نسخة الفيديو النصية
إيجاد قيم النهايات باستخدام الطرق الجبرية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم الطرق الجبرية مثل التحليل لإيجاد قيمة النهاية لدالة. أولًا، دعونا نتذكر تعريف النهاية، وهو: لدالة ما ﺩﺱ، معرفة بالقرب من القيمة حيث ﺱ يساوي ﺃ، عندما يقترب ﺱ من ﺃ، فإن ﺩﺱ تقترب من ﻝ. وتسمى هذه القيمة ﻝ بالنهاية. وكتبنا هنا الصيغة القياسية لوصف النهاية.
إذا كانت ﺩﺱ دالة نسبية تتضمن ﺃ في مجالها، فيمكننا ببساطة القول إن نهاية ﺩﺱ، عندما يقترب ﺱ من ﺃ، تساوي ﺩﺃ. وبما أننا نعوض بالقيمة ﺃ في الدالة لدينا، فإن هذه الطريقة عادة ما توصف بالتعويض المباشر. ومن المهم هنا ملاحظة أنه حتى إذا كانت ﺃ لا تقع في مجال الدالة ﺩ، فلا يزال بإمكاننا أحيانًا إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ. وذلك لأن النهاية تتعلق بالقيم حيث يقترب ﺱ من ﺃ ولكن ليس حيثما يساوي ﺃ. وسنرى كيفية تطبيق ذلك بعد قليل.
في هذا الفيديو، سوف نركز على الدوال التي تكون على الصورة ﻝﺱ على ﺭﺱ حيث ﻝ وﺭ عبارة عن دالتين كثيرتي الحدود. وفي الحالات التي سنتناولها، عند ﺱ يساوي ﺃ، قيمة ﻝﺃ على ﺭﺃ ستساوي الصيغة غير المعينة صفر على صفر. هذا يعني أننا إذا حاولنا إيجاد نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ، عن طريق التعويض بـ ﺱ يساوي ﺃ في الدالة مباشرة، فسوف تفشل إذن طريقة التعويض وسنحتاج إلى استخدام طريقة أخرى.
إذا نظرنا إلى خارج القسمة لدينا، فسنلاحظ أن كلًا من ﻝﺃ وﺭﺃ يساوي صفرًا. وباسترجاع نظرية العوامل الخطية، نستنتج أن كلًا من ﻝﺱ وﺭﺱ لهما نفس العامل المشترك وهو ﺱ ناقص ﺃ. باستخدام هذه المعطيات، يمكننا إعادة كتابة الدالة ﻝ ﺱ على صورة حاصل ضرب ﺱ ناقص ﺃ في دالة أخرى، سنطلق عليها الدالة ﻡﺱ. وبالطبع، يمكن اتباع المنطق نفسه مع ﺭﺱ.
هذا يتيح لنا إعادة كتابة خارج القسمة الأصلي لدينا على صورة ﺱ ناقص ﺃ في ﻡﺱ مقسومًا على ﺱ ناقص ﺃ في ﻥ ﺱ. في هذه الصيغة، نلاحظ أنه يمكن إلغاء العامل المشترك ﺱ ناقص ﺃ من الجزأين العلوي والسفلي لخارج القسمة. وعندئذ، يتبقى لدينا ﻡﺱ على ﻥﺱ. دعونا نعرف خارج القسمة الجديد على أنه ﻕﺱ.
أحد الأسئلة المنطقية التي يمكن طرحها: لماذا كتبنا هذا التعريف الجديد إذا كان ﺩﺱ تساوي ﻕﺱ بوضوح. في الواقع، الإجابة هي أننا بإلغاء العامل المشترك ﺱ ناقص ﺃ، نكون قد غيرنا مجال الدالة ﺩﺱ. ومن ثم، فإن ﺩﺱ تساوي ﻕﺱ، لكن ليس عند النقطة حيث ﺱ يساوي ﺃ. ويمكننا القول بشكل أدق إن ﻕﺱ معرفة عندما ﺱ يساوي ﺃ، في حين أن ﺩﺱ غير معرفة.
