فيديو السؤال: تحديد الدوال الأحادية من خلال تمثيلها البياني الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

هل الدالة الموضحة في التمثيل البياