد .
2. أوجد .
3. ماذا يمكنك أن تستنتج بشأن مشتقة الدالة عندما تكون ؟

الحل

الجزء الأول

يمكننا إيجاد قيمة النهاية من جهة اليمين عندما تقترب من صفر. بما أن لجميع قيم ، إذن يكون لدينا:

الجزء الثاني

وبالمثل، يمكننا إيجاد قيمة النهاية من جهة اليسار عندما تقترب من صفر. بما أن لجميع قيم ، إذن يكون لدينا:

الجزء الثالث

وبما أن النهايتين من جهتَي اليمين واليسار غير متساويتين، فإن النهاية: غير موجودة. يمكننا إذن استنتاج أن مشتقة غير موجودة عند .