في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نرسم التحويلات الهندسية للدوال الأسية ونحدِّدها.
إن الدوال الأسية مهمة للغاية في الرياضيات، ولها العديد من التطبيقات العملية. من أمثلة ذلك في المجال العلمي: النمو السكاني، والتحلُّل الإشعاعي. وفي المجال المالي تُستخدَم الدوال الأسية، على سبيل المثال، لتمثيل استثمارات بمعلومية شروط محدَّدة متعلِّقة بالفائدة المركَّبة.
تعريف: الدالة الأسية
الدالة على الصورة: حيث ، ؛ هي دالة أسية.
يُسمَّى أساس الدالة الأسية، أما المجال؛ أي مجموعة القيم الممكنة لـ ، فهو مجموعة الأعداد الحقيقية؛ أي .
يوضِّح الشكل التالي مثالًا على ذلك؛ حيث الدالة هي دالة أسية أساسها ٣.
يمكن أن تأخذ الدوال الأسية عدة صور مختلفة. على سبيل المثال، ، دالتان أسيتان على الصورة: ؛ حيث . إذا كان المتغيِّر المستقل هو الزمن؛ أي ، كما في الدالة السابقة، فإن يُسمَّى القيمة الابتدائية؛ أي قيمة الدالة عند . سنتناول المزيد من الأمثلة للدوال الأسية على الصورة: بعد قليل.
لكنَّنا نلاحظ في هذه الأمثلة الثلاثة ما يُعدُّ السمة المميزة لهذه الدوال؛ وهو أن المتغيِّر يكون هو الأس. وهذا على عكس الدوال الجبرية، مثل: ؛ حيث الأس (وهو ٢) عدد ثابت، والأساس متغيِّر. وفي الدالة الأسية العكس هو الصحيح؛ حيث يكون الأساس هو الثابت، والأس هو المتغيِّر.
بالنسبة للدالة الأسية على الصورة: يوجد اتجاهان عامان يمكن أن تتخذهما الدالة عندما يزداد المتغيِّر المستقل . وهذا يعتمد على قيمة الأساس؛ أي ، فإذا كان فإن المنحنى يتناقص مع زيادة ، وتمثِّل الدالة تضاؤلًا أسيًّا. من ناحية أخرى، إذا كان فإن المنحنى يتزايد مع زيادة ، وتمثِّل الدالة نموًّا أسيًّا.
تعريف: النمو الأسي والتضاؤل الأسي
لأيِّ دالة أسية على الصورة: ؛ حيث ، :
- إذا كان فإن تمثِّل تضاؤلًا أسيًّا.
- إذا كان فإن تمثِّل نموًّا أسيًّا.
ثمة خاصية أخرى للتمثيل البياني للدالة الأسية على الصورة: ؛ وهي أن منحناها يمرُّ دائمًا بالنقطة: . هذا لأنه عند نجد أن .
مثال ١: إيجاد نقطة تقاطع دالة أسية مع محور الصادات
أوجد النقطة التي يقطع فيها منحنى الدالة المحورَ .
الحل
منحنى الدالة الممثَّل في المستوى يقطع المحور عند يساوي صفرًا. وبالتعويض بـ في الدالة لدينا سنحصل على قيمة الجزء المقطوع من المحور .
في هذا السؤال لدينا الدالة ، وبالتعويض بـ نحصل على: . وبما أننا نعلم أن أيَّ عدد حقيقي غير صفري مرفوع للقوة صفر يساوي واحدًا فإن . إذن، الجزء المقطوع من المحور لهذه الدالة يكون عند النقطة: .
نعود مرة أخرى إلى الدوال الأسية على الصورة: . وهي تمثِّل تمدُّدًا رأسيًّا للدالة بمعامل القياس . والجزء المقطوع من المحور يُضرَب أيضًا في القيمة الابتدائية؛ أي ، لأنه عند فإن . ومن ثَمَّ، يمرُّ المنحنى بالنقطة: . لدينا فيما يلي منحنيات الدالة الأصلية ، ودالتين أخريين؛ لقيم ، ، .
إذا كان في الدالة فإن منحنى الدالة ينعكس حول المحور الأفقي، ويتمدَّد رأسيًّا بمعامل مقداره من الوحدات. والجزء المقطوع من المحور أو القيمة الابتدائية تُضرَب أيضًا في ك لتصبح كما هو موضَّح فيما يلي؛ حيث ، ، .
لاحظ أنه على الرغم من أن الدالة تتناقص عند فإنه إذا كان الأساس فلا يزال بإمكاننا تسمية ذلك نموًّا أسيًّا؛ نظرًا لأن المركِّبة الأسية للدالة تتزايد. هناك طريقة أخرى للتفكير في ذلك وهي أن مقدار الدالة يتزايد.
مثال ٢: تحديد التمثيلات البيانية للدوال الأسية
أيُّ التمثيلات البيانية الآتية يمثِّل المعادلة ؟
الحل
إحدى طرق حلِّ هذا السؤال هي اختيار بعض قيم ، وحساب قيم المناظرة لها للدالة الأسية . ويمكننا بعد ذلك تحديد أيُّ المنحنيات المعطاة يطابق القيم المدخَلة والمخرَجة.
باختيار أولًا، والتعويض بذلك في الدالة ؛ نحصل على: . وبما أن أيَّ عدد حقيقي غير صفري مرفوع للقوة صفر يساوي واحدًا فإن هذا يساوي . إذن، النقطة الأولى التي تنتمي لمنحنى الدالة إحداثياتها: . لكنَّنا نلاحظ من التمثيل البياني أن الخيارات الأربعة أ، ب، ج، د، جميعها يمرُّ بالنقطة: .
ومن ثَمَّ، علينا التحقُّق من نقطة أخرى على الأقل. لنفكِّر في قيمة عند . في هذه الحالة، لدينا . إذن، النقطة الثانية إحداثياتها: .
بتحديد ذلك على التمثيل البياني نلاحظ أن هذا يتطابق مع المنحنى ب. إذن، المنحنى الوحيد الذي يمرُّ بالنقطتين: ، هو ب. وعليه، فإن الدالة يعبِّر عنها المنحنى ب.
لاحظ هنا أن الدالة الأسية قد تمدَّدت رأسيًّا بالمعامل ٢ (لأنها مضروبة في ٢). وبما أن أساس الدالة هو ٣؛ أي أكبر من ١، فإننا نعلم أن الدالة تمثِّل نموًّا أسيًّا.
لنتناول مثالًا آخَر على تحديد التمثيلات البيانية للدوال الأسية على الصورة: .
مثال ٣: تحديد التمثيلات البيانية للمعادلات الأسية
أيُّ التمثيلات البيانية الآتية يمثِّل المعادلة: ؟
الحل
لدينا المعادلة: ، ونريد تحديد أيُّ التمثيلات البيانية يمثِّل هذه المعادلة. لكي نفعل ذلك نختار بعض قيم ، ونوجِد إحداثيات المناظرة لها. وسنتمكَّن عندئذٍ من معرفة أيُّ المنحنيات يمرُّ بهذه النقاط ومن ثَمَّ يطابق المعادلة.
باختيار أولًا، والتعويض بذلك في المعادلة؛ نجد أن: . ومن ثَمَّ، يجب أن يمرَّ المنحنى بالنقطة: . يوجد منحنيان من المنحنيات المعطاة يمرَّان بهذه النقطة؛ وهما الخياران: أ، د.
يمكننا إذن استبعاد الخيارين ب، ج لأن المنحنيين فيهما لا يمرَّان بالنقطة التي أوجدناها. وبالنظر إلى التمثيلين البيانيين المتبقِّيين أ، د نجد أن هناك طريقة للتمييز بينهما؛ وهي التفكير في إحدى قيم التي تعطي قيمًا مختلفة لـ في كلٍّ من الخيارين أ، د. على سبيل المثال، نلاحظ أنه عند في التمثيل البياني أ فإن يساوي تقريبًا. إذن، يمرُّ المنحنى أ بالنقطة: . ولكن، عند في التمثيل البياني د يمرُّ المنحنى بالنقطة: .
بالتعويض بـ في المعادلة لدينا نجد أن: . إذن النقطة: لا بد من أن تقع على المنحنى. والمنحنى الموضَّح في الخيار أ هو المنحنى الوحيد الذي يمرُّ بهذه النقطة. إذن، التمثيل البياني الذي يمثِّل المعادلة: هو أ.
دائمًا ما يتضمَّن التمثيل البياني للدالة الأسية خط تقارب أفقيًّا عند . وهذا يعني أنه في الدوال الأسية يقترب المنحنى من المحور الأفقي لكنه لا يمسُّه أبدًا. وبالمثل، إذا انتقلت الدالة لأعلى أو لأسفل بجمع ثابت أو طرحه؛ أي بحيث ، فسيكون خط التقارب عند .
في المثال التالي سنعرف كيف يمكن تحديد دالة أسية لها خط تقارب لا يساوي صفرًا من التمثيل البياني.
مثال ٤: تحديد الدوال الأسية من التمثيلات البيانية
أيٌّ مما يلي قد يكون معادلة للمنحنى؟
الحل
نلاحظ أولًا أن المنحنى المُعطَى يمرُّ بالنقطة: . وهذا يعني أنه في معادلة المنحنى عند فإن . يمكننا اختبار ما إذا كان هذا ينطبق على كل خيار من الخيارات المعطاة أم لا. بالتعويض بـ في الطرف الأيسر في كل خيار وحساب القيمة نحصل على:
يمثِّل الخياران ج، هـ المعادلتين الوحيدتين اللتين يمرُّ منحنياهما بالنقطة: . ومن ثَمَّ، يمكننا استبعاد الخيارات أ، ب، د.
خطوتنا التالية هي التفكير في السلوك العامِّ للتمثيل البياني. نلاحظ أنه بالنسبة للقيم الموجبة فإن قيم تزداد للغاية وتصبح سالبة سريعًا. لنحاول التعويض بإحدى القيم الموجبة لـ ، على سبيل المثال ، في الخيارين المتبقِّيين ج، هـ:
يمكننا ملاحظة أن المعادلة ج تعطينا قيمة موجبة عند ، وهو ما لا يطابق التمثيل البياني المُعطَى. لكن في المعادلة هـ عند فإن ، وهو ما يطابق بالفعل التمثيل البياني المُعطَى. إذن، المعادلة هـ هي معادلة المنحنى.
بالنظر إلى معادلة المنحنى: ، وتوزيع القوس وإعادة الترتيب؛ نحصل على: . وهذا يعني أن الدالة الأسية تتمدَّد رأسيًّا بالمعامل ٤ (لأن ٤ مضروبة في )، وتنعكس حول المحور الأفقي (بسبب الإشارة السالبة)، ثم تنتقل لأعلى بمقدار ٤ وحدات (بسبب إضافة ٤). إذن، يكون خط التقارب الأفقي عند النقطة: .
في المثال الأخير سنتناول التمثيل البياني لدالة تمثِّل تضاؤلًا أسيًّا.
مثال ٥: تحديد التمثيلات البيانية للمعادلات الأسية
أيٌّ من التمثيلات البيانية الآتية يمثِّل المعادلة: ؟
الحل
نعلم أن الدالة هي دالة أسية لأنها على الصورة: . كما نعلم أيضًا أن منحنى هذه الدالة وفقًا للتعريف يمرُّ بالنقطة: ، وله خط تقارب أفقي عند .
هذا يعني أنه يمكننا استبعاد التمثيل البياني أ لأنه لا يحقِّق أيًّا من الشرطين؛ فالمنحنى لا يمرُّ بالنقطة: ، ولا يقترب للغاية من الخط ، ولا يمسُّه مطلقًا. وفي الواقع، التمثيل البياني أ يمثِّل دالة تربيعية.
ننظر إلى التمثيلين البيانيين ب، ج فنجد أنه على الرغم من أن التمثيل البياني ب يبدو أنه يقترب للغاية من الخط فالمنحنيان في التمثيلين البيانيين لا يمرَّان بالنقطة: .
في الواقع، يبدو أن هذين التمثيلين البيانيين لا يحقِّقان قيم ، وهو ما لا ينطبق على الدالة الأسية لدينا. يمكننا إذن استبعاد التمثيلين البيانيين ب، ج.
بذلك، يتبقَّى لدينا التمثيلان البيانيان د، هـ، والمنحنيان في كلٍّ منهما يمرَّان بالنقطة: ، ولهما خط تقارب عند .
لكي نعرف أيُّهما يمثِّل الدالة لدينا علينا التفكير في خاصية أخرى من خواصِّ الدالة الأسية على الصورة: . بعبارة أخرى:
- إذا كان يمثِّل نموًّا أسيًّا.
- إذا كان يمثِّل تضاؤلًا أسيًّا.
لدينا هنا . إذن، تمثِّل الدالة تضاؤلًا أسيًّا. وهذا يعني أنه مع زيادة المتغيِّر المستقل تتناقص قيمة الدالة. نلاحظ حدوث عكس ذلك في التمثيل البياني د؛ فمع زيادة تزداد الدالة أيضًا. لذا، يمكننا استبعاد التمثيل البياني د.
وبما أن الدالة التي يعبِّر عنها التمثيل البياني هـ تتناقص مع زيادة فإن هذا يمثِّل تضاؤلًا أسيًّا. وعليه، فإن التمثيل البياني هـ يمثِّل المعادلة: .
دعونا نختتم باسترجاع بعض النقاط الرئيسية حول التمثيلات البيانية للدوال الأسية.
النقاط الرئيسية
- الدالة على الصورة: ؛ حيث ، هي دالة أسية.
- يمثِّل نموًّا أسيًّا،
في حين يمثِّل تضاؤلًا أسيًّا. - يمرُّ منحنى الدالة بالنقطة: ، وله خط تقارب أفقي عند .
- هي دالة أسية تمرُّ بالنقطة: ؛ أي الجزء المقطوع من المحور أو .