هذا رائع؛ لأنه يتيح لنا الانتقال إلى القاعدة العامة التالية. نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ تساوي نهاية ﻕﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ إذا كانت ﺩ وﻕ متساويتين عند جميع النقاط على فترة ما فيما عدا النقطة التي عندها ﺱ يساوي ﺃ. ومرة أخرى، من الجيد أن نفهم أن هذا يحقق الحل؛ لأن النهاية تتعلق بقيم ﺱ القريبة من ﺃ لكنها لا تساوي ﺃ. وبما أن ﻕ دالة نسبية تتضمن ﺃ في مجالها، يمكننا ببساطة إيجاد قيمة النهاية بالتعويض المباشر، وهو إيجاد قيمة ﻕ حيث ﺱ يساوي ﺃ. حسنًا، ذكرنا معلومات كثيرة، ولنر مثالًا يوضح هذا المفهوم.
أوجد نهاية ﺱ تربيع زائد ١٣ﺱ زائد ٤٠ مقسومًا على ﺱ تكعيب زائد تسعة ﺱ تربيع ناقص ١٢ﺱ ناقص ١٦٠، عندما يقترب ﺱ من سالب ثمانية.
نلاحظ هنا أننا نحاول إيجاد نهاية دالة نسبية، سنطلق عليها الدالة ﺩﺱ. في هذا النوع من الدوال، إذا كان سالب ثمانية يقع في مجال ﺩ، فإن قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب ثمانية تساوي ببساطة قيمة ﺩ عند سالب ثمانية. أول ما يمكننا فعله هو أن نجرب التعويض المباشر بسالب ثمانية في الدالة.
وهكذا نكون قد أجرينا التعويض. وبمتابعة الحل، نجد أن القيمة التي نحصل عليها كناتج هي صفر على صفر. هذه صيغة غير معينة، وهو ما يعني أنه لا يمكننا إيجاد قيمة النهاية بالتعويض المباشر. ونستنتج أيضًا أن سالب ثمانية لا يقع في مجال الدالة ﺩ. ومن ثم، سنحتاج إلى استخدام طريقة أخرى. يمكننا القيام بذلك أولًا من خلال معرفة أن الدالة ﺩﺱ تكون على الصورة ﻝﺱ على ﺭﺱ، حيث ﻝ وﺭ عبارة عن دالتين كثيرتي الحدود.
بالنظر إلى طريقة التعويض التي استخدمناها دون جدوى، نلاحظ أن كلًا من ﻝ لسالب ثمانية وﺭ لسالب ثمانية يساويان صفرًا. وبناء على هذه المعطيات، يمكننا استخدام نظرية العوامل الخطية حيث نستنتج منها أن ﺱ زائد ثمانية هو عامل مشترك في كل من ﻝﺱ وﺭﺱ. وبما أن التعويض المباشر فشل، فلنجرب تحليل الجزأين العلوي والسفلي لخارج القسمة، علمًا بأن كليهما يحتوي على العامل المشترك ﺱ زائد ثمانية.
بالنسبة للبسط، من المفترض أننا على دراية جيدة بتحليل الصيغة التربيعية. وإذا دققنا النظر، فسنلاحظ أنه يمكن تحليل ﺱ تربيع زائد ١٣ﺱ زائد ٤٠ إلى ﺱ زائد ثمانية وﺱ زائد خمسة. أما في المقام، فعادة ما يكون تحليل صيغة تكعيبية مهمة أصعب بكثير. لكن، بما أننا نعرف بالفعل أن أحد العوامل هو ﺱ زائد ثمانية، فيمكننا استخدام طرق مثل قسمة كثيرات الحدود أو مقارنة المعاملات لإيجاد العامل الآخر.
في هذا الفيديو، سوف نستخدم مقارنة المعاملات. ونبدأ بمعرفة أن العامل الآخر لدينا سيكون على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ. لإيجاد ﺃ، نلاحظ أن لدينا ﺱ مضروبًا في ﺃﺱ تربيع. وهذا يساوي ﺱ تكعيب. ومن ثم، ﺃ يساوي واحدًا. ونلاحظ بعدها أن العامل الثاني يبدأ بالحد ﺱ تربيع.
بعد ذلك، لإيجاد ﺟ، نلاحظ أن لدينا ثمانية مضروبًا في ﺟ يساوي سالب ١٦٠. وبحساب ذلك، نجد أن ﺟ يساوي سالب ٢٠. وأخيرًا، لإيجاد ﺏ، سنختار التعامل مع الحد تسعة ﺱ تربيع. بالنظر إلى المعاملات السابقة، لاحظنا أن لدينا أولًا ثمانية مضروبًا في ﺱ تربيع. وهذا يعطينا ثمانية ﺱ تربيع. ولدينا أيضًا ﺱ مضروبًا في ﺏﺱ، وهذا يعطينا ﺏﺱ تربيع. مجموع هذين الحدين يساوي تسعة ﺱ تربيع. وعليه، فإن ﺏ يساوي واحدًا.
وبذلك، نكون حللنا الآن مقام خارج القسمة تحليلًا كاملًا. والعامل الناقص هو ﺱ تربيع زائد ﺱ ناقص ٢٠. بعد التحليل، سيكون بإمكاننا إلغاء العامل المشترك ﺱ زائد ثمانية من الجزء العلوي والسفلي لخارج القسمة. ويتبقى لدينا ﺱ زائد خمسة على ﺱ تربيع زائد ﺱ ناقص ٢٠.
الآن، علينا أن نتذكر أننا بإلغاء العامل المشترك ﺱ زائد ثمانية، نكون قد غيرنا مجال الدالة الأصلية ﺩﺱ. يمكننا القول إن ﺩﺱ تساوي الطرف الأيسر من المعادلة لدينا، الذي سنطلق عليه ﻕﺱ، عند جميع القيم حيث ﺱ لا يساوي سالب ثمانية. ومن ثم، فإن نهاية ﺩﺱ، عندما يقترب ﺱ من سالب ثمانية، تساوي نهاية ﻕﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب ﺱ. يرجع هذا بالضرورة إلى أن النهاية تتعلق بالقيم التي يكون فيها ﺱ قريبًا من سالب ثمانية لكنه لا يساوي سالب ثمانية.
النقطة المهمة هنا هي أن الدالة ﻕﺱ معرفة عند ﺱ يساوي سالب ثمانية. ولذا، يمكننا إيجاد قيمة النهاية بالتعويض المباشر. وقد أجرينا هنا التعويض بسالب ثمانية في الدالة ﻕ. إذا تابعنا إجراء العمليات الحسابية، فسنجد أن هذا يساوي سالب ثلاثة على ٣٦. ويمكن تبسيط هذا الكسر إلى سالب واحد على ١٢. وبذلك، نكون قد أجبنا عن السؤال. وأوجدنا قيمة النهاية.
هذا المثال يوضح أنه عندما تكون قيمة كل من الدالتين ﻝﺱ وﺭﺱ صفرًا، فإنه يمكننا الاستعانة بنظرية العوامل الخطية في عمليات التحليل التي يحتمل أن تكون صعبة كما في حالة تحليل الصيغ التكعيبية. لنتناول الآن أسلوبًا آخر يمكن أن يساعدنا على تجنب عمليات التحليل الصعبة أولًا من خلال التركيز على التعبيرات التي تكون على الصورة ﺱ أس ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ، أو الفرق بين الأسين ﻥ.
بما أن التعويض بـ ﺱ يساوي ﺃ في هذه المعادلة سينتج عنه صفر دائمًا، فإن نظرية العوامل الخطية ستخبرنا مجددًا أن كل التعبيرات التي تكون على هذه الصورة ستكون قيمتها صفرًا. ومن ثم، فإنها جميعًا ستتضمن العامل ﺱ ناقص ﺃ. باستخدام هذه القاعدة العامة، نلاحظ أن العامل الثاني سيكون على صورة كثيرة الحدود عدد حدودها ﻥ بحيث تقل أسس ﺱ وتزداد أسس ﺃ وصولًا إلى الأس ﻥ ناقص واحد. فيما يلي بعض الأمثلة التي توضح ذلك.
يمكن استخدام هذه القاعدة العامة لاشتقاق صيغة مفيدة جدًا على النحو التالي. فكر في حالة الفرق بين القوتين ﻥ، حيث ﺱ أي ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ، مقسومًا على الفرق بين الأسين ﻡ، حيث ﺱ أس ﻡ ناقص ﺃ أس ﻡ. يمكننا استخدام القاعدة العامة للتعبير عن الجزأين العلوي والسفلي لخارج القسمة لدينا على صورة حاصل ضرب عاملين. في كلتا الحالتين، سيكون أحد هذه العوامل هو ﺱ ناقص ﺃ.
ويمكننا حذف هذا العامل المشترك ﺱ ناقص ﺃ في كل من الجزأين العلوي والسفلي لخارج القسمة. عند إلغاء العامل المشترك، علينا أن نتذكر أن الطرفين الأيسر والأيمن في كلتا المعادلتين متساويان ما دام أن قيمة ﺱ لا تساوي ﺃ. وبما أن قيمة النهاية، عندما يقترب ﺱ من ﺃ، تتعلق بجميع قيم ﺱ القريبة من ﺃ لكنها لا تساوي ﺃ، يمكننا القول إن قيمة النهاية للطرف الأيمن تساوي قيمة النهاية للطرف الأيسر.
بالنظر للحظة إلى بسط خارج القسمة، نجد أننا نستخدم الآن حيلة التعويض المباشر التالية، حيث نعوض عن ﺱ بالقيمة ﺃ. وبهذا التعويض، تتبقى لدينا متتابعة عدد حدودها ﻥ والتي كل حدودها تساوي ﺃ أس ﻥ ناقص واحد. وهذا يساوي ببساطة ﻥ في ﺃ أس ﻥ ناقص واحد. على الرغم من أننا استخدمنا البسط في هذا المثال، فإن الفكرة نفسها تنطبق على مقام خارج القسمة ويكون الناتج عندئذ هو ﻡ في ﺃ أس ﻡ ناقص واحد.
بعد ذلك، ننتقل إلى تبسيط أسس ﺃ. سنجد أن قيمة النهاية، عندما يقترب ﺱ من ﺃ تساوي ﻥ على ﻡ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ. وهذه نتيجة مفيدة جدًا فيما يخص المعادلات التي تكون على هذه الصورة لأنه حتى إذا كان الأس ﻥ أو ﻡ كبيرًا، فيمكننا تجنب عمليات التحليل المطولة عند إيجاد قيمة النهاية. لنر الآن كيفية استخدام هذه الطريقة في مثال.
أوجد نهاية ثمانية ﺱ تكعيب ناقص ٦٤ مقسومًا على ﺱ تربيع ناقص أربعة عندما يقترب ﺱ من اثنين.
لدينا هنا دالة سنطلق عليها الدالة ﺩﺱ. بما أن هذه دالة نسبية، فإن أول ما يمكن أن نجربه هو التعويض المباشر بـ ﺱ يساوي اثنين في الدالة التي لدينا. هكذا نكون قد أجرينا التعويض. وعند إيجاد قيمة النهاية، نجد أن ما يتبقى لدينا هو الصيغة غير المعينة صفر على صفر. بدلًا من ذلك، سيكون علينا الانتقال إلى طريقة أخرى تعتمد على التحليل.
في هذه الطريقة، سنلاحظ أن الدالة ﺩﺱ على الصورة ﻝﺱ على ﺭﺱ، حيث ﻝ وﺭ عبارة عن دالتين كثيرتي الحدود. وبالنظر إلى بسط خارج القسمة، لاحظنا أن كلا الحدين يتضمنان العامل ثمانية. ومن ثم، يمكننا تحليل البسط إلى ثمانية في ﺱ تكعيب ناقص ثمانية. وبما أن الثمانية هنا عبارة عن ثابت، يمكننا أخذه خارج النهاية على النحو التالي. إذا أوجدنا بدلًا من ذلك قيمة النهاية لـ ﺱ تكعيب ناقص ثمانية مقسومًا على ﺱ تربيع ناقص أربعة، عندما يقترب ﺱ من اثنين، وضربنا ذلك كله في الثابت ثمانية، فإن هذا سيعطينا الناتج نفسه.
للمتابعة، يمكننا ملاحظة أنه يمكن التعبير عن كل من ثمانية في البسط وأربعة في المقام على صورة اثنين مرفوعًا لأس ما، أي اثنين تكعيب واثنين تربيع على الترتيب. سنلاحظ بعد ذلك أن النهاية تصبح الآن على الصورة التالية. في هذه الحالة، سنقول إن الجزء العلوي من خارج القسمة يساوي الفرق بين الأسين ﻥ، حيث الأس ﻥ يساوي ثلاثة؛ والجزء السفلي من خارج القسمة يساوي الفرق بين الأسين ﻡ، حيث الأس ﻡ يساوي اثنين.
بالنظر إلى هذه الصيغة، يمكننا استخدام القاعدة العامة التالية التي توضح أن قيمة النهاية ستساوي ﻥ على ﻡ في ﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ. وهنا قد نلاحظ أن الجزأين العلوي والسفلي يحتويان على العامل المشترك ﺱ ناقص اثنين. يمكننا بدلًا من ذلك حذف هذا العامل المشترك والمتابعة من خلال إعادة التحليل. لكن، هذه القاعدة العامة تتيح لنا الانتقال مباشرة إلى النهاية.
في الحالات حيث تكون قيمة ﻥ أو ﻡ كبيرة، فإن هذا يساعدنا على تجنب إعادة التحليل المطول أو الذي يستغرق وقتًا طويلًا. بالتعويض بالقيم في القاعدة العامة، حيث ﺃ يساوي اثنين، وﻥ يساوي ثلاثة، وﻡ يساوي اثنين أيضًا، سنجد أن قيمة النهاية تساوي ثلاثة على اثنين مضروبًا في اثنين أس ثلاثة ناقص اثنين. علينا أيضًا ألا ننسى ضرب هذا كله في الثمانية الذي أخذناه خارج النهاية.
بالطبع، ثلاثة ناقص اثنين يساوي واحدًا فقط. وهكذا، يمكننا تبسيط هذا بإلغاء الاثنين مع الواحد على اثنين. وبذلك، نجد أن الناتج يساوي ثمانية في ثلاثة، أي ٢٤. وهكذا نجد أن نهاية الدالة ﺩﺱ، عندما يقترب ﺱ من اثنين، تساوي ٢٤. وبذلك، نكون قد أجبنا عن السؤال.
إن القاعدة العامة التي استخدمناها في هذا الفيديو تقدم لنا طريقة مختصرة مفيدة يمكن استخدامها عند إمكانية التعبير عن الدالة ﺩﺱ على هذه الصورة. على الرغم من أن الأسس التي يتضمنها هذا السؤال صغيرة إلى حد ما، فإنه عندما تكون قيمتا ﻥ وﻡ كبيرتين بما يكفي، فقد تتمكن من توفير وقت أكبر بكثير. هناك نقطة مهمة جديرة بالذكر هنا وهي أنه يمكن أيضًا استخدام الطرق التي وضحناها في هذا الفيديو لإيجاد قيم نهايات الدوال التي تتضمن جذورًا. ونذكر، على وجه التحديد، الحالة التي فيها ﺩﺱ تساوي ﻝﺱ على ﺭﺱ، حيث ﻝ أو ﺭ يتضمن حدًا عبارة عن جذر، مثل الجذر التربيعي لـ ﺱ.
