فيديو السؤال: إنشاء دوال أسية متكافئة ذات أساسات مختلفة باستخدام تمثيل بياني الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أي من المقادير التالية لا يصف التمثيل البياني الموضح؟ هل هو أ: ﻉ يساوي ٨٠ مضروبة في اثنين أس اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٫٢٥ على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين، الكل أس ﻥ؟ أم الخيار ب: ﻉ يساوي ٨٠ مضروبة في اثنين أس اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٫٢٥ على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في ﻥ؟ أم الخيار ج: ﻉ يساوي ٨٠ مضروبة في اثنين أس اللوغاريتم الطبيعي لاثنين على اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٫٢٥ في ﻥ؟ أم الخيار د: ﻉ يساوي ٨٠ مضروبة في ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٫٢٥ في ﻥ؟ أم هو الخيار هـ: ﻉ يساوي ٨٠ مضروبة في ١٫٢٥ أس ﻥ؟

لاحظوا أنه في كل من هذه الخيارات، تعد ﻉ دالة أسية لـ ﻥ. لذا فهي مكتوبة على صورة ثابت ضربي معين ﺟ مضروب في ﺃ مرفوع للأس ﺏﻥ. يمكنكم بالفعل ملاحظة أن كلًا من هذه الخيارات يحتوي على نفس قيمة الثابت الضربي ﺟ؛ فكل قيمة تساوي ٨٠. وهذا منطقي بالنظر إلى ما نراه في التمثيل البياني. فالجزء المقطوع من المحور ﺹ أو بالأحرى الجزء المقطوع من الدالة ﻉ في التمثيل البياني يساوي ٨٠. وبصورة عامة فإن قيمة الثابت الضربي ﺟ هي قيمة الجزء المقطوع من المحور ﺹ أو، في هذه الحالة، الجزء المقطوع من الدالة ﻉ.

تذكروا أننا نبحث عن الخيار الذي لا يصف التمثيل البياني الموضح. وهذا يعني أن أربعة من هذه الخيارات تصف بالفعل التمثيل البياني الموضح. وهكذا فمن المؤكد أن قيمة الثابت الضربي ﺟ في أربعة من تلك الخيارات تساوي ٨٠. لسوء حظنا، فإن الخيار الخاطئ يحتوي أيضًا على ثابت ضربي يساوي ٨٠. ولذا لا نستطيع الاستفادة من حقيقة أن الثابت الضربي لا بد أن يكون ٨٠ في اكتشاف أي الخيارات هو الخيار الخاطئ.

ولكن بالرغم من أن كل هذه الخيارات تحتوي على نفس الثابت الضربي ﺟ، فإن قيم ﺃ وﺏ في جميعها مختلفة. قد تعتقدون أن هناك مشكلة بما أن أربعة من هذه الخيارات مفترض بها أن تصف التمثيل البياني الموضح، ولذا يجب أن تكون متساوية. ولكن في الواقع، هناك طرق كثيرة لا تحصى لكتابة أي معادلة أسية معينة.

على سبيل المثال، لنتخيل أن لدينا معادلة أبسط، وهي ﻉ يساوي خمسة مضروبة في ثمانية أس واحد ﻥ. إذن ﺟ يساوي خمسة، وﺃ يساوي ثمانية، وﺏ يساوي واحد. بالطبع عادة ما لا نهتم بكتابة الواحد، لذا سنكتفي بكتابة خمسة مضروبة في ثمانية أس ﻥ. وبالطبع فإن ثمانية هي اثنان أس ثلاثة. لذا يمكننا كتابة هذا على صورة خمسة مضروبة في اثنين أس ثلاثة أس ﻥ.

ويمكننا استخدام أحد قوانين الأسس لكتابة اثنين أس ثلاثة أس ﻥ، على صورة اثنين أس ثلاثة ﻥ. إذن لدينا دالة أسية مكافئة، ولكن بقيمة مختلفة لكل من ﺃ وﺏ. قيمة ﺃ تساوي اثنين وﺏ تساوي ثلاثة، ومن قبل كانت قيمة ﺃ تساوي ثمانية وﺏ تساوي واحد. إذا أعطيتم دالة أسية، فيمكنكم اختيار قيمة ﺃ التي تريدونها، وبناء عليها ستتحدد قيمة ﺏ، أو يمكنكم اختيار قيمة ﺏ التي تريدونها، وبناء عليها ستتحدد قيمة ﺃ.

غالبًا ما نختار أن يكون الأساس ﺃ مساويًا لـ ﻫ، أساس اللوغاريتم الطبيعي، وهذا يحدد قيمة ﺏ. وبدلًا من ذلك، يمكننا اختيار أن يكون العدد في الأس ﺏ هو واحد، وهذا سيحدد قيمة الأساس ﺃ. إذن فخطتنا هي أن نكتب كل خيار على الصورة التالية: ﻉ يساوي ﺟ مضروبة في ﺃ أس ﻥ. وهكذا اخترنا أن تكون قيمة ﺏ هي واحد.

هناك طريقة وحيدة لكتابة المعادلة الأسية على هذه الصورة. ولذا بمجرد أن نعيد كتابة جميع الخيارات على هذه الصورة، نستطيع أن نرى أي أربعة منها متكافئة، وأي واحد منها هو الشاذ. هذه هي خطتنا. دعونا نر إذا كان بإمكاننا إيجاد قيمتي ﺟ وﺃ من التمثيل البياني.

رأينا بالفعل أن الجزء المقطوع من ﻉ هو ثمانون؛ بتعبير آخر، عندما يكون ﻥ مساويًا لصفر، فإن ﻉ يساوي ٨٠. وبالطبع، فلكل قيم ﺃ، فإن ﺃ أس صفر يساوي واحد، ولذا فإن ٨٠ يساوي ﺟ. إذن، ﺟ يساوي ٨٠. حسنًا، هكذا نعرف أن ﻉ يساوي ٨٠ مضروبة في ﺃ أس ﻥ. وما علينا سوى إيجاد قيمة ﺃ.

بالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا أن نرى أنه عندما تكون قيمة ﻥ هي واحد، فإن ﻉ يساوي ١٠٠. وبالتعويض بهاتين القيمتين، نحصل على ١٠٠ يساوي ٨٠ مضروبة في ﺃ أس واحد. لقد اخترنا أن نرى ما يحدث عندما تكون قيمة ﻥ هي واحد لأننا نعرف أن ﺃ أس واحد يساوي ﺃ. وبهذا نحصل على معادلة بسيطة وسهلة: ١٠٠ يساوي ٨٠ مضروبة في ﺃ. ولذا فإن ﺃ يساوي ١٠٠ على ٨٠ أو خمسة على أربعة أو ١٫٢٥. ونتيجة لذلك، فإن المعادلة المعبرة عن هذا التمثيل البياني على الصورة التي نبحث عنها هي ﻉ يساوي ٨٠ مضروبة في ١٫٢٥ أس ﻥ.

ويمكننا على الفور ملاحظة أن هذه المعادلة هي الخيار هـ. وهكذا فمن المؤكد أن الخيار هـ يصف بالفعل التمثيل البياني الموضح. إذن نحن نعرف أن الخيار هـ صحيح. دعونا نرى أي الخيارات الأخرى مكافئ للخيار هـ.

وهكذا يمكننا أن نتابع متجهين إلى أعلى، ونجرب الخيار د. لدينا ﻉ يساوي ٨٠ مضروبة في ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٫٢٥ مضروبة في ﻥ. وخطتنا هي أن نكتبها على الصورة ﻉ يساوي ﺟ مضروبة في ﺃ أس ﻥ، ونرى إذا كنا سنحصل على الشيء نفسه الذي في الخيار هـ، الذي نعرف أنه صحيح.

يمكننا هنا أن نستخدم أحد قوانين القوى لكتابة هذا على صورة ٨٠ مضروبة في ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٫٢٥ أس ﻥ. وذلك لأن ﺃ أس ﻡ أس ﻝ يساوي ﺃ أس ﻡ مضروبة في ﻝ. وهكذا نرى أن الخيار متحقق في هذه الصورة مبدئيًا: ﺟ هو ٨٠، وﺃ هو ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٫٢٥، ولكن بالطبع يمكننا تبسيط ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٫٢٥.

‏‏ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٫٢٥ يساوي ١٫٢٥. وذلك لأن ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ؛ أي ﻫ أس لوغاريتم ﺱ الطبيعي، يساوي ﺱ. وهذا ينطبق على أي قيمة من قيم ﺱ. ولذا فهو ينطبق بالتأكيد إذا كان ﺱ يساوي ١٫٢٥. يمكننا الآن أن نرى أن هذا هو نفسه ما لدينا في الخيار هـ، والذي نعرف أنه صحيح؛ فهو يصف بالفعل التمثيل البياني الموضح. الخيار د مساو للخيار هـ. وعليه فإن د سيصف أيضًا التمثيل البياني الموضح.

إذن فالخياران د وهـ يصفان التمثيل البياني الموضح. ماذا عن الخيار ج؟ لدينا ﻉ يساوي ٨٠ مضروبة في اثنين أس اللوغاريتم الطبيعي لاثنين على اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٫٢٥ مضروبة في ﻥ. يمكننا استخدام الحيلة نفسها، وهي كتابة ﻉ يساوي ٨٠ مضروبة في اثنين أس اللوغاريتم الطبيعي لاثنين على اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٫٢٥ أس ﻥ.

إذن ﺃ يساوي اثنين أس اللوغاريتم الطبيعي لاثنين على اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٫٢٥. هل يمكننا تبسيط هذا؟ نستطيع أن نستخدم حقيقة أن اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ على اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ هو لوغاريتم ﺱ للأساس ﺹ؛ في الحقيقة، ينطبق هذا على أي لوغاريتم، وليس اللوغاريتم الطبيعي فقط. وهكذا فإن أس الأساس الذي لدينا (إن صح القول) اللوغاريتم الطبيعي لاثنين على اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٫٢٥ هو لوغاريتم اثنين للأساس ١٫٢٥. إذن لدينا ﻉ يساوي ٨٠ مضروبة في اثنين أس لوغاريتم اثنين للأساس ١٫٢٥ أس ﻥ.

هل يمكننا تبسيط الأساس أكثر؟ حسنًا، إن كيفية عمل ذلك ليست واضحة تمامًا. إذا أدخلتم هذا المقدار إلى آلة حاسبة، فستحصلون على عدد يبدأ من ٨٫٦١١. المهم أن ما تحصلون عليه ليس ١٫٢٥. ولذا فبالنسبة إلى الخيار ج، فإن ﻉ لا يساوي ٨٠ مضروبة في ١٫٢٥ أس ﻥ، وهي المعادلة التي تصف التمثيل البياني.

ولذلك، فمن دون النظر إلى الخيارات الأخرى، يبدو أن الإجابة هي ج. ‏‏ﻉ يساوي ٨٠ مضروبة في اثنين أس اللوغاريتم الطبيعي لاثنين على اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٫٢٥ مضروبة في ﻥ، هي المقدار الشاذ. ولكن من المنطقي بالطبع أن نتحقق من الخيارين الباقيين. إذن، دعونا نر الخيار ب.

الشيء الأول الذي نفعله هو استخدام أحد قوانين الأسس. فلدينا الآن ٨٠ مضروبة في شيء ما أس ﻥ. دعونا نر إذا كنا نستطيع تبسيط ذلك الشيء. يمكننا تبسيط هذا الأس بفعل شيء شبيه بما فعلناه في الخيار ج. إن اللوغاريتم الطبيعي لـ ١٫٢٥ على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين هو لوغاريتم ١٫٢٥ للأساس اثنين. الآن، لدينا شيء شبيه بما كان لدينا في الخيار ج. لدينا ٨٠ مضروبة في اثنين أس لوغاريتم ١٫٢٥ للأساس اثنين أس ﻥ.

ولكن على عكس ما وجدناه عندما كان لدينا اثنان أس لوغاريتم اثنين للأساس ١٫٢٥، يمكننا متابعة تبسيط ما لدينا هنا. لأي أساس ﺏ، فإن ﺏ أس لوغاريتم ﺃ للأساس ﺏ يساوي ﺃ. لذا فمن المؤكد أن اثنين أس لوغاريتم ١٫٢٥ للأساس اثنين يساوي ١٫٢٥. وهكذا نحصل على ﻉ يساوي ٨٠ مضروبة في ١٫٢٥ أس ﻥ. وهذا بالطبع مساو للخيارين د وهـ. وعليه فالواضح أن الخيار ب ليس الإجابة.

وأخيرًا، بالنسبة إلى الخيار أ، يمكننا بالفعل أن نرى أنه ثاني الخطوات التي أجريناها عندما كنا نختبر الخيار ب. وعليه فمن الواضح أنه مكافئ للخيار ب، ومن ثم مكافئ للخيارين د وهـ كذلك. إذن يتضح لنا أنه بالرغم من أنها مكتوبة بطرق مختلفة. فإن الخيارات أ وب ود وهـ متكافئة بالفعل. والخيار ج وحده لا يصف التمثيل البياني الموضح.