نسخة الفيديو النصية
أي من المعادلات الآتية يوضح العلاقة بين طول موجة دي برولي لجسيم 𝜆، وكمية حركته 𝑝، وثابت بلانك ℎ؟ أ: 𝜆 يساوي 𝑝 على ℎ. ب: 𝜆 يساوي ℎ في 𝑝 تربيع. ج: 𝜆 يساوي ℎ على 𝑝 تربيع. د: 𝜆 يساوي ℎ على 𝑝. هـ: 𝜆 يساوي ℎ تربيع في 𝑝 تربيع.
مطلوب منا في هذا السؤال تحديد معادلة إيجاد طول موجة دي برولي لجسيم. وتوضح لنا المعطيات ما يمثله كل متغير. فالطول الموجي للجسيم هو 𝜆، وكمية الحركة هي 𝑝، وثابت بلانك هو ℎ. أسهل طريقة للإجابة عن هذا السؤال إجابة صحيحة هي حفظ صيغة دي برولي عن ظهر قلب. إذا كنا نحفظ هذه الصيغة، فسيمكننا أن نعرف فورًا أن الخيار د هو الإجابة الصحيحة.
لكن إذا لم نكن نحفظ هذه الصيغة عن ظهر قلب، فما يزال بإمكاننا أن نعرف أن الخيار د هو الإجابة الصحيحة، وذلك بالانتباه إلى أبعاد الكميات. 𝜆 هو الطول الموجي ويعبر عنه بأبعاد الطول، كما هو متوقع. سنستخدم حرف 𝐿 كبيرًا لتمثيل الطول. ويقصد بالتعبير عن 𝜆 بأبعاد الطول أننا إذا ذكرنا قيمة للمتغير 𝜆، فسنستخدم وحدات مثل المتر، أو السنتيمتر، أو الكيلومتر. ولكن لا يمكننا أبدًا استخدام وحدات مثل الثانية، أو الكولوم، أو الأمبير.
وبالمثل، كمية الحركة هي الكتلة في السرعة المتجهة، والسرعة المتجهة هي المسافة المقطوعة لكل وحدة زمن. ومن ثم، أبعاد كمية الحركة هي الكتلة في الطول على الزمن. يرمز حرف 𝑀 الكبير للكتلة، وحرف 𝑇 الكبير للزمن. ومن المتعارف عليه أننا نكتب 𝑇 أس سالب واحد بدلًا من واحد مقسومًا على 𝑇.
وأخيرًا، لدينا ثابت بلانك. لعلنا نتذكر أن القيمة الشائعة لثابت بلانك هي 6.626 في 10 أس سالب 34 جول ثانية. الجول وحدة قياس الطاقة، والثانية وحدة قياس الزمن. إذن فإن بعدي ثابت بلانك هما الطاقة مضروبة في الزمن. للتعبير عن الطاقة بدلالة الأبعاد التي استخدمناها بالفعل، أي الطول والكتلة والزمن، يمكننا أن نتذكر صيغة طاقة الحركة؛ وهي نصف الكتلة في مربع السرعة المتجهة.
كما يتضح لنا من هذه الصيغة، أبعاد الطاقة هي نفسها الكتلة مضروبة في أبعاد مربع السرعة المتجهة. ونعرف أن بعدي السرعة المتجهة هما الطول لكل وحدة زمن. إذن أبعاد الطاقة هي الكتلة مضروبة في الطول تربيع لكل وحدة زمن تربيع. هذه الأبعاد تنطبق على أي طاقة، وليس طاقة الحركة فحسب. وعليه فإن ثابت بلانك مقيسًا بوحدة الطاقة مضروبة في الزمن يعبر عنه بأبعاد الكتلة مضروبة في الطول تربيع مضروبًا في الزمن أس سالب واحد.
الآن بعد أن عرفنا أبعاد كل من الكميات الثلاث التي لدينا، أصبحنا جاهزين للإجابة عن السؤال. أولًا، نلاحظ أن الكتلة والزمن غير موجودين في الصيغة البعدية للطول الموجي. ولكنهما موجودان في الصيغة البعدية لكل من كمية الحركة وثابت بلانك. إذن يجب أن تجمع الصيغة النهائية التي نبحث عنها بين ℎ و𝑝 بحيث يحذف بعد الكتلة في كمية الحركة مع بعد الكتلة في ثابت بلانك، ويحذف بعد الزمن في كمية الحركة مع بعد الزمن في ثابت بلانك، وبذلك لا يتبقى سوى بعد الطول.
بالنظر إلى الصيغ المعطاة لنا، يمكننا أن نستبعد فورًا الخيار ب: ℎ في 𝑝 تربيع، والخيار هـ: ℎ تربيع في 𝑝 تربيع. وهذا لأننا نحتاج إلى استبعاد الكتلة والزمن من الصيغة البعدية النهائية. ولكن كلما ضربنا 𝑝 في ℎ، يظهر لنا المزيد من عوامل الكتلة والزمن؛ لأن الكتلة في الكتلة تساوي الكتلة تربيع، والزمن أس سالب واحد في الزمن أس سالب واحد يساوي الزمن أس سالب اثنين. وعليه يجب أن تتضمن الصيغة النهائية عملية قسمة، وليس عملية ضرب.
يمكن بنفس الكيفية استبعاد الخيار ج: ℎ مقسومًا على 𝑝 تربيع. أبعاد 𝑝 تربيع هي 𝑀 تربيع في 𝐿 تربيع في 𝑇 أس سالب اثنين، أي أننا ضاعفنا جميع الأسس في الصيغة البعدية للمتغير 𝑝. لكن، حسبما يتضح لنا، يتضمن 𝑝 تربيع عاملًا آخر للكتلة والزمن مقارنة بثابت بلانك ℎ. وعليه، فإن قسمة ℎ على 𝑝 تربيع ستظل تعطينا أبعادًا تشمل الكتلة والزمن. وهذا يتركنا أمام الخيارين 𝑝 مقسومًا على ℎ، وℎ مقسومًا على 𝑝. بما أن كلًّا من هذين الخيارين يساوي مقلوب الآخر، فبمجرد إيجاد أبعاد أحدهما، سنتمكن من إيجاد أبعاد الآخر عن طريق تغيير إشارة كل الأسس وحسب.
دعونا نحدد أبعاد 𝑝 على ℎ. أبعاد 𝑝 على ℎ تساوي 𝑀 في 𝐿 في 𝑇 أس سالب واحد في 𝑀 أس سالب واحد في 𝐿 أس سالب اثنين في 𝑇. الأبعاد الثلاثة الأولى من 𝑝، في حين أن الأبعاد الثلاثة التي تليها من ℎ مع عكس إشارة كل أس. وذلك لأن القسمة على عدد هي نفسها الضرب في هذا العدد أس سالب واحد.
عندما نبسط هذه الصيغة، نلاحظ أن 𝑀 في 𝑀 أس سالب واحد بلا أبعاد، وكذلك 𝑇 أس سالب واحد في 𝑇. 𝐿 في 𝐿 أس سالب اثنين يساوي 𝐿 أس سالب اثنين زائد واحد، ما يساوي 𝐿 أس سالب واحد. وعليه، فإن أبعاد 𝑝 على ℎ هي 𝐿 أس سالب واحد.
ليس هذا المطلوب في السؤال؛ لأننا نبحث عن أبعاد 𝐿. ولكننا اقتربنا كثيرًا من الحل. فهذا مقلوب الصيغة المطلوبة. يعني هذا أن ℎ على 𝑝، وهو مقلوب 𝑝 على ℎ، سيكون له أبعاد 𝐿، وهو المطلوب في السؤال بالتحديد. إذن نعرف أن الإجابة الصحيحة هي الخيار د.
كما أوضحنا سابقًا، على الرغم من أنه يمكن الوصول إلى الإجابة الصحيحة باستخدام تحليل الأبعاد، فإن علاقة طول موجة دي برولي مهمة للغاية وبسيطة جدًّا وبمجرد حفظها نستطيع معرفة الإجابة دون عناء.
