شارح الدرس: تعريف المشتقة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مشتقة دالة باستخدام تعريف المشتقة باعتبارها نهاية.

تُعَدُّ معدَّلات التغيُّر مفهومًا مركزيًّا في العديد من المسائل الحياتية، من الميكانيكا إلى معدَّل التفاعل الكيميائي، ومن نمذجة نمو تعداد السكان إلى نمذجة النمو الإشعاعي وتحلُّله. في الواقع، يرتبط تطوُّر الميكانيكا النيوتنية ارتباطًا وثيقًا بالدراسة الرياضية لمعدَّلات التغيُّر. في نواحٍ كثيرة، كان أحد العوامل الرئيسية التي ساهمت في تطوير دراسة معدَّلات التغيُّر هو القدرة على وصف ميكانيكا الحياة الواقعية رياضيًّا.

إذا افترضنا أن السيارة تتحرَّك من موضع سكون، فنرى أن السرعة تزيد. في البداية، لدينا سرعة تساوي صفرًا. بعد ذلك قد نقطع ١٠ أميال لكل ساعة، ثم ٢٠. لكن ما المقصود بقولنا إننا نتحرَّك بسرعة معيَّنة؟ على سبيل المثال، عندما نلاحظ أن عدَّاد السرعة يَقرأ ١٠ أميال لكل ساعة، حسنًا، ماذا يعني هذا؟ يمكننا القول إننا إذا لم نُغيِّر السرعة، فسنتحرَّك ١٠ أميال في ساعة واحدة. أو يمكننا أن نفكِّر في عدد الأمتار التي نقطعها في الثانية، أو ربما في فترة زمنية أقل. لكن من الواضح أننا إذا فكَّرنا في المسافة التي نقطعها في زمن مقداره صفر، فسنجد أنها صفر متر. بالإضافة إلى ذلك، فإننا لا نتحرَّك بسرعة ثابتة؛ نحن نتسارع.

إذن، مسألة محاولة جعل هذه الأمور دقيقة رياضيًّا هي التحدي الذي شكَّله لنا علماء الرياضيات العظماء، مثل نيوتن وليبنتز، على صورة مشتقات. في هذا الشارح، سنتناول تعريف المشتقة، وكيف يمكننا التعامل مع التناقض الظاهر للحديث عن معدَّل التغيُّر اللحظي.

من الناحية النظرية، يمكننا التفكير في فكرة مشتقة عند نقطة ما 𞸎٠، على أنها أخذ تقريبات أفضل وأفضل لمماس منحنى عند نقطة معيَّنة. يمكننا فعل ذلك بالنظر إلى ميل الخطوط القاطعة المارة بـ 𞸎٠، ونقطة ثانية على المنحنى عند اقتراب هذه النقطة من 𞸎٠.

من الواضح أنه عندما تقترب 𞸤 من الصفر، تزداد القيمة التقريبية لميل المماس بشكل أفضل وأفضل. تُعرَّف المشتقة رياضيًّا بأنها النهاية لهذه العملية.

تعريف المشتقة

مشتقة دالة عند نقطة 𞸎٠ هي: ـــــ𞸤٠٠٠󰎨󰁓𞸎+𞸤󰁒󰎨󰁓𞸎󰁒𞸤 حيث توجد هذه النهاية. يوجد تعريف بديل، لكنه مكافئ، للمشتقة عند 𞸎٠، وهو: ـــــ𞸎𞸎١٠١٠١٠󰎨󰁓𞸎󰁒󰎨󰁓𞸎󰁒𞸎𞸎، إذا كانت النهاية موجودة.

هناك طريقتان شائعتان لترميز المشتقات: ترميز ليبنتز وترميز الشرطة (يشار إليه أحيانًا بترميز لاجرانج). بخصوص دالة 𞸑=󰎨(𞸎)، يُكتَب ترميز ليبنتز للمشتقة باستخدام معدَّلات التغيُّر المتناهية الصغر د𞸑، د𞸎 على صورة: دد𞸑𞸎، التي نقرؤها على أنها «مشتقة 𞸑 بالنسبة إلى 𞸎» أو «د𞸑 على د𞸎».

باستخدام ترميز الشرطة، يُشار إلى مشتقة 󰎨(𞸎) بالنسبة إلى 𞸎 بـ 󰎨(𞸎)󰍱 التي نقرؤها على النحو الآتي «󰎨 شرطة لـ 𞸎».

من المهم لطالب حساب التفاضل والتكامل أن يكون على دراية بكلا تعريفَي المشتقة والترميزين.

عادةً ما يكون استخدام التعريف الأول للمشتقة أسهل؛ ومع ذلك، ففي بعض الحالات يَسهُل استخدام أيٍّ من صورتَي التعريف. في المثال الأول، سنوضِّح استخدام الصورة الثانية من تعريف المشتقة.

مثال ١: حساب المشتقة عند نقطة

أوجد مشتقة 󰎨(𞸎)=𞸎٢ عند النقطة 𞸎=٢ من المبادئ الأولى.

الحل

تَذكَّر تعريف المشتقة عند 𞸎٠: 󰎨󰁓𞸎󰁒=󰎨󰁓𞸎󰁒󰎨󰁓𞸎󰁒𞸎𞸎.󰍱٠𞸎𞸎١٠١٠ـــــ١٠

بجَعْل 𞸎=٢٠، 󰎨(𞸎)=𞸎٢، يكون لدينا: 󰎨(٢)=󰁓𞸎󰁒(٢)𞸎٢=𞸎٤𞸎٢.󰍱𞸎٢١٢٢١𞸎٢٢١١ــــــــــ١١

لاحِظْ أن البسط هو فرق بين مربعين يمكننا تحليله كما يلي: 󰎨(٢)=󰁓𞸎٢󰁒󰁓𞸎+٢󰁒𞸎٢.󰍱𞸎٢١١١ـــــ١

بما أن 𞸎٢٠١، إذن يمكننا حذف هذا العامل المشترك من البسط والمقام لنحصل على: 󰎨(٢)=󰁓𞸎+٢󰁒.󰍱𞸎٢١ـــــ١

يمكننا الآن حساب النهاية لنحصل على: 󰎨(٢)=٤.󰍱

في وقت سابق، عَرَفْنا تعريف المشتقة عند نقطة ما. لكن، في الواقع يمكننا تناوُل المشتقة على صورة دالة قيمتها تساوي ميل مماس المنحنى عند كل قيمة لـ 𞸎. في المثال التالي، سنشرح عملية إيجاد المشتقة على صورة دالة واستخدامها لإيجاد ميل المماس.

مثال ٢: إيجاد ميل المماس باستخدام مشتقة

افترض أن 󰎨(𞸎)=٨𞸎٦𞸎+٩٢. استخدم تعريف المشتقة لإيجاد 󰎨(𞸎)󰍱. ما ميل مماس المنحنى للدالة عند (١،٢)؟

الحل

سنستخدم تعريف المشتقة: 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎+𞸤)󰎨(𞸎)𞸤،󰍱𞸤٠ـــــ لإيجاد تعبير للدالة 󰎨(𞸎)󰍱. باستخدام الدالة المعطاة، يكون لدينا: 󰎨(𞸎)=󰁓٨(𞸎+𞸤)٦(𞸎+𞸤)󰁒+٩󰁓٨𞸎٦𞸎+٩󰁒𞸤=٨(𞸎+𞸤)٨𞸎٦(𞸎+𞸤)+٦𞸎𞸤.󰍱𞸤٠٢٢𞸤٠٢٢ــــــــــ

بفك الأقواس في البسط، يكون لدينا: 󰎨(𞸎)=٨󰁓𞸎+٢𞸎𞸤+𞸤󰁒٨𞸎٦𞸎٦𞸤+٦𞸎𞸤=٦١𞸎𞸤+٨𞸤٦𞸤𞸤.󰍱𞸤٠٢٢٢𞸤٠٢ــــــــــ

بما أن 𞸤٠، إذن يمكننا حذف هذا العامل المشترك من البسط والمقام لنحصل على: 󰎨(𞸎)=(٦١𞸎+٨𞸤٦).󰍱𞸤٠ـــــ

يمكننا الآن أخذ النهاية عند 𞸤٠، وهو ما يعطينا: 󰎨(𞸎)=٦١𞸎٦.󰍱

وبما أن قيمة المشتقة عند نقطة ما تساوي ميل مماس المنحنى عند هذه النقطة، إذن ميل مماس المحنى عند (١،٢) يساوي: 󰎨(١)=٦١(١)٦=٠١.󰍱

باستخدام تعريف المشتقة، يمكننا إيجاد مشتقة العديد من الأنواع المختلفة من الدوال باستخدام عدد من الطرق الجبرية لإيجاد قيمة النهاية. في المثالين التاليين، نستخدم تعريف المشتقة لإيجاد مشتقة دوال المقلوب والدوال الجذرية.

مثال ٣: إيجاد مشتقة دالة مقلوب

باستخدام تعريف المشتقة، أوجد قيمة دد𞸎󰃁١١+𞸎󰃀.

الحل

تَذكَّر تعريف المشتقة: ددـــــ𞸑𞸎=󰎨(𞸎+𞸤)󰎨(𞸎)𞸤.𞸤٠

بجَعْل 𞸑=١١+𞸎، يكون لدينا: ددـــــ𞸑𞸎=󰂔󰂓󰂔󰂓𞸤.𞸤٠١١+(𞸎+𞸤)١١+𞸎

نبدأ بالتعبير عن هذا على صورة كسر واحد مقامه هو المقام المشترك للبسط: ددـــــــــــــــ𞸑𞸎=󰂔󰂓󰂔󰂓𞸤=١+𞸎(١+𞸎+𞸤)𞸤󰁓١+(𞸎+𞸤)󰁒(١+𞸎)=𞸤𞸤󰁓١+(𞸎+𞸤)󰁒(١+𞸎).𞸤٠١+𞸎󰁓١+(𞸎+𞸤)󰁒(١+𞸎)١+(𞸎+𞸤)󰁓١+(𞸎+𞸤)󰁒(١+𞸎)𞸤٠𞸤٠

بما أن 𞸤٠، إذن يمكننا حذفه من البسط والمقام لنحصل على: ددـــــ𞸑𞸎=󰃭١󰁓١+(𞸎+𞸤)󰁒(١+𞸎)󰃬.𞸤٠

يمكننا الآن استخدام قواعد النهايات المحدودة لإعادة كتابة ذلك على صورة: ددــــــــــ𞸑𞸎=١󰁓١+(𞸎+𞸤)󰁒(١+𞸎)=١(١+𞸎)(١+(𞸎+𞸤)).𞸤٠𞸤٠

بحساب النهاية عند 𞸤٠، يكون لدينا: دد𞸑𞸎=١(١+𞸎).٢

مثال ٤: إيجاد مشتقة لدالة جذرية

أوجد مشتقة الدالة 𞸓(𞸎)=٨󰋴𞸎+٩ باستخدام تعريف المشتقة، ثم اذكر مجال الدالة ومجال المشتقة.

الحل

باستخدام تعريف المشتقة أن: 𞸓(𞸎)=𞸓(𞸎+𞸤)𞸓(𞸎)𞸤،󰍱𞸤٠ـــــ يكون لدينا: 𞸓(𞸎)=󰂔٨󰋴(𞸎+𞸤)+٩󰂓󰂔٨󰋴𞸎+٩󰂓𞸤=٨󰋴𞸎+٩٨󰋴(𞸎+𞸤)+٩𞸤.󰍱𞸤٠𞸤٠ــــــــــ

قبل أن نتمكَّن من إيجاد قيمة هذه النهاية، علينا ضرب البسط والمقام في مرافق البسط كما يلي: 𞸓(𞸎)=٨󰋴𞸎+٩٨󰋴(𞸎+𞸤)+٩𞸤٨󰋴𞸎+٩+٨󰋴(𞸎+𞸤)+٩٨󰋴𞸎+٩+٨󰋴(𞸎+𞸤)+٩=٤٦(𞸎+٩)٤٦󰁓(𞸎+𞸤)+٩󰁒𞸤󰂔٨󰋴𞸎+٩+٨󰋴(𞸎+𞸤)+٩󰂓=٤٦𞸤𞸤󰂔٨󰋴𞸎+٩+٨󰋴(𞸎+𞸤)+٩󰂓.󰍱𞸤٠𞸤٠𞸤٠ـــــــــــــــ

بما أن 𞸤٠، إذن يمكننا حذفه من البسط والمقام لنحصل على: 𞸓(𞸎)=٤٦٨󰋴𞸎+٩+٨󰋴(𞸎+𞸤)+٩.󰍱𞸤٠ـــــ

يمكننا الآن استخدام قواعد النهايات المحدودة لإعادة كتابة ذلك على صورة: 𞸓(𞸎)=٤٦٨󰋴𞸎+٩+٨󰋴(𞸎+𞸤)+٩.󰍱𞸤٠ـــــ

بحساب النهاية عند 𞸤٠ نحصل على: 𞸓(𞸎)=٤٦٦١󰋴𞸎+٩=٤󰋴𞸎+٩.󰍱

علينا الآن التفكير في مجال الدالة ومشتقتها. وبما أن الجذر التربيعي لعدد سالب ليس عددًا حقيقيًّا، إذن مجال 𞸓 يجب أن يقتصر على قيم 𞸎 التي تساوي تعبيرًا غير سالب تحت الجذر التربيعي. ومن ثم، فإن مجال 𞸓 يكون معرَّفًا بـ: 𞸎+٩٠.

وهذا يكافئ 𞸎٩، ويمكن كتابته على صورة فترة ]،٩]. من الواضح أن الشرط نفسه ينطبق على المشتقة. لكن لدينا شرط إضافي، وهو أن المقام لا يساوي صفرًا. وهذا يحدث عند النقطة 𞸎=٩. إذن، فإن مجال المشتقة لا يتضمَّن هذه النقطة. ومن ثم، تُكتَب باستخدام ترميز الفترة، ويكون مجال 𞸓(𞸎)󰍱 هو ]،٩[.

ومن المثير للاهتمام ملاحظة أن المشتقة قد لا تكون مُعرَّفة إلا في مجموعة جزئية من مجال الدالة الأصلية. عندما ننظر إلى قابلية اشتقاق الدالة، فسنعرف ذلك بمزيد من التفصيل.

مثال ٥: إيجاد النهايات باستخدام المشتقات

أوجد ـــــ𞸤٠󰎨(𞸤+٤)󰎨(𞸤٢)+󰎨(٢)󰎨(٤)𞸤.

الحل

عندما يُطلَب منا إيجاد قيمة نهاية، علينا عادةً ربطها بأمور أخرى نعرفها. يمكننا هنا أن نرى أنها تشبه بطريقة ما تعريف مشتقة 󰎨: 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎+𞸤)󰎨(𞸎)𞸤.󰍱𞸤٠ـــــ

إذن، يمكننا أن نحاول إعادة ترتيب التعبير لنرى إذا ما كان يمكننا عزل تعريف مشتقة 󰎨 عند نقطة معيَّنة. وعليه فإن: ــــــــــ𞸤٠𞸤٠󰎨(𞸤+٤)󰎨(𞸤٢)+󰎨(٢)󰎨(٤)𞸤=(󰎨(𞸤+٤)󰎨(٤))(󰎨(𞸤٢)+󰎨(٢))𞸤.

بما أن 𞸤+٤=٤+𞸤، إذن يمكننا ملاحظة أن الجزء الأول من هذا التعبير هو المشتقة 󰎨(٤)󰍱. ومن ثم، باستخدام قواعد النهايات، يكون لدينا: ــــــــــــــــــــ𞸤٠𞸤٠𞸤٠󰍱𞸤٠󰎨(𞸤+٤)󰎨(𞸤٢)+󰎨(٢)󰎨(٤)𞸤=(󰎨(٤+𞸤)󰎨(٤))𞸤󰎨(𞸤٢)󰎨(٢)𞸤=󰎨(٤)󰎨(𞸤٢)󰎨(٢)𞸤.

وبالمثل، بما أن 𞸤٢=٢+𞸤، إذن يمكننا أن ندرك أن التعبير الثاني على صورة المشتقة 󰎨(٢)󰍱. إذن: ـــــ𞸤٠󰍱󰍱󰎨(𞸤+٤)󰎨(𞸤٢)+󰎨(٢)󰎨(٤)𞸤=󰎨(٤)󰎨(٢).

عندما طرحنا فكرة بديهية للمشتقة، اعتمدنا على حقيقة أنه كلما كبَّرنا منحنى، أصبح يشبه على نحو متزايد خطًّا مستقيمًا. ولكن، هذا ليس الحال بالنسبة إلى جميع الدوال. في الواقع، يوجد العديد من الدوال التي لا يكون فيها الأمر هكذا. في المثال التالي، سنتناول إحدى هذه الدوال.

مثال ٦: قابلية اشتقاق الدالة

افترض أن الدالة 󰎨(𞸎)=|𞸎|.

  1. أوجد ـــــ𞸤٠+󰎨(𞸤)𞸤.
  2. أوجد ـــــ𞸤٠󰎨(𞸤)𞸤.
  3. ماذا يمكنك أن تستنتج بشأن مشتقة الدالة 󰎨(𞸎) عندما تكون 𞸎=٠؟

الحل

الجزء الأول

يمكننا إيجاد قيمة النهاية من جهة اليمين عندما تقترب 𞸤 من صفر. بما أن |𞸎|=𞸎 لجميع قيم 𞸎٠، إذن يكون لدينا: ـــــــــــــــ𞸤٠𞸤٠𞸤٠+++󰎨(𞸤)𞸤=𞸤𞸤=١=١.

الجزء الثاني

وبالمثل، يمكننا إيجاد قيمة النهاية من جهة اليسار عندما تقترب 𞸤 من صفر. بما أن |𞸎|=𞸎 لجميع قيم 𞸎<٠، إذن يكون لدينا: ـــــــــــــــ𞸤٠𞸤٠𞸤٠󰎨(𞸤)𞸤=𞸤𞸤=١=١.

الجزء الثالث

وبما أن النهايتين من جهتَي اليمين واليسار غير متساويتين، فإن النهاية: ــــــــــ𞸤٠𞸤٠󰎨(𞸤)𞸤=󰎨(𞸤)󰎨(٠)𞸤 غير موجودة. يمكننا إذن استنتاج أن مشتقة 󰎨 غير موجودة عند 𞸎=٠.

النقاط الرئيسية

  • مشتقة الدالة تُعرَّف بأنها: ـــــ𞸤٠󰎨(𞸎+𞸤)󰎨(𞸎)𞸤. يوجد تعريف بديل للمشتقة لكنه مكافئ لها، وهو: ـــــ𞸎𞸎١٠١٠١٠󰎨󰁓𞸎󰁒󰎨󰁓𞸎󰁒𞸎𞸎. توجد طريقتان شائعتان للدلالة على المشتقات: ترميز ليبنتز وترميز الشرطة (يشار إليه أحيانًا بترميز لاجرانج). بالنسبة إلى الدالة 𞸑=󰎨(𞸎) يُكتَب ترميز ليبنتز للمشتقة باستخدام معدَّلات التغيُّر المتناهية الصغر د𞸑، د𞸎 على صورة: دد𞸑𞸎، التي نقرؤها على أنها «مشتقة 𞸑 بالنسبة إلى 𞸎» أو «د𞸑 على د𞸎».
    باستخدام ترميز الشرطة، يُشار إلى مشتقة 󰎨(𞸎) بالنسبة إلى 𞸎 بـ 󰎨(𞸎)󰍱 التي نقرؤها على النحو الآتي «󰎨 شرطة لـ 𞸎».
  • تُعرف المشتقة أنها دالة تساوي ميل المماس عند كل نقطة على المنحنى.
  • الدالة المتصلة غير قابلة للاشتقاق بالضرورة عند جميع النقاط في مجال الدالة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.