شارح الدرس: إيجاد قيمة النهايات باستخدام أساليب جبرية الرياضيات

مثال ١: إيجاد قيمة نهاية دالة كسرية عند نقطة

أوجد .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة نهاية دالةٍ كسرية. ونحن نعلم أنه لا يُمكننا إيجاد قيمة نهاية دالةٍ كسرية باستخدام التعويض المباشر إلَّا إذا كانت قيمة المقام لا تساوي صفرًا عند نقطة النهاية. ويُمكننا التحقُّق من هذا الشرط عن طريق التعويض بنقطة النهاية في المقام :

بما أن قيمة المقام تساوي صفرًا عند نقطة النهاية، فلا يُمكننا إيجاد هذه النهاية عن طريق التعويض المباشر. في هذه الحالة، نعلم أن النهاية غير موجودة إذا كانت قيمة البسط لا تساوي صفرًا أيضًا. ويُمكننا التحقُّق من هذا الشرط عن طريق التعويض بنقطة النهاية في البسط:

هذا يعني أن خارج القسمة هذا يتَّخذ الصورة عندما نعوِّض بنقطة النهاية. ولعلنا نتذكَّر أن صيغة غير معيَّنة، وليس حلًّا صحيحًا لأيِّ مسألةٍ بها نهايات. وهذا يعني أنه علينا استخدام طريقة أخرى لإيجاد قيمة هذه النهاية.

نلاحِظ أن كلًّا من البسط والمقام يساوي صفرًا عند . وهنا نتذكَّر نظرية الباقي، التي تنصُّ على أنه إذا كانت الدالة كثيرة الحدود؛ حيث ، فإن عاملٌ للدالة . في هذه الحالة، تُوضِّح لنا نظرية الباقي أن عاملٌ لكثيرتَيِ الحدود لبسط ومقام خارج القسمة. وهذا يعني أنه بعد تحليل كِلتا كثيرتَيِ الحدود، يُمكننا حذف هذا العامل من خارج القسمة. وحذف هذا العامل من كثيرتَيِ الحدود يعني أنه ما لم يكن هذا عاملًا متكرِّرًا لإحدى كثيرتَيِ الحدود، فلن تتضمَّن كثيرات الحدود الناتجة القيمة أربعة جذرًا لها. وهذا يعني أن التعويض بـ في خارج القسمة المبسَّط لن يَنتُج عنه صفر في المقام، ومن ثَمَّ نتحقَّق من أن طريقة التعويض المباشر في النهاية مُجدية.

هيَّا نعمل على هذا التبسيط بتحليل البسط أولًا. بملاحَظة العامل المُشترَك ٣ في البسط، يُمكننا كتابة:

ولتحليل المقام، علينا تذكُّر صيغة الفرق بين مربعين، . وباستخدام هذه الصيغة، يُمكننا كتابة:

ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة خارج القسمة على الصورة:

نلاحِظ أن العامل مُشترَك بين كلٍّ من بسط خارج القسمة ومقامه. وبحذف هذا العامل المُشترَك، يُمكننا كتابة هذه الدالة على الصورة:

نلاحِظ أن هذه الدالة الجديدة لها نفس قيمة الدالة الكسرية الأصلية، ما عدا عند النقطة ؛ حيث الدالة الأصلية عندها تكون غير مُعرَّفة. وبما أن نهاية الدالة لا تهتمُّ إلَّا بقيمة الدالة بالقرب من نقطة النهاية، فإننا نعرف أن هذه الدالة لها النهاية نفسها عند للدالة الكسرية الأصلية. بعبارة أخرى:

النهاية في الطرف الأيسر من المعادلة السابقة نهاية دالةٍ كسرية؛ حيث قيمة المقام فيها لا تساوي صفرًا عند نقطة النهاية. ومن ثَمَّ، يُمكننا حلُّ هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر:

ومن ثَمَّ، نجد أن:

مثال ٢: إيجاد قيمة نهاية دالةٍ كسرية عند نقطة ما عن طريق التحليل

أوجد .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة نهاية دالةٍ كسرية. ونحن نعلم أنه لا يُمكننا إيجاد قيمة نهاية دالة كسرية باستخدام التعويض المباشر إلَّا إذا كانت قيمة المقام لا تساوي صفرًا عند نقطة النهاية. دعونا نبدأ بدراسة ما يَحدُث لخارج القسمة المُعطى عندما نعوِّض بنقطة النهاية :

يُسمَّى المقدار بالصيغة غير المعيَّنة. ونحن نعلم أن الصيغة غير المعيَّنة لا تكون أبدًا حلًّا صحيحًا لمسألة نهايات. تذكَّر أنه يُمكننا محاولة إيجاد قيمة نهاية دالة كسرية يَنتُج عنها صيغة غير معيَّنة باتباع الخطوات الآتية:

1. تحليل كلٍّ من البسط والمقام.
2. إلْغاء كلِّ العوامل المُشترَكة.
3. مساواة نهاية خارج القسمة المبسَّط بالنهاية الأصلية.
4. إيجاد قيمة النهاية.

يُمكننا البدء بملاحَظة العامل المُشترَك ٢ في المقام، وهذا ما يُعطينا:

يُمكننا تحليل المقدار التربيعي بين القوسين لكتابة المقام على الصورة:

وبعد ذلك، يُمكننا تحليل البسط، الذي يكون على صورة كثيرة حدود تكعيبية. بمعلومية أن ، يُمكننا كتابة:

وهذا عبارة عن مجموع مكعبين؛ ومن ثم يُمكن تحليله باستخدام الصيغة:

بتطبيق هذه الصيغة على البسط؛ حيث ، ، نحصل على:

وهذا ما يُعطي:

إن إلْغاء العامل في الخطوة الأخيرة إجراءٌ مُهِمٌّ؛ وذلك لأن هذا العامل مسئول عن جعل قيمة كلٍّ من البسط والمقام تساوي صفرًا عند نقطة النهاية. يُمكننا ملاحَظة أن قيمة مقام خارج القسمة المبسَّط لا يساوي صفرًا عند نقطة النهاية . ومن ثَمَّ، يُمكننا حساب هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر:

ومن ثَمَّ، نجد أن:

مثال ٣: إيجاد قيمة نهاية تركيب دالةٍ كسرية ودالةٍ جذرية عند نقطة

أوجد .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة نهاية دالة تُمثِّل تركيب دالة الجذر التربيعي ودالةٍ كسرية. ونحن نعلم أنه يُمكننا إيجاد قيمة نهاية دالة تُمثِّل تركيب دالةٍ كسرية ودالة الجذر التربيعي عن طريق التعويض المباشر إذا كانت نقطة النهاية تنتمي إلى مجال الدالة. لكي ينتمي عدد ما إلى مجال هذه الدالة، يجب أن نتأكَّد من أن قيمة مقام الدالة الكسرية لا تساوي صفرًا عند هذا العدد، وأن المقدار بداخل الجذر التربيعي قيمته غير سالبة عند التعويض بهذا العدد. باختصار: إذا استطعنا حساب قيمة الدالة عند العدد المُعطى، فإن العدد ينتمي إلى المجال.

لنبدأ بدراسة ما يَحدُث للدالة المُعطاة عندما نعوِّض بنقطة النهاية :

يُسمَّى المقدار بالصيغة غير المعيَّنة. ونحن نعلم أن الصيغة غير المعيَّنة لا تكون أبدًا حلًّا صحيحًا لمسألةٍ بها نهاية. تذكَّر أنه يُمكننا محاولة إيجاد قيمة نهاية دالةٍ كسرية على صورة صيغة غير معيَّنة باتباع الخطوات الآتية:

1. تحليل كلٍّ من البسط والمقام.
2. إلْغاء كلِّ العوامل المُشترَكة.
3. مساواة نهاية خارج القسمة المبسَّط بالنهاية الأصلية.
4. إيجاد قيمة النهاية.

بالرغم من أن الدالة الموجودة في النهاية ليست دالة كسرية تمامًا، إلَّا أنه يُمكن استخدام خطوة التبسيط نفسها المُتَّبَعة في الدالة الكسرية الموجودة بداخل الجذر التربيعي لإيجاد قيمة النهاية.

بتحليل بسط خارج القسمة، نجد أن:

وبتحليل المقام، نجد أن:

إذن يُمكننا تبسيط النهاية:

إن إلْغاء العامل في الخطوة الأخيرة إجراءٌ مُهِمٌّ؛ وذلك لأن هذا العامل مسئول عن جعل قيمة كلٍّ من البسط والمقام تساوي صفرًا عند نقطة النهاية. ويُمكننا ملاحَظة أن مقام الدالة الكسرية المبسَّطة بداخل الجذر التربيعي لم يَعُد يساوي صفرًا عند نقطة النهاية . كما أن خارج القسمة الموجود بداخل الجذر التربيعي يأخذ قيمةً موجبة عند نقطة النهاية. وهذا يعني أن يقع في مجال هذه الدالة التي تُمثِّل تركيب دالة الجذر التربيعي ودالةٍ كسرية. ونحن نعلم أنه في مثل هذه الحالات، يُمكننا حساب قيمة النهاية باستخدام التعويض المباشر. وهذا ما يُعطي:

ومن ثَمَّ:

مثال ٤: إيجاد قيمة نهاية دالةٍ كسرية عند نقطة

أوجد .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة نهاية دالةٍ كسرية. ونحن نعلم أنه لا يُمكننا إيجاد قيمة نهاية دالةٍ كسرية باستخدام التعويض المباشر إلَّا إذا كانت قيمة المقام لا تساوي صفرًا عند نقطة النهاية. دعونا نبدأ بدراسة ما يَحدُث لناتج خارج القسمة المُعطى عندما نعوِّض بنقطة النهاية :

يُسمَّى المقدار بالصيغة غير المعيَّنة. ونحن نعلم أن الصيغة غير المعيَّنة لا تكون أبدًا حلًّا صحيحًا لمسألةٍ بها نهاية. تذكَّر أنه يُمكننا محاولة إيجاد قيمة نهاية دالةٍ كسرية تُعطينا صيغة غير معيَّنة باتِّباع الخطوات الآتية:

1. تحليل كلٍّ من البسط والمقام.
2. إلْغاء كلِّ العوامل المُشترَكة.
3. مساواة نهاية خارج القسمة المبسَّط بالنهاية الأصلية.
4. إيجاد قيمة النهاية.

على وجه التحديد، نعلم أن كلًّا من البسط والمقام يتضمَّن العامل نظرًا لأن قيمتَيْ كلتا كثيرتَيِ الحدود هاتين تساوي صفرًا عند . لنبدأ بتحليل البسط. نعلم أن ، إذن يُمكننا استخدام صيغة الفرق بين مربعين ، لتحليل البسط:

على الرغم من أن البسط يُمكن تحليله بسهولة، إلَّا أن تحليل المقام أكثر تعقيدًا. لنتمكَّن من تحليل المقام ليصبح على الصورة ، سنَستخدِم القسمة المطوَّلة لكثيرة الحدود. وذلك من خلال قسمة المقام على :

وهذا يُعطينا تحليلًا للمقام على الصورة:

ومن ثم، نجد أن:

إن إلْغاء العامل في الخطوة الأخيرة إجراءٌ مُهِمٌّ؛ وذلك لأن هذا العامل مسئول عن جعل قيمة كلٍّ من البسط والمقام تساوي صفرًا عند نقطة النهاية. وإذا كانت قيمة مقام خارج القسمة المبسَّط لا تساوي صفرًا عند نقطة النهاية ، فيُمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر:

ومن ثَمَّ:

مثال ٥: إيجاد قيمة نهاية فرق بين دالتَيْ قوًى تتضمَّنان جذورًا

أوجد .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة نهاية دالةٍ ناتجةٍ عن مجموع وفرق وقسمة وتركيب دالة الجذر التربيعي ودوالَّ كثيرات الحدود. ونحن نعلم أنه يُمكننا إيجاد قيمة نهاية هذه الدالة عن طريق التعويض المباشر إذا كانت نقطة النهاية تنتمي إلى مجال الدالة. ولكي ينتمي عدد ما إلى مجال هذه الدالة، يجب أن نتأكَّد من أن قيمة مقام الدالة لا تساوي صفرًا عند هذا العدد، وأن قيمة المقدار الموجود بداخل الجذر التربيعي ليست سالبًة عند هذا العدد. باختصار: إذا استطعنا حساب قيمة الدالة عند العدد المُعطى، فإن العدد ينتمي إلى المجال.

لنبدأ بدراسة ما يَحدُث للدالة المُعطاة عندما نعوِّض بنقطة النهاية :

يُسمَّى المقدار بالصيغة غير المعيَّنة. ونحن نعلم أن الصيغة غير المعيَّنة لا تكون أبدًا حلًّا صحيحًا لمسألةٍ بها نهاية. تذكَّر أنه يُمكننا تبسيط مقدار القسمة الذي يتضمَّن جذورًا تربيعية عن طريق ضرب بسط خارج القسمة ومقامه أولًا في مقدارٍ مرافق. في الدالة المُعطاة، نلاحِظ أن المقدار الذي يتضمَّن الجذر التربيعي موجود في البسط: . بالنسبة إلى المقدار الذي يكون على الصورة ، يكون المقدار المرافق له هو . ونحن نعلم أن الضرب في المقدار المرافق يَنتُج عنه حذف الجذور التربيعية من خلال:

يُمكننا كتابة: وهذا يعني أن المقدار المرافق هو . وهنا يُمكننا ضرب بسط خارج القسمة ومقامه في هذا المقدار للحصول على:

إن إلْغاء العامل في الخطوة الأخيرة إجراءٌ مُهِمٌّ؛ وذلك لأن هذا العامل مسئول عن جعل قيمة كلٍّ من البسط والمقام تساوي صفرًا عند نقطة النهاية. يُمكننا ملاحَظة أن قيمة مقام الدالة الكسرية المبسَّطة بداخل الجذر التربيعي لم تَعُد تساوي صفرًا عند نقطة النهاية . إذن يُمكننا كتابة:

يُمكننا ملاحَظة أن قيمة مقام الدالة الناتجة لا تساوي صفرًا عند نقطة النهاية ؛ لذا يُمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر:

ومن ثم، نجد أن:

مثال ٦: إيجاد نهاية تركيب دوالَّ جذرية عند نقطة عن طريق الضرب في المرافق

أوجد .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة نهاية دالةٍ ناتجةٍ عن فرق وقسمة وتركيب دالة الجذر التربيعي ودوالَّ كثيرات الحدود. نعلم أنه يُمكننا إيجاد قيمة نهاية هذه الدالة عن طريق التعويض المباشر إذا كانت نقطة النهاية تنتمي إلى مجال الدالة. ولكي ينتمي عدد ما إلى مجال هذه الدالة، يجب أن نتأكَّد من أن قيمة مقام الدالة لا تساوي صفرًا عند هذا العدد، وأن قيمة المقدار الموجود بداخل الجذر التربيعي ليست سالبًة عند هذا العدد. باختصار: إذا استطعنا حساب قيمة الدالة عند العدد المُعطى، فإن العدد ينتمي إلى المجال.

دعونا نبدأ بدراسة ما يَحدُث للدالة المُعطاة عندما نعوِّض بنقطة النهاية :

يُسمَّى المقدار بالصيغة غير المعيَّنة. ونحن نعلم أن الصيغة غير المعيَّنة لا تكون أبدًا حلًّا صحيحًا لمسألة نهايات. تذكَّر أنه يُمكننا تبسيط مقدار القسمة الذي يتضمَّن جذورًا تربيعية بضرب بسط خارج القسمة ومقامه أولًا في مقدارٍ مرافق. وفي خارج القسمة المُعطى، يحتوي كلٌّ من البسط والمقام على مقدارين يتضمَّنان جذورًا تربيعية. بالنسبة إلى المقدار الذي يكون على الصورة ، فإن المقدار المرافق له هو . ونحن نعلم أن الضرب في المقدار المرافق يَنتُج عنه حذف الجذور التربيعية من خلال:

وهذا يعني أن مرافق المقدار هو ، وأن مرافق المقدار هو . علينا ضرب بسط خارج القسمة ومقامه في كِلا هذين العاملين:

إن إلْغاء العامل في الخطوة الأخيرة إجراءٌ مُهِمٌّ؛ وذلك لأن هذا العامل مسئول عن جعل قيمة كلٍّ من البسط والمقام تساوي صفرًا عند نقطة النهاية. يُمكننا ملاحَظة أن قيمة مقام الدالة الكسرية المبسَّطة بداخل الجذر التربيعي لم تَعُد تساوي صفرًا عند نقطة النهاية . يُمكننا كتابة:

يُمكننا ملاحَظة أن قيمة مقام الدالة الناتجة لا تساوي صفرًا عند نقطة النهاية ؛ لذا يُمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر:

ومن ثم، نجد أن:

مثال ٧: إيجاد قيمة نهاية تركيب دالةٍ جذرية ودوالَّ كثيرات الحدود عند نقطة

أوجد .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد قيمة نهاية خارج قسمة يكون بسطه عبارة عن فرق بين خارجَيْ قسمة آخَرين. إن الدالة التي نحسب قيمة نهايتها تتضمَّن فرقًا وخارج قسمة فرق لدالةٍ كسرية، وثابتًا، ودالة كثيرة الحدود. ونحن نعلم أنه لا يُمكننا إيجاد نهاية دالةٍ كسرية باستخدام التعويض المباشر إلَّا إذا كانت نقطة النهاية تنتمي إلى مجال الدالة. ونعلم أن عددًا ما ينتمي إلى مجال الدالة إذا استطعنا حساب قيمة الدالة عند هذا العدد.

دعونا نبدأ بدراسة ما يَحدُث للدالة المُعطاة عندما نعوِّض بنقطة النهاية :

يُسمَّى المقدار بالصيغة غير المعيَّنة. ونحن نعلم أن الصيغة غير المعيَّنة لا تكون أبدًا حلًّا صحيحًا لمسألة نهايات. تذكَّر أنه يُمكننا إيجاد قيمة النهاية التي تتضمَّن مجموع خوارج القسمة أو الفرق بينها من خلال إيجاد ناتج المجموع أو الفرق. ولإيجاد ناتج الفرق بين خارجَيْ قسمة، علينا إيجاد المقام المُشترَك بينهما. المقام المُشترَك بين والعدد ٦ هو . ومن ثَمَّ، فإن ناتج الفرق بين خارجَيِ القسمة الموجودين في بسط الدالة المُعطاة هو:

وهذا يُبسِّط بسط خارج القسمة المُعطى. أمَّا مقام خارج القسمة فهو ، وذلك يماثِل ضرب البسط في . ومن ثَمَّ:

إن إلْغاء العامل في الخطوة الأخيرة إجراءٌ مُهِمٌّ؛ وذلك لأن هذا العامل مسئول عن جعل قيمة كلٍّ من البسط والمقام تساوي صفرًا عند نقطة النهاية. يُمكننا ملاحَظة أن قيمة مقام الدالة الكسرية المبسَّطة لم يَعُد يساوي صفرًا عند نقطة النهاية . هذا يعني أن:

بما أن قيمة مقام الدالة الكسرية في النهاية الموجودة في الطرف الأيسر من هذه المعادلة لا يساوي صفرًا عند نقطة النهاية، يُمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر:

ومن ثَمَّ: