تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: موجات المادة الفيزياء

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب طول موجة دي برولي المصاحبة للجسيمات التي لها كتلة، بمعلومية كمية حركتها أو سرعتها.

تذكر أن الضوء يمكن وصفه باستخدام النموذج الموجي أو الجسيمي. فظواهر مثل الانكسار والحيود يمكن تفسيرها باستخدام النموذج الموجي للضوء. أما النموذج الجسيمي للضوء فيفيد في تفسير بعض الظواهر الأخرى مثل التأثير الكهروضوئي. تذكر أيضًا أن جسيمات الضوء ليس لها كتلة وتعرَف باسم الفوتونات.

في القرن العشرين، اقترح الفيزيائي لويس دي برولي أن السلوك الموجي والجسيمي ليس حصرًا على الضوء، فقد افترض أن الجسيمات التي لها كتلة، مثل الإلكترونات والبروتونات، يمكن أن تسلك سلوكًا موجيًّا أيضًا. كما اقترح أن بعض العلاقات التي تصف الطبيعة الثنائية للضوء تنطبق كذلك على المادة.

تذكر أننا نحصل على كمية حركة الفوتون، 𝑃، من العلاقة: 𝑃=𝐻𝜆, حيث 𝐻 ثابت بلانك، و𝜆 الطول الموجي للفوتون. اقترح دي برولي أن العلاقة نفسها تنطبق على جسيمات المادة. بإعادة ترتيب المعادلة بالأعلى لإيجاد الطول الموجي: 𝜆=𝐻𝑃, نحصل على طول موجة دي برولي المصاحبة للجسيم بمعلومية كمية حركته.

تعريف: طول موجة دي برولي

نحصل على طول موجة دي برولي، 𝜆، المصاحبة لجسيم كمية حركته 𝑃 من العلاقة: 𝜆=𝐻𝑃, حيث 𝐻 ثابت بلانك.

تذكر أن كمية حركة الجسيم في حالة حركته بسرعة تقل كثيرًا عن سرعة الضوء تساوي كتلة الجسيم، 𝑀، ضرب سرعته، 𝑉. إذن، يمكن أيضًا إيجاد طول موجة دي برولي باستخدام: 𝜆=𝐻𝑀𝑉.

ينطبق هذا المفهوم كذلك على مجموعات الجسيمات أو الأجسام، حتى الأجسام الكبيرة جدًّا، مثل تلك التي نتعامل معها في الحياة اليومية. ومن ثَمَّ فإن أي جسم له كتلة وكمية حركة يكون له طولٌ لموجة دي برولي المصاحبة له. ومن الجدير بالملاحظة أن عبارة «له كتلة» تشير إلى أي جسم له كتلة، سواء كان كبيرًا أو صغيرًا للغاية.

قد يبدو مفهوم الجسم الذي له كتلة ويسلك سلوك الموجات أمرًا محيرًا في بعض الأحيان، فنحن لا نلاحظ التأثيرات الموجية، مثل الحيود، للأجسام التي نتعامل معها يوميًّا. وهذا يرجع لكون طول موجة دي برولي صغيرًا للغاية في حالة الأجسام الكبيرة.

على سبيل المثال، قد يتساءل المرء لماذا لا يتعرض الناس، الذين يتحركون ولهم كتلة، للحيود عند المشي عبر الباب. ولفهم سبب ذلك، يمكننا حساب طول موجة دي برولي المصاحبة للإنسان العادي، وتذكر أن الحيود يُلاحَظ أفضلَ ملاحظة عندما تمرُّ الموجات بعائق عرضه يساوي طولها الموجي. بافتراض كتلة تساوي 62 kg، وسرعة تساوي 1.5 m/s، فإن طول موجة دي برولي المصاحبة للإنسان يساوي: 𝜆=𝐻𝑀𝑉6.63×10/(62)(1.5/)=7.13×10.kgmskgmsm

على الرغم من أن طول موجة دي برولي المصاحبة للإنسان موجود من الناحية النظرية، فإن قيمته أقل بكثير من أي شيء يمكننا قياسه فيزيائيًّا. وعليه لا نلاحظ التأثيرات الموجية للأجسام التي نتعامل معها في الحياة اليومية. وهذا يرجع إلى حقيقة أن طول موجة دي برولي المصاحبة للجسم يتناسب عكسيًّا مع كمية حركته.

