فيديو السؤال: إيجاد نهاية قسمة مقدارين عبارة عن فرق بين قوتين الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لـ ﺱ أس ثمانية ناقص ٢٥٦ الكل مقسومًا على ﺱ أس أربعة ناقص ١٦.

يطلب منا السؤال حساب قيمة النهاية لقسمة كثيرتي حدود. وهذه نهاية لدالة كسرية. لذا، سنحاول إيجاد قيمة النهاية بالتعويض المباشر. سنعوض بـ ﺱ يساوي سالب اثنين في الدالة الموجودة داخل النهاية. هذا يعطينا سالب اثنين أس ثمانية ناقص ٢٥٦ الكل مقسومًا على سالب اثنين أس أربعة ناقص ١٦. وإذا حسبنا قيمة هذا المقدار، فسنحصل على ٢٥٦ ناقص ٢٥٦ الكل مقسومًا على ١٦ ناقص ١٦، وهو ما يمكن تبسيطه ليعطينا صفرًا على صفر، وهذه صيغة غير معينة. هذا يخبرنا بأنه لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر؛ ومن ثم علينا استخدام طريقة مختلفة.

بما أن هذه نهاية قسمة كثيرتي حدود، فسنحاول تحليل البسط والمقام. هيا نبدأ بتحليل كثيرة الحدود في البسط. لدينا المقدار ﺱ أس ثمانية ناقص ٢٥٦. يمكننا هنا ملاحظة أن هذا فرق بين مربعين. وقد يكون من الأسهل ملاحظة هذا إذا أعدنا كتابة ذلك ليصبح لدينا ﺱ أس أربعة الكل تربيع ناقص ١٦ تربيع. علينا الآن أن نسترجع كيف نحلل الفرق بين مربعين. نحن نعلم أن ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع يساوي ﺃ ناقص ﺏ مضروبًا في ﺃ زائد ﺏ. إذن، بجعل قيمة ﺃ تساوي ﺱ أس أربعة وقيمة ﺏ تساوي ١٦، يمكننا تحليل كثيرة الحدود في البسط إلى ﺱ أس أربعة ناقص ١٦ مضروبًا في ﺱ أس أربعة زائد ١٦.

يمكننا هنا ملاحظة شيء مثير للاهتمام. ‏ﺱ أس أربعة ناقص ١٦ هو عامل مشترك في البسط، وهو المقدار الموجود لدينا في المقام. بعبارة أخرى، لقد أعدنا كتابة النهاية المعطاة في السؤال لتصبح النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لـ ﺱ أس أربعة ناقص ١٦ مضروبًا في ﺱ أس أربعة زائد ١٦ الكل مقسومًا على ﺱ أس أربعة ناقص ١٦. والآن نريد حذف العامل المشترك ﺱ أس أربعة ناقص ١٦ من كل من البسط والمقام. ويمكننا فعل ذلك مع كثيرات الحدود. بما أننا نريد إيجاد قيمة النهاية لهذه الدالة عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين، فما يعنينا فقط هو ما يحدث عندما يقترب ﺱ أكثر فأكثر من سالب اثنين، وليس ما يحدث عند ﺱ يساوي سالب اثنين. ومن ثم، يمكننا حذف العامل المشترك في البسط والمقام. وعليه، فإن ذلك لن يساوي صفرًا.

إذن، بإجراء ذلك، نكون قد أوضحنا أن نهاية الدالة المعطاة في السؤال تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لـ ﺱ أس أربعة زائد ١٦. ولأنها نهاية كثيرة حدود، يمكننا إيجاد قيمتها باستخدام التعويض المباشر. عند التعويض بـ ﺱ يساوي سالب اثنين في كثيرة الحدود، نحصل على سالب اثنين أس أربعة زائد ١٦، وهو ما يساوي ٣٢. إذن، باستخدام العمليات الجبرية والتعويض المباشر، تمكنا من إيجاد أن النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لـ ﺱ أس ثمانية ناقص ٢٥٦ الكل مقسومًا على ﺱ أس أربعة ناقص ١٦ تساوي ٣٢.