على الرغم من أن هذه الدوال لا تصنف على أنها دوال نسبية، فلا يزال بإمكاننا استخدام بعض الطرق التي تناولناها. ومثالًا على ذلك عندما نوجد قيمة النهاية للجذر التكعيبي لـ ﺱ ناقص اثنين مقسومًا على ﺱ ناقص ثمانية، عندما يقترب ﺱ من ثمانية. إذا جربنا طريقة التعويض المباشر، فسيتبقى لدينا الصيغة غير المعينة صفر على صفر.
لكن، إذا استخدمنا طريقة التحليل بدلًا من ذلك، لا سيما بأخذ عامل مشترك وهو الجذر التكعيبي لـ ﺱ ناقص اثنين من المقام، فسنتمكن من المتابعة بالطريقة المعتادة. وهي إلغاء العامل المشترك في الجزأين العلوي والسفلي من خارج القسمة، ثم التعويض بـ ﺱ يساوي ثمانية مباشرة في التعبير المتبقي لنحصل على الناتج واحد على ١٢ في النهاية. على الرغم من أن استخدام هذه الطرق كان مجديًا في هذا المثال، فإننا في بعض الحالات سنحتاج إلى استخدام طريقة أخرى تعتمد على الضرب في المرافق. يمكن توضيح هذه الطريقة باستخدام مثال.
أوجد نهاية ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد واحد ناقص ثلاثة عندما يقترب ﺱ من ثمانية.
نلاحظ هنا أننا نحسب قيمة النهاية لدالة ﺩﺱ، والتي تكون على الصورة ﻝﺱ على ﺭﺱ. إذا جربنا طريقة التعويض المباشر لحل هذا المثال، فستكون قيمة التعبير عبارة عن الصيغة غير المعينة صفر على صفر. علينا استخدام طريقة مختلفة بدلًا من ذلك. أول ما يمكننا ملاحظته هو إمكانية تحليل البسط على الصورة ﺱ مضروبًا في ﺱ ناقص ثمانية. في ضوء معرفتنا بنظرية العوامل الخطية، ربما نكون قد توقعنا هذا العامل وهو ﺱ ناقص ثمانية، نظرًا لأن قيمة الدالة ﻝ تعطينا الناتج صفرًا حيث ﺱ يساوي ثمانية.
لسوء الحظ، لا يمكن إيجاد قيمة المقام بطريقة مباشرة. لكننا قد ندرك أنه يمكننا المتابعة من خلال اعتبار المقام مقدارًا ذا حدين على الصورة ﺃ ناقص ﺏ، حيث ﺃ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ ناقص واحد وﺏ يساوي ثلاثة. يمكن إيجاد المرافق لأي مقدار ذي حدين من خلال عكس الرمز الموجود بين الحدين. وعندئذ، سيكون مرافق المقدار ذي الحدين لدينا ﺃ زائد ﺏ. وسيكون ذلك في هذه الحالة الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد واحد زائد ثلاثة.
يعتبر ضرب مقدار ذي حدين في مرافقه طريقة مفيدة لأن ما يتبقى لدينا هو الفرق بين مربعين. وبما أن المقام لدينا يحتوي على جذر تربيعي، يمكننا استخدام هذه العلاقة لإيجاد قيمة الدالة. والضرب في المرافق على نفسه هو ذاته الضرب في واحد. ولكن، يمكن تبسيط الجزء السفلي إلى الفرق بين مربعين.
وببعض خطوات الحل، نجد أن المقام يصبح ﺱ ناقص ثمانية. وبعدها، سنتمكن من إلغاء العامل المشترك ﺱ ناقص ثمانية في كل من الجزء العلوي والسفلي لخارج القسمة. وفي الطرف الأيسر من المعادلة، يتبقى لدينا ﺱ مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد واحد زائد ثلاثة.
بما أن الدالة الأصلية ﺩﺱ تساوي الطرف الأيسر من المعادلة عند جميع النقاط حيث ﺱ لا يساوي ثمانية، فيمكننا القول إن نهاية الدالة الأصلية ﺩﺱ، عندما يقترب ﺱ من ثمانية، تساوي نهاية الدالة الجديدة، التي سنطلق عليها ﻕﺱ، عندما يقترب ﺱ من ثمانية. ذلك لأن النهاية تتعلق بقيم ﺱ التي تقترب بما يكفي من ثمانية لكنها لا تساوي ثمانية.
في هذه الصيغة، يمكننا إجراء تعويض مباشر بـ ﺱ يساوي ثمانية في الدالة ﻕ لإيجاد قيمة النهاية. عند إجراء التعويض وإيجاد الناتج بعد ذلك، نحصل على القيمة ٤٨. وهذه، في الواقع، هي قيمة النهاية المطلوب إيجادها.
والآن، علينا أن نسترجع هنا حقيقة أننا لم نتمكن أولًا من إيجاد قيمة النهاية باستخدام التعويض المباشر لأن هذا أدى بنا إلى الصيغة غير المعينة صفر على صفر. بدلًا من ذلك، بعد التحليل واستخدام المرافق لإلغاء العامل المشترك، يمكن استخدام التعويض المباشر. ومن ثم، علينا الانتباه إلى استخدام هذه الطريقة مع الأسئلة التي تكون على هذه الصورة عندما نلاحظ وجود جذر في خارج القسمة.
لنسترجع الآن بعض النقاط الأساسية التي تناولناها. عند إيجاد قيمة النهاية لدالة نسبية ما ﺩﺱ، يتم التعبير عنها على الصورة ﻝﺱ على ﺭﺱ، واستخدام التعويض المباشر لإيجاد قيمتها، فربما يؤدي بنا ذلك إلى الصيغة غير المعينة صفر على صفر. وفي هذه الحالات، إذا كانت الدالة ﺩﺱ تساوي تقريبًا ﻕﺱ. هذا يعني أن ﺩﺱ تساوي ﻕﺱ عند جميع قيم ﺱ فيما عدا التي يكون عندها ﺱ يساوي ﺃ. ومن ثم، فإن نهاية ﺩﺱ، عندما يقترب ﺱ من ﺃ، تساوي نهاية ﻕﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ.
بافتراض أن النقطة ﺃ تقع في مجال الدالة الجديدة ﻕ، بمعنى أن الدالة ﻕﺱ تكون معرفة عند ﺱ يساوي ﺃ، يمكننا إيجاد قيمة النهاية بالتعويض المباشر، بمعنى إيجاد قيمة ﻕﺃ. ويمكننا إيجاد الدالة ﻕﺱ عن طريق عدد من الطرق مثل التحليل أو الضرب في مرافق البسط أو المقام.
تتضمن الطرق التي استعرضناها في هذا الفيديو إلغاء العامل المشترك ﺱ ناقص ﺃ من الجزأين العلوي والسفلي لخارج القسمة. وبما أن إيجاد قيمة النهاية يتضمن القيم التي تكون قريبة من ﺃ لكنها لا تساوي ﺃ، فلا يهم إذا كنا بإلغاء العامل المشترك نغير مجال الدالة الأصلية ﺩﺱ. وأخيرًا، عندما تتخذ الدالة صورًا معينة، تكون هناك بعض الطرق المختصرة التي يمكن استخدامها لإيجاد قيمة النهاية بطريقة مباشرة وتجنب بعض عمليات التحليل المطولة.