يمكننا التحقق من هذا التناسب من خلال عدة أمثلة.

مثال ١: الربط بين كمية الحركة وطول موجة دي برولي بيانيًّا

يوضِّح التمثيل البياني عددًا من المنحنيات. أيُّ المنحنيات يوضِّح العلاقة بين كمية الحركة لجسيم وطول موجة دي برولي المصاحبة له؟

الحل

لنبدأ بتذكر معادلة طول موجة دي برولي المصاحبة لجسيم: 𝜆=𝐻𝑃.

نظرًا لأن 𝐻 يمثِّل ثابت بلانك، وهو قيمة غير متغيرة، فإن التناسب الذي يربط بين المتغيرين في هذه المعادلة هو: 𝜆1𝑃.

إذن، يمكننا القول إن طول موجة دي برولي يتناسب عكسيًّا مع كمية الحركة. وتعني هذه العلاقة العكسية أن الطول الموجي الأكبر يُناظر كمية حركة أصغر؛ لذا يمكننا أن نتوقع أن التمثيل البياني للطول الموجي باعتباره دالة في كمية الحركة يجب أن يقل فقط كلما أصبح 𝑃 أكبر. وبذلك فإننا نعلم أن المنحنيات ذات اللون الأرجواني، والأزرق، والأخضر غير صحيحة.

يقودنا هذا إلى المقارنة بين المنحنيين الأحمر والبرتقالي. لاحظ أن المنحنى البرتقالي يتقاطع مع المحور 𝑌، في حين أن المنحنى الأحمر له خط تقارب رأسي. ولتحديد أيهما صحيح، دعونا نفحص السلوك الذي تسلكه معادلة طول موجة دي برولي بالقرب من 𝑃=0 (أي المحور 𝑌).

نلاحظ هنا أن 𝑃 يوجد في مقام المعادلة، ونعلم أن القسمة على الصفر غير ممكنة. وعليه فكلما اقترب 𝑃 من الصفر، اقتربت دالة طول موجة دي برولي من ما لا نهاية. وبناءً على ذلك لا يمكن أن تكون قيمة التمثيل البياني لطول موجة دي برولي مقابل كمية الحركة عند 𝑃=0 مُعرَّفة. ومن ثَمَّ فإن المنحنى الأحمر يوضح العلاقة بين كمية حركة جسيم وطول موجة دي برولي المصاحبة له.

مثال ٢: ربْط كمية الحركة بطول موجة دي برولي

إذا تحرَّك إلكترون وميون بنفس السرعة، فأيُّ الجسيمين له طولٌ أكبرُ لموجة دي برولي؟

الحل

لنبدأ بتذكر معادلة طول موجة دي برولي المصاحبة لجسيم: 𝜆=𝐻𝑃.

علاوةً على ذلك، تذكر أن كمية حركة الجسيم في حالة حركته بسرعة تقل كثيرًا عن سرعة الضوء تساوي الكتلة، 𝑀، ضرب السرعة، 𝑉. إذن، يمكن إيجاد طول موجة دي برولي باستخدام: 𝜆=𝐻𝑀𝑉.

إن طول موجة دي برولي يتناسب عكسيًّا مع كمية الحركة. ولأننا نعلم أن الجسيمين يتحركان بالسرعة نفسها، فيمكننا المقارنة بين كتلتيهما للتعرف على قيمة كمية حركة كلٍّ منهما. كتلة الميون 1.89×10 kg، وكتلة الإلكترون 9.11×10 kg. الميون له كتلة أكبر، ومن ثَمَّ له كمية حركة أكبر من الإلكترون الذي يتحرك بالسرعة نفسها. ونظرًا لأن طول موجة دي برولي يتناسب عكسيًّا مع كمية الحركة، فإن كمية الحركة الأكبر تشير إلى طولٍ أصغرَ لموجة دي برولي. وعليه فإن للميون طولًا أصغرَ لِموجة دي برولي.

لأن كمية حركة الإلكترون أقل، يمكننا استنتاج أن الإلكترون له طولٌ أكبر لموجة دي برولي.

مثال ٣: حساب طول موجة دي برولي المصاحبة لجسيم

ما طول موجة دي برولي المصاحبة لإلكترون كمية حركته 4.56×10 kg⋅m/s؟ استخدِم القيمة 6.63×10 J⋅s لثابت بلانك. اكتب إجابتك بالصيغة العلمية لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

يمكننا البدء بتذكر معادلة طول موجة دي برولي: 𝜆=𝐻𝑃.

لدينا هنا قيم ثابت بلانك، 𝐻، وكمية الحركة، 𝑃، للإلكترون. وبذلك يصبح لدينا جميع القيم اللازمة للتعويض في المعادلة: 6.63×104.56×10/=1.454×10.Jskgmsm

بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن طول موجة دي برولي المصاحبة لهذا الإلكترون يساوي 1.45×10 m.

إذا لم تكن قيمة كمية الحركة معطاة مباشرةً، فقد نحتاج إلى حسابها بأنفسنا، كما هو موضَّح في المثالين التاليين.

مثال ٤: حساب طول موجة دي برولي المصاحبة لجسيم

كتلة سكون الميون 1.89×10 kg. إذا تَحرَّك الميون بسرعة 20 m/s، فما طول موجة دي برولي المصاحبة له؟ استخدِم القيمة 6.63×10 J⋅s لثابت بلانك. اكتب إجابتك بالصيغة العلمية، لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

تذكر معادلة طول موجة دي برولي، وهي: 𝜆=𝐻𝑃, حيث 𝐻 ثابت بلانك، و𝑃 كمية الحركة. لا نعرف حتى الآن كمية حركة الميون، لكننا نعرف أن كمية حركة جسيم كتلته 𝑀، ويتحرك بسرعة منخفضة نسبيًّا، 𝑉، تُعطى كالآتي 𝑃=𝑀𝑉. وبما أن لدينا قيم 𝐻 و𝑀 و𝑉، فيمكننا التعويض في معادلة كمية الحركة وإيجاد 𝜆: 𝜆=𝐻𝑃=𝐻𝑀𝑉6.63×10(1.89×10)(20/)=1.754×10.Jskgmsm

بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن طول موجة دي برولي المصاحبة لهذا الميون يساوي 1.75×10 m.

مثال ٥: حساب طول موجة دي برولي المصاحبة لجسيم

كتلة سكون الإلكترون 9.11×10 kg. إذا كانت طاقة حركة الإلكترون 1.14×10J، فما طول موجة دي برولي المصاحبة له؟ استخدِم 6.63×10 J⋅s لقيمة ثابت بلانك. أوجد الإجابة بالصيغة العلمية لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

نريد إيجاد طول موجة دي برولي، وهو ما يمكن الحصول عليه من المعادلة: 𝜆=𝐻𝑃=𝐻𝑀𝑉, حيث 𝐻 ثابت بلانك، و𝑃 كمية الحركة، وهي تساوي الكتلة، 𝑀، ضرب السرعة، 𝑉. وبما أننا نعلم قيمتَي 𝐻 و𝑀 بالفعل، فليس علينا سوى إيجاد قيمة 𝑉 للحصول على طول موجة دي برولي. لدينا طاقة حركة الإلكترون؛ لذا يمكننا استخدام المعادلة 𝐸=12𝑀𝑉 لإيجاد السرعة. أولًا، لنُعِدْ ترتيب معادلة طاقة الحركة لإيجاد 𝑉، ثم نعوِّض بقيمتَي 𝐸 و𝑀: 𝑉=2𝐸𝑀2(1.14×10)9.11×10=50.027/.Jkgms

نحن الآن مستعدون لحساب طول موجة دي برولي المصاحبة لهذا الإلكترون: 𝜆=𝐻𝑀𝑉6.63×10(9.11×10)(50.027/)=1.4548×10.Jskgmsm

بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن طول موجة دي برولي المصاحبة لهذا الإلكترون يساوي 1.45×10 m.

هيا نختم بتلخيص بعض المفاهيم المهمة.

النقاط الرئيسية

  • تُظهر الجسيمات ذات الكتلة، مثل الإلكترونات والبروتونات، خصائص موجية.
  • يُعرَف الطول الموجي لجسيم ذي كتلة بطول موجة دي برولي.
  • يُمكن إيجاد طول موجة دي برولي باستخدام 𝜆=𝐻𝑃؛ حيث 𝑃 كمية الحركة، و𝐻 ثابت بلانك.
  • طول موجات دي برولي المصاحبة للأجسام التي نتعامل معها يوميًّا صغيرة للغاية؛ لذا لا نلاحظ خصائصها الموجية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.