نسخة الفيديو النصية
إنتاج أحد المصانع لـ ﺹ وحدة في اليوم ﻥ يعطى بالعلاقة ﺹ يساوي ٤٠٠ مضروبًا في ١٠ ناقص ﻫ أس سالب ٠٫٨ ﻥ. ما معدل تغير الإنتاج بالنسبة إلى الزمن في اليوم الخامس؟
يخبرنا السؤال أن إنتاج أحد المصانع لـ ﺹ وحدة في اليوم ﻥ يعطى بالعلاقة ﺹ يساوي ٤٠٠ مضروبًا في ١٠ ناقص ﻫ أس سالب ٠٫٨ ﻥ. ويطلب منا إيجاد معدل تغير الإنتاج بالنسبة إلى الزمن في اليوم الخامس.
إننا نتذكر أن معدل تغير الإنتاج بالنسبة إلى الزمن يساوي اشتقاق التعبير الدال على الإنتاج بالنسبة إلى الزمن. ويطلب منا السؤال إيجاد قيمة ذلك في اليوم الخامس. أي عندما ﻥ يساوي خمسة. إذن يطلب منا السؤال اشتقاق ٤٠٠ مضروبًا في ١٠ ناقص ﻫ أس سالب ٠٫٨ ﻥ بالنسبة إلى ﻥ.
نحن نعلم أنه بالنسبة لأي ثابت ﺃ، فإن مشتقة ﺃ في الدالة ﺩﻥ بالنسبة إلى ﻥ تساوي ﺃ في مشتقة ﺩﻥ بالنسبة إلى ﻥ. يمكننا أخذ العامل الثابت خارج المشتقة. وبذلك يمكننا أخذ العامل الثابت ٤٠٠ خارج المشتقة. وهذا يعطينا ٤٠٠ مضروبًا في مشتقة ١٠ ناقص ﻫ أس سالب ٠٫٨ ﻥ بالنسبة إلى ﻥ.
بعد ذلك، سنستخدم حقيقة أن مشتقة مجموع دالتين أو الفرق بينهما يساوي مجموع مشتقتيهما أو الفرق بينهما. وهذا يعطينا ٤٠٠ مضروبًا في مشتقة ١٠ بالنسبة إلى ﻥ ناقص مشتقة ﻫ أس سالب ٠٫٨ ﻥ بالنسبة إلى ﻥ.
نحن الآن مستعدون لإيجاد قيمة هذا التعبير. نعلم أن مشتقة أي ثابت تساوي صفرًا. إذن مشتقة ١٠ بالنسبة إلى ﻥ تساوي صفرًا. ونعرف أيضًا أنه بالنسبة لأي ثابت ﺃ، فإن مشتقة ﻫ أس ﺃﻥ بالنسبة إلى ﻥ تساوي ﺃ مضروبًا في ﻫ أس ﺃﻥ. ضربنا في معامل الأس.
وبذلك فإن مشتقة ﻫ أس سالب ٠٫٨ ﻥ بالنسبة إلى ﻥ تساوي سالب ٠٫٨ ﻫ أس سالب ٠٫٨ ﻥ. وبما أننا نطرح المشتقة، نحصل على ٤٠٠ مضروبًا في ٠٫٨ في ﻫ أس سالب ٠٫٨ ﻥ. وأخيرًا، لدينا ٤٠٠ مضروبًا في ٠٫٨ يساوي ٣٢٠.
وبذلك نكون قد حصلنا على التعبير الدال على معدل تغير الإنتاج في المصنع بالنسبة إلى الزمن. والمطلوب منا في السؤال هو إيجاد معدل تغير الإنتاج في اليوم الخامس. إذن، نعوض بـ ﻥ يساوي خمسة في هذا التعبير. بالتعويض بـ ﻥ يساوي خمسة، نحصل على معدل تغير الإنتاج في هذا المصنع في اليوم الخامس يساوي ٣٢٠ﻫ أس سالب ٠٫٨ في خمسة. ويمكننا تبسيط الأس سالب ٠٫٨ في خمسة ليصبح سالب أربعة.
وضعنا الحد الذي يتضمن أسًّا سالبًا في مقام الكسر. وبذلك أوضحنا أن معدل تغير إنتاج هذا المصنع بالنسبة إلى الزمن في اليوم الخامس يساوي ٣٢٠ مقسومًا على ﻫ أس أربعة.
