فيديو الدرس: التمثيلات البيانية للدوال الأسية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نرسم تحويلات التمثيلات البيانية للدوال الأسية ونحددها. الدالة الأسية دالة على الصورة: ﺩﺱ تساوي ﺏ أس ﺱ. وﺏ عدد حقيقي موجب لا يساوي واحدًا، والمتغير ﺱ أس. هذه الدوال لها أهمية كبيرة في الرياضيات؛ لأن لها تطبيقات عديدة مختلفة. نحن نستخدمها لتمثيل النمو الأسي والتضاؤل الأسي. على سبيل المثال، يمكننا استخدام الدوال الأسية لتمثيل النمو السكاني أو مبلغ من المال في حساب استثمار بمعلومية شروط محددة متعلقة بالفائدة المركبة. سنبدأ بالنظر إلى الشكل الذي تبدو عليه هذه التمثيلات البيانية.

ما التمثيل البياني الذي يوضح نموًا أسيًا؟

أولًا: نتذكر ما نعنيه بالدالة الأسية. إنها دالة على الصورة: ﺩﺱ تساوي ﺏ أس ﺱ؛ حيث ﺏ عدد حقيقي موجب لا يساوي واحدًا، والمتغير ﺱ أس. والآن نلقي نظرة على ما يحدث إذا حاولنا تمثيل نوعين من هذه الدوال بيانيًا. سنرسم الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين أس ﺱ. بعبارة أخرى، سنرسم دالة يكون فيها ﺏ أكبر من واحد، وسنرسم كذلك الدالة ﺭﺱ تساوي نصفًا أس ﺱ. في هذه الحالة، ننظر إلى سلوك الدالة عندما يكون ﺏ في الفترة المفتوحة من صفر إلى واحد.

سنستخدم جدولًا لكل منهما. عند ﺱ يساوي سالب اثنين، قيمة الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين أس سالب اثنين. هذا يساوي واحدًا على اثنين تربيع، وهو ما يساوي واحدًا على أربعة، أو ٠٫٢٥. وعند ﺱ يساوي سالب واحد، قيمة الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين أس سالب واحد، أي نصفًا أو ٠٫٥. وبالطريقة نفسها، ﺩ صفر يساوي واحدًا، ﺩ واحد يساوي اثنين، ﺩ اثنين يساوي أربعة، وﺩ ثلاثة يساوي اثنين تكعيب، وهو ما يساوي ثمانية. وبالمثل، بالنسبة إلى ﺭﺱ، نحصل على ﺭ لسالب اثنين يساوي أربعة، وﺭ لسالب واحد يساوي اثنين، وهكذا. دعونا نرسم هاتين الدالتين على المحورين نفسهما. عندما نرسم الدالة ﺩﺱ بيانيًا ثم نصل بين القيم لتكون منحنى أملس، نرى أنها تتزايد على مجالها بالكامل. بعبارة أخرى، الدالة تنحدر لأعلى دائمًا. من ناحية أخرى الدالة ﺭﺱ تتناقص؛ أي تنحدر لأسفل دائمًا.

نقول هنا إن الدالة التي على الصورة: ﺩﺱ تساوي ﺏ أس ﺱ؛ حيث ﺏ ثابت حقيقي أكبر من الواحد، تمثل نموًا أسيًا. لكن عندما يكون ﺏ أكبر من الصفر وأصغر من الواحد، تمثل الدالة تضاؤلًا أسيًا. إذن ما التمثيل البياني الذي يوضح نموًا أسيًا؟ بعبارة أخرى، ما الدالة التي تشبه الدالة ﺩﺱ؟ حسنًا، نرى أن هذه الدالة هي الموضحة في الخيار ﺏ.

في الواقع، يمكننا استنتاج خاصية أخرى لهذه الدوال من التمثيلين البيانيين اللذين رسمناهما. لاحظ كيف يبدو أن هذين الجزأين من المستقيمين يقتربان أكثر فأكثر من المحور ﺱ. لكنهما لن يمسا المحور ﺱ أبدًا. وذلك لأن العدد يصبح أصغر فأصغر في كل مرة؛ لأننا نقسم قيمة الدالة على اثنين. لكنه لن يصل أبدًا إلى الصفر. نسمي هذا المستقيم، وهو المحور ﺱ أو المستقيم ﺹ يساوي صفرًا، خط تقارب أفقيًا.

يمكننا إذن أن نقول الآتي. الدالة الأسية دالة على الصورة ﺩﺱ تساوي ﺏ أس ﺱ؛ حيث ﺏ عدد حقيقي موجب لا يساوي واحدًا. إذا كان ﺏ أكبر من واحد، فإن الدالة تمثل نموًا أسيًا. وإذا كان أكبر من الصفر وأصغر من الواحد، فإنها تمثل تضاؤلًا أسيًا. ويكون المحور ﺱ، أو المستقيم ﺹ يساوي صفرًا، خط تقارب أفقيًا لهاتين الدالتين. وثمة خاصية أخرى يمكننا تناولها؛ لذا دعونا نلق نظرة على مثال آخر.

أوجد النقطة التي يقطع فيها التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي ستة أس ﺱ المحور ﺹ.

نتذكر هنا أن المحور ﺹ هو المستقيم الرأسي الذي معادلته ﺱ يساوي صفرًا. يمكننا إذن إيجاد نقطة تقاطع التمثيل البياني مع المحور ﺹ بأن نجعل ﺱ يساوي صفرًا، ثم نوجد قيمة ﺹ. عندما نفعل ذلك، أي عندما نجعل ﺱ يساوي صفرًا، نحصل على ﺹ يساوي ستة أس صفر. لكننا نعلم بالطبع أن أي عدد أس صفر يساوي واحدًا. هذا يعني أن التمثيل البياني يقطع المحور ﺹ عند ﺹ يساوي واحدًا. وهذا بالطبع عندما يكون ﺱ مساويًا لصفر. إذن نقطة التقاطع هي: صفر، واحد. في الواقع إذا تناولنا التمثيل البياني العام للدالة ﺩﺱ تساوي ﺏ أس ﺱ؛ حيث ﺏ ثابت حقيقي أكبر من صفر ولا يساوي واحدًا، فإننا نعلم أن ﺩ صفر تساوي ﺏ أس صفر، وهو ما يساوي واحدًا.

تذكر أنه أيًا كانت قيمة ﺏ، ما دام أنها ثابت حقيقي، فإن ﺏ أس صفر يساوي واحدًا دائمًا. يمكننا إذن القول إن أي دالة أسية على الصورة: ﺩﺱ تساوي ﺏ أس ﺱ تتقاطع مع المحور ﺹ عند واحد أو عند النقطة التي إحداثياها: صفر، وواحد.

في المثال الآتي، سنرى كيف يمكننا تحديد التمثيل البياني الصحيح للدوال الأسية باستخدام الخواص التي ذكرناها، وبإجراء بعض عمليات التعويض.

أي من التمثيلات البيانية الآتية يمثل المعادلة ﺹ يساوي ثلاثة أس ﺱ؟

المعادلة ﺹ يساوي ثلاثة أس ﺱ تمثل معادلة أسية. دعونا نتذكر إذن ما نعرفه عن الدوال الأسية. أولًا: نعلم أن الدالة الأسية التي على الصورة ﺩﺱ تساوي ﺏ أس ﺱ؛ حيث ﺏ ثابت حقيقي موجب، تمر بالنقطة: صفر، واحد. بعبارة أخرى، تقطع هذه الدالة المحور ﺹ عند واحد. لنر إذن ما إذا كان يمكننا استبعاد أي من التمثيلات البيانية من السؤال. التمثيل البياني (ب) يمر بالصفر. ولا يبدو أن التمثيل البياني (ج) يتقاطع مع المحور ﺹ على الإطلاق. والتمثيل البياني (هـ) يتقاطع مع المحور ﺹ عند سالب واحد. وبذلك يتبقى لدينا التمثيل البياني (أ) والتمثيل البياني (د)، وكل منهما يتقاطع مع المحور ﺹ عند واحد.

هناك طريقتان يمكننا استخدامهما لمعرفة أي من هذين التمثيلين البيانيين صحيح. يمكننا اختيار نقطة واختبار ذلك. على سبيل المثال، التمثيل البياني الأول يمر بالنقطة التي إحداثياها: واحد، وثلاثة. لنجعل ﺱ يساوي واحدًا، بما أن الإحداثي ﺱ يساوي واحدًا، ونر ما إذا كان الإحداثي ﺹ يساوي ثلاثة أم لا. إذا كان ﺱ يساوي واحدًا، فإن ﺹ يساوي ثلاثة أس واحد، وهو ما يساوي ثلاثة بالفعل. وبهذا يمكننا استنتاج أن التمثيل البياني للمعادلة ﺹ يساوي ثلاثة أس ﺱ لا بد أن يمر بالنقطة: واحد، ثلاثة. وعليه، فإن التمثيل البياني الصحيح هو (أ).

لكن هناك طريقة أخرى كان بإمكاننا استخدامها لاختبار ذلك. نعلم أنه إذا كان ﺏ أكبر من الواحد، فإن التمثيل البياني يمثل نموًا أسيًا. بعبارة أخرى، إنه يزداد باستمرار. أما إذا كان ﺏ يقع بين صفر وواحد، فإنه يمثل تضاؤلًا أسيًا؛ أي إنه يتناقص باستمرار. نلاحظ أن التمثيل البياني (د) يتناقص على مجاله بالكامل. إنه ينحدر لأسفل باستمرار. وعليه، فإن قيمة ﺏ، أي الأساس، يجب أن تقع بين الصفر والواحد. يمكن أن يكون ﺹ يساوي ثلثًا أس ﺱ، على سبيل المثال. إذن، الإجابة الصحيحة هنا هي (أ).

لنلق نظرة على مثال آخر.

أي من التمثيلات البيانية الآتية يمثل المعادلة ﺹ يساوي ربعًا أس ﺱ؟

من المفيد أن نبدأ بملاحظة أن هذه معادلة أسية. المعادلة الأسية معادلة على الصورة: ﺹ يساوي ﺏ أس ﺱ؛ حيث ﺏ ثابت حقيقي موجب لا يساوي واحدًا. لدينا الآن معرفة بالعديد من الأمور المتعلقة بالتمثيلات البيانية للمعادلات الأسية. نعرف أن لكل دالة من هذه الدوال جزءًا مقطوعًا من المحور ﺹ يساوي واحدًا. ويمر تمثيلها البياني بالنقطة: صفر، واحد. ومن ثم يمكننا على الفور استبعاد ثلاثة من التمثيلات البيانية التي لدينا. يمكننا استبعاد (أ) و(ب) و(ج). التمثيل البياني (أ) يتقاطع عند الصفر، وكذلك التمثيل البياني (ج)، ولا يبدو أن التمثيل البياني (ب) يتقاطع مع المحور ﺹ على الإطلاق.

نعرف أيضًا ما يعنيه شكل هذه المنحنيات. إذا كانت قيمة ﺏ أكبر من الواحد، فسيكون لدينا نمو أسي. وسيبدو التمثيل البياني هكذا تقريبًا. لاحظ أن المحور ﺱ يمثل خط تقارب أفقيًا للتمثيل البياني. المنحنى يقترب من المحور أكثر فأكثر، ولكنه لا يمسه. إذا كان ﺏ أكبر من الصفر وأصغر من الواحد، فسيكون لدينا تضاؤل أسي. وفي هذه الحالة، يتناقص التمثيل البياني على مجاله بالكامل. ويظل المحور ﺱ يمثل خط تقارب أفقيًا للتمثيل البياني، لكنه هذه المرة يبدو هكذا تقريبًا.

ما قيمة ﺏ إذن؟ حسنًا، المعادلة هنا هي: ﺹ يساوي ربعًا أس ﺱ. إذن ﺏ يساوي ربعًا، وهو عدد أكبر من الصفر وأصغر من الواحد. وهذا يعني أن التمثيل البياني يمثل تضاؤلًا أسيًا. وهو ما يعني أنه سيتناقص على مجاله بالكامل. ويمكننا أن نرى أن هذا التمثيل البياني هو (د).

في المثال الأخير، سنتناول كيف نحدد التمثيل البياني لمعادلة أسية أكثر تعقيدًا.

أي من التمثيلات البيانية التالية يمثل المعادلة ﺹ يساوي اثنين في ثلاثة أس ﺱ؟

هذا مثال على معادلة أسية على الرغم من أنها قد لا تبدو كذلك. إنها في الأساس مضاعف لصورتها العامة: ﺹ يساوي ﺏ أس ﺱ؛ حيث ﺏ ثابت حقيقي موجب لا يساوي واحدًا. لكنها هذه المرة على الصورة: ﺃﺏ أس ﺱ. تذكر أنه وفقًا لترتيب العمليات، نطبق الأس قبل الضرب. إذن هذا يساوي ثلاثة أس ﺱ في اثنين. وهذا يعني أنه علينا أن نتذكر ما نعرفه عن تحويلات التمثيلات البيانية. بالنسبة إلى التمثيل البياني للدالة ﺹ تساوي ﺩﺱ، ﺹ يساوي ﺩﺱ زائد ثابت ما، ﺃ، يمثل تحولًا مقداره صفر ﺃ. إنه يتحرك بمقدار ﺃ وحدة لأعلى.

من ناحية أخرى، التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺩﺱ زائد ﺏ هو تحول مقداره سالب ﺏ صفر. وهو يتحرك هذه المرة بمقدار ﺏ وحدة إلى اليسار. وإذا نظرنا إلى المعادلة، فسنرى أننا لم نضف ثابتًا على الإطلاق. لنتذكر إذن القواعد الأخرى التي نعرفها. ‏‏ﺹ يساوي ثابتًا ما، ﺃ، في ﺩﺱ هو تمدد رأسي أو تكبير بمعامل قياس ﺃ. بينما ﺹ يساوي الدالة ﺩ ﺏﺱ يمثل تمددًا أفقيًا بمعامل قياس واحد على ﺏ. والآن بالعودة إلى المعادلة، لدينا ثلاثة أس ﺱ. نضرب الدالة كلها في اثنين. ومن ثم، فإننا ننظر إلى تمدد رأسي. في الواقع، علينا إجراء تمدد رأسي للدالة ﺹ تساوي ثلاثة أس ﺱ بمعامل قياس مقداره اثنان.

إذن ما شكل التمثيل البياني لـ ﺹ تساوي ثلاثة أس ﺱ؟ إنه دالة أسية، والأساس أكبر من الواحد. هذا يعني أن الدالة تمثل نموًا أسيًا. وهو ما يعني أنه يمكننا استبعاد التمثيلين البيانيين (أ) و(ب). إنهما يمثلان في الواقع تضاؤلًا أسيًا؛ إذ إنهما يتناقصان، أي ينحدران لأسفل. علينا إذن الاختيار من بين (ج) و(د) و(هـ). نتذكر أيضًا أن الدالة ﺹ تساوي ﺏ أس ﺱ تقطع المحور ﺹ عند واحد. الدالة ﺹ تساوي ثلاثة أس ﺱ تفعل الشيء نفسه. إنها تمر بالنقطة: صفر، واحد. لكنها تتمدد رأسيًا بمعامل قياس مقداره اثنان. هذا يعني أن الدالة ﺹ تساوي اثنين في ثلاثة أس ﺱ لا بد أن تمر بالنقطة: صفر، اثنين.

من بين الدوال (ج) و(د) و(هـ)، الدالة الوحيدة التي ينطبق عليها ذلك هي الدالة (هـ). الدالة (ج) تقطع المحور عند واحد، والدالة (د) تقطعه عند ثلاثة. إذن التمثيل البياني الذي يمثل المعادلة ﺹ يساوي اثنين في ثلاثة أس ﺱ هو (هـ).

في هذا الفيديو، تعلمنا أن الدالة الأسية تكون على الصورة: ﺩﺱ تساوي ﺏ أس ﺱ؛ حيث ﺏ عدد حقيقي موجب لا يساوي واحدًا. ورأينا أنه إذا كانت قيم ﺏ أكبر من الواحد، فإن الدالة تمثل نموًا أسيًا؛ أي تنحدر لأعلى. أما إذا كانت قيم ﺏ أصغر من الواحد وأكبر من الصفر، فإن الدالة تمثل تضاؤلًا أسيًا، أي تنحدر لأسفل. لاحظ أن السبب في تجاهلنا للحالة التي يكون فيها ﺏ يساوي واحدًا هو أنه إذا كان ﺏ يساوي واحدًا، فستعطينا الدالة مستقيمًا أفقيًا بسيطًا، وهو لا يمثل نموًا أسيًا. وأخيرًا، رأينا أن هذه التمثيلات البيانية تقطع المحور ﺹ عند واحد، ولديها خط تقارب أفقي هو المحور ﺱ أو المستقيم ﺹ يساوي صفرًا.