فيديو السؤال: إيجاد الصورة المثلثية لجذور الأعداد المركبة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد الجذور التكعيبية للعدد ٦٤، مع كتابة الإجابة في الصورة المثلثية.

يطلب منا هذا السؤال حل المعادلة ﻉ تكعيب تساوي ٦٤. تشبه طريقة حل هذه المعادلة كثيرًا الطريقة التي نستخدمها لحل المعادلة ﻉ تكعيب تساوي واحدًا. نقول إن المعادلة ﻉ أس ﻙ تساوي واحدًا لها جذور تسمى الجذور النونية للعدد واحد. الصورة المثلثية لهذه الجذور هي: ﻉ تساوي جتا اثنين 𝜋ﺭ على ﻙ زائد ﺕ جا اثنين 𝜋ﺭ على ﻙ، حيث ﺭ يساوي صفرًا، وواحدًا، واثنين، وهكذا حتى ﻙ ناقص واحد.

نبدأ بإعادة كتابة هذه المعادلة على صورة ﻉ تكعيب تساوي ٦٤ في واحد. بعد ذلك، نوجد الجذر التكعيبي لكلا طرفي المعادلة. لعلنا نتذكر أن الجذر النوني لحاصل ضرب أي عددين حقيقيين، ﺃ، ﺏ، يساوي حاصل ضرب الجذرين النونيين لهذين العددين. من ثم، سنكتب الجذر التكعيبي لـ ٦٤ في واحد على صورة الجذر التكعيبي لـ ٦٤ في الجذر التكعيبي لواحد. الجذر التكعيبي لـ ٦٤ يساوي أربعة، ونحصل على الجذر التكعيبي للعدد واحد من جتا اثنين ﺭ𝜋 على ثلاثة زائد ﺕ جا اثنين ﺭ𝜋 على ثلاثة، حيث ﺭ يأخذ القيم صفرًا، وواحدًا، واثنين.

لإيجاد الجذور الثلاثة، سنجعل ﺭ يساوي صفرًا، وواحدًا، واثنين. عند ﺭ يساوي صفرًا، فإن الجذر، الذي سنسميه ﻉ واحد، سيساوي أربعة في جتا صفر زائد ﺕ جا صفر. ‏جتا صفر يساوي واحدًا، وجا صفر يساوي صفرًا. هذا يعني ببساطة أن ﻉ واحد يساوي أربعة. عند ﺭ يساوي واحدًا، فإن الجذر الثاني ﻉ اثنين يساوي أربعة في جتا اثنين 𝜋 على ثلاثة زائد ﺕ جا اثنين 𝜋 على ثلاثة. في هذه المرحلة، يمكننا إيجاد قيمة جتا اثنين 𝜋 على ثلاثة وجا اثنين 𝜋 على ثلاثة. لكن لأن السؤال يطلب منا كتابة الإجابة على الصورة المثلثية، فسنتركها كما هي. أخيرًا، عند ﺭ يساوي اثنين، فإن الجذر الثالث ﻉ ثلاثة يساوي أربعة في جتا أربعة 𝜋 على ثلاثة زائد ﺕ جا أربعة 𝜋 على ثلاثة.

في هذه المرحلة، قد نظن أننا أوجدنا الجذور الثلاثة. لكننا نتذكر أن القيمة الأساسية للسعة 𝜃 يجب أن تكون أكبر من سالب 𝜋 وأقل من أو تساوي 𝜋. هذا لا ينطبق على أربعة 𝜋 على ثلاثة. لحسن الحظ، من خلال جمع أو طرح مضاعفات اثنين 𝜋 من السعة، يمكننا إيجاد قيمة تقع ضمن نطاق القيمة الأساسية. أربعة 𝜋 على ثلاثة ناقص اثنين 𝜋 يساوي سالب اثنين 𝜋 على ثلاثة، وهذا بالفعل أكبر من سالب 𝜋. من ثم، يمكننا إعادة كتابة الجذر الثالث ﻉ ثلاثة على صورة أربعة في جتا سالب اثنين 𝜋 على ثلاثة زائد ﺕ جا سالب اثنين 𝜋 على ثلاثة.

إذن، لدينا الآن الجذور التكعيبية الثلاثة للعدد ٦٤ كما هو مطلوب. هذه الجذور التكعيبية هي أربعة، وأربعة في جتا اثنين 𝜋 على ثلاثة زائد ﺕ جا اثنين 𝜋 على ثلاثة، وأربعة في جتا سالب اثنين 𝜋 على ثلاثة زائد ﺕ جا سالب اثنين 𝜋 على ثلاثة.