فيديو الدرس: موجات المادة الفيزياء

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتحدث عن موجات المادة. تشير موجات المادة إلى الطبيعة الموجية المذهلة للأجسام التي لها كتلة، مثل: الإلكترونات، والبروتونات، والذرات والجزيئات. لنعرف من أين أتت هذه الفكرة، من المفيد الرجوع إلى تاريخها. في أواخر القرن التاسع عشر وبداية القرن العشرين، اهتم العلماء اهتمامًا بالغًا بدراسة طبيعة الضوء. ويرجع ذلك جزئيًا إلى حقيقة أن الضوء، الذي كان يعتقد أنه موجة لمئات السنين، بدأت بعض الدلائل تشير إلى أنه يسلك سلوكًا جسيميًا أيضًا. دعمت الطبيعة الموجية بملاحظات مفادها أن الضوء يمكنه الحيود والتداخل، وهما خاصيتان موجيتان.

ولكن بعد ذلك، ساعدت الفرضية القائلة بأن الضوء يسلك أيضًا سلوكًا جسيميًا في تفسير إشعاع الجسم الأسود وكذلك التأثير الكهروضوئي. كان ذلك محيرًا، وأصبح يسمى بازدواجية الموجة والجسيم للضوء. وسط كل هذه الجهود المبذولة في دراسة الضوء، توصل عالم فيزياء فرنسي يسمى لويس دي برولي إلى فكرة حول إمكانية تطبيق ذلك على المادة. زعم دي برولي أن الأجسام التي لها كتلة تسلك سلوك الجسيمات، لكنها تسلك أيضًا سلوك الموجات. اعتاد العلماء في ذلك الوقت على التفكير في المادة مثل: البروتونات، والنيوترونات، والإلكترونات؛ باعتبارها جسيمات. ولكن فكرة أن المادة موجة أيضًا بدت غريبة جدًا. ما كان يعنيه دي برولي بقوله إن المادة موجة هو أنها تظهر خصائص موجية، وبالتحديد، أن لها طولًا موجيًا.

إذا عدنا إلى الحديث عن الضوء، ولا سيما الضوء باعتباره يتكون من جسيمات، فمن المعروف أن هذه الجسيمات، التي تسمى بالفوتونات، تحمل قدرًا من الطاقة. هذه الطاقة، وفقًا لمعادلة وضعها ألبرت أينشتاين، تساوي كمية حركة الفوتون ‪𝑝‬‏ مضروبة في سرعة الضوء في الفراغ ‪𝑐‬‏. وبالتفكير بطريقة مختلفة، توصل عالم فيزياء آخر، يسمى ماكس بلانك، إلى معادلة منفصلة لطاقة الفوتون. بدراسة إشعاع الجسم الأسود، أوضح بلانك أن طاقة الفوتون تساوي ثابتًا، أصبح يسمى ثابت بلانك، مضروبًا في تردد الفوتون. لا تنطبق معادلتا الطاقة اللتان وضعهما بلانك وأينشتاين إلا على الفوتونات فقط. وكملاحظة جانبية، يمكن أن نلاحظ في معادلة بلانك الطبيعة الموجية والجسيمية للضوء. تنطبق هذه العلاقة على جسيمات الضوء، أي الفوتونات، لكنها تعتمد على تردد هذا الإشعاع، وهو خاصية موجية.

على أي حال، عند دمج معادلتي أينشتاين وبلانك، يمكننا التوصل إلى هذه المعادلة الناتجة، ثم نقسم طرفي المعادلة على كمية حركة الفوتون مضروبًا في تردده. يؤدي هذا إلى حذف كمية الحركة ‪𝑝‬‏ من الطرف الأيسر، وحذف التردد ‪𝑓‬‏ من الطرف الأيمن. ونجد أن ‪𝑐‬‏ على ‪𝑓‬‏، أي سرعة الفوتون مقسومة على تردده، يساوي ثابت بلانك ‪ℎ‬‏ مقسومًا على كمية حركة الفوتون. يمكننا بعد ذلك تذكر أنه بالنسبة لموجة تتحرك بسرعة الضوء ‪𝑐‬‏، فإن هذه السرعة تساوي تردد الموجة في طولها الموجي. وإذا قسمنا طرفي المعادلة على التردد، فسنجد أن الطول الموجي ‪𝜆‬‏ يساوي ‪𝑐‬‏ على ‪𝑓‬‏. وعند مقارنة هذه المعادلة بنظيرتها الناتجة عن دمج معادلتي أينشتاين وبلانك لطاقة الفوتون، نلاحظ أنه يمكن التعويض عن ‪𝑐‬‏ على ‪𝑓‬‏ بالطول الموجي ‪𝜆‬‏. وبذلك، الطول الموجي ‪𝜆‬‏ يساوي ثابت بلانك ‪ℎ‬‏ على كمية الحركة ‪𝑝‬‏.

تذكر أن هذه المعادلة تنطبق تحديدًا على الفوتونات. فهي تستند إلى معادلات الطاقة الخاصة بهذه الجسيمات. ولكن دي برولي في دراسته كان قد وضع افتراضًا جذريًا بأن هذه المعادلة نفسها يمكن أن تنطبق على الجسيمات التي لها كتلة. وعلى وجه التحديد، زعم أنها تنطبق على الإلكترونات أيضًا، أي إن الإلكترونات لها طول موجي. وهذه هي الطريقة التي طرحت بها فكرة أن المادة موجة وجسيم. كان من المهم أيضًا اختبار فكرة أن الجسيمات التي لها كتلة لها طول موجي أيضًا. كانت أفضل طريقة لذلك هي ملاحظة ما إذا كانت هذه الجسيمات أو الإلكترونات ستحيد. إذا حادت، فستظهر سلوكًا موجيًا. لم يكن إجراء تجربة لاختبار هذه الفكرة بالسهولة التي قد تبدو عليها. هذا لأن هذه الأطوال الموجية التي توقع دي برولي أن تكون مصاحبة للإلكترونات كانت صغيرة للغاية.

وفقًا للقيمة المعلومة لثابت بلانك، وكذلك القيمة المعلومة لكتلة الإلكترون والقيمة المتوسطة لسرعته، كان من المتوقع أن يساوي الطول الموجي للإلكترون عددًا مضروبًا في ‪10‬‏ أس سالب ‪10‬‏ متر. تتمثل أفضل طريقة لملاحظة الحيود في مرور موجة خلال شق عرضه يساوي الطول الموجي تقريبًا. ‏‏‪10‬‏ أس سالب ‪10‬‏ متر يساوي تقريبًا قطر ذرة، ما يعني من الناحية التجريبية أن إثبات حيود تلك الإلكترونات يلزمه وجود جهاز به شقوق تفصل بينها مسافات مساوية لهذا العرض، أي عرض الذرة. لم يكن ذلك إنجازًا بسيطًا، لكنه تحقق في نهاية المطاف. وعندما تحقق ذلك، اكتشف نمط حيود الإلكترونات، وهو ما دعم نظرية دي برولي.

لذلك بدأ الناس يفكرون في أن المادة بالفعل، وليست الإلكترونات فقط لكن حتى الأجسام الأكبر، تسلك سلوكًا موجيًا. وهذا قد يثير التساؤل: لما لا نلاحظ هذا في حياتنا اليومية؟ فمثلًا، لماذا لا نرى أشياء ككرات التنس تظهر حيودًا؟ ترجع إجابة هذا السؤال إلى هذه المعادلة المتعلقة بطول موجة دي برولي المصاحبة للجسيم. وبمعرفة أن كمية الحركة ‪𝑝‬‏ تساوي كتلة الجسم في سرعته، نفترض أننا عوضنا فيما يمكننا اعتباره قيمًا معيارية لكتلة كرة التنس وسرعتها. لنقل مثلًا إن كتلة الكرة تساوي ‪60‬‏ جرامًا أو ‪0.60‬‏ كيلوجرام، وتتحرك بسرعة ‪10‬‏ متر لكل ثانية. إذا قسمنا ثابت بلانك، وهو عدد صغير جدًا يساوي ‪6.63‬‏ في ‪10‬‏ أس سالب ‪34‬‏ جول في الثانية، على حاصل الضرب هذا، فسنحصل على قيمة طول موجة دي برولي المصاحبة لكرة التنس، وهو يساوي عددًا مضروبًا في ‪10‬‏ أس سالب ‪33‬‏ مترًا.

هذا يعني أننا كي نلاحظ أن الكرة تظهر حيودًا، ومن ثم تسلك سلوكًا موجيًا وتقدم دليلًا على طول موجة دي برولي المصاحبة لها، سنحتاج إلى فتحة أو شق أو فجوة عرضها يساوي هذه المسافة تقريبًا. هذه قيمة أسية أصغر من قطر نواة الذرة. لذلك لن نلاحظ في حياتنا اليومية سلوك الحيود هذا. وبالرغم من ذلك، حاول الباحثون إظهار حيود أجسام أكبر، مثل: الإلكترونات، والبروتونات، والذرات، وحتى الجزيئات. وعلى الرغم من أنه لا يمكننا رؤيته، أصبح مفهومًا الآن أن المادة، مثل الضوء، تسلك سلوكًا موجيًا وجسيميًا. الآن وقد عرفنا ذلك، هيا نتدرب على حساب طول موجة دي برولي المصاحبة لأجسام مختلفة.

ما طول موجة دي برولي المصاحبة لإلكترون كمية حركته ‪4.56‬‏ في ‪10‬‏ أس سالب ‪27‬‏ كيلوجرام متر لكل ثانية؟ استخدم القيمة ‪6.63‬‏ في ‪10‬‏ أس سالب ‪34‬‏ جول في الثانية لثابت بلانك. قرب إجابتك لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

حسنًا، في هذه المسألة لدينا إلكترون. ويتحرك الإلكترون بسرعة معينة. وبما أن الإلكترون له كتلة وفي حالة حركة، فهذا يعني أن له مقدارًا من كمية الحركة. عرفنا هذا المقدار من المعطيات. إذن بمعلومية كتلة الإلكترون، يمكننا إيجاد سرعته إذا أردنا. لكننا نريد حساب طول موجة دي برولي المصاحبة لهذا الإلكترون. للقيام بذلك، يمكننا أن نتذكر أن هذا الطول الموجي، الذي سنسميه ‪𝜆‬‏، يساوي ثابت بلانك ‪ℎ‬‏ مقسومًا على ‪𝑝‬‏، أي كمية حركة الجسم. باعتبار أن قيمة ‪ℎ‬‏ تساوي ‪6.63‬‏ في ‪10‬‏ أس سالب ‪34‬‏ جول في الثانية، سنتمكن من استخدام هذه القيمة بالإضافة إلى كمية حركة الإلكترون ‪𝑝‬‏ لإيجاد طول موجة دي برولي المصاحبة لهذا الإلكترون. إذن لدينا هنا معادلة لطول موجة دي برولي المصاحبة للإلكترون. ولكن قبل حساب قيمة هذا الكسر، دعونا نلق نظرة على الوحدات في هذا المقدار.

نلاحظ أن لدينا في البسط وحدة جول في الثانية. الجول يساوي نيوتن في متر. والنيوتن يساوي كيلوجرامًا في متر مقسومًا على ثانية مربعة، ما يعني أنه يمكننا استبدال وحدة الجول بالكيلوجرام متر مربع لكل ثانية مربعة. عندما نفعل ذلك نجد أنه يمكننا حذف بعض هذه الوحدات. في البسط تلغي وحدتا الثانية كل منهما الأخرى. ثم نلاحظ وجود واحد على ثانية في كل من البسط والمقام. إذن نحذف هذا أيضًا. وبالإضافة إلى ذلك، تلغي وحدتا الكيلوجرام كل منهما الأخرى، وكذلك نحذف أحد عوامل المتر.

في النهاية يتبقى لدينا متر واحد. وهذا مؤشر جيد لأننا نحسب مسافة، وهي الطول الموجي. وبما أن كل قيمة من قيمتي الكسر مقربة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية، نريد أيضًا تقريب الناتج لأقرب ثلاثة أرقام معنوية. ويصبح الناتج ‪1.45‬‏ في ‪10‬‏ أس سالب سبعة متر. عند التعبير عن ذلك بوحدات أكثر شيوعًا، نجده يساوي ‪145‬‏ نانومتر. إذن هذا هو طول موجة دي برولي المصاحبة لهذا الإلكترون.

هيا نلق نظرة على مثال تدريبي ثان.

كتلة سكون البروتون ‪1.67‬‏ في ‪10‬‏ أس سالب ‪27‬‏ كيلوجرام. ما السرعة التي يجب على البروتون التحرك بها ليصبح طول موجة دي برولي المصاحبة له يساوي ‪8.82‬‏ في ‪10‬‏ أس سالب تسعة متر؟ استخدم القيمة ‪6.63‬‏ في ‪10‬‏ أس سالب ‪34‬‏ جول في الثانية لثابت بلانك. أوجد الإجابة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

حسنًا، في هذه المسألة لدينا بروتون. وعرفنا من المعطيات أن البروتون له كتلة سكون، سنسميها ‪𝑚‬‏ صفر، تساوي ‪1.67‬‏ في ‪10‬‏ أس سالب ‪27‬‏ كيلوجرام. كتلة سكون الجسم هي كتلة الجسم عندما يقيسها الراصد في حالة سكون بالنسبة للجسم. وبذلك لا يكون الجسم في حالة حركة بالنسبة للراصد. نريد التفكير في مقدار السرعة التي يجب أن يتحرك بها بروتون له كتلة السكون هذه ليصبح طول موجة دي برولي المصاحبة له ‪8.82‬‏ في ‪10‬‏ أس سالب تسعة متر.

لنفترض إذن أننا نريد إيجاد السرعة ‪𝑣‬‏ لهذا البروتون. وللمساعدة في إيجادها، يمكننا القول إن طول موجة دي برولي المصاحبة للبروتون يرمز إليه بـ ‪𝜆𝐵‬‏. في هذه المرحلة نتذكر أن طول موجة دي برولي المصاحبة لأي جسم يساوي ثابت بلانك ‪ℎ‬‏ مقسومًا على كمية حركة هذا الجسم. بعبارة أخرى فإنه يساوي ‪ℎ‬‏ مقسومًا على ‪𝑚‬‏ في ‪𝑣‬‏، أي كتلة الجسم وسرعته.

لكننا في هذه المسألة لا نريد إيجاد طول موجة دي برولي المصاحبة للبروتون، بل نريد إيجاد سرعته. لذلك دعونا نعد ترتيب هذه المعادلة لإيجاد قيمة ‪𝑣‬‏. للقيام بذلك سنضرب الطرفين في ‪𝑣‬‏ مقسومًا على ‪𝜆𝐵‬‏. يؤدي هذا إلى إلغاء طول موجة دي برولي في الطرف الأيسر. وأيضًا إلى إلغاء السرعة ‪𝑣‬‏ في الطرف الأيمن. إذن سرعة البروتون التي نريد إيجادها تساوي ثابت بلانك مقسومًا على كتلة البروتون في طول موجة دي برولي المصاحبة له. سنستخدم لذلك القيمة ‪6.63‬‏ في ‪10‬‏ أس سالب ‪34‬‏ جول في الثانية لثابت بلانك ‪ℎ‬‏. ونعلم من المعطيات طول موجة دي برولي ‪𝜆𝐵‬‏ المصاحبة لهذا البروتون. ولكتلته سنستخدم كتلة سكونه ‪𝑚‬‏ صفر التي عرفنا أنها تساوي ‪1.67‬‏ في ‪10‬‏ أس سالب ‪27‬‏ كيلوجرام.

عند التعويض بكل هذه القيم، نلاحظ أن القيم الثلاث مقربة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية. إذن سنقرب الناتج أيضًا لأقرب ثلاثة أرقام معنوية. بحساب ذلك، نحصل على الإجابة ‪45.0‬‏ متر لكل ثانية. وهذه سرعة صغيرة إلى حد ما وغير نسبية بالتأكيد. وهي السرعة التي يحتاجها البروتون ليصبح طول موجة دي برولي المصاحبة له بالقيمة المعطاة.

والآن لنلخص ما تعلمناه عن موجات المادة. في البداية علمنا أن موجات المادة، التي تسمى أيضًا موجات دي برولي، تشير إلى الطبيعة الموجية للأجسام ذات الكتلة مثل الإلكترونات. عرفنا كذلك أن الأجسام التي لها كتلة لها طول موجي يعتمد على كتلتها وسرعتها. يعرف هذا الطول الموجي بطول موجة دي برولي. وهو يساوي ثابت بلانك مقسومًا على كمية حركة الجسم، أو ما يعادل ثابت بلانك مقسومًا على كتلة الجسم في سرعته. وأخيرًا، عرفنا أن طول موجة دي برولي للأجسام في حياتنا اليومية قصير جدًا. ويساعدنا هذا في فهم السبب في كون الطبيعة الموجية للمادة غير ملحوظة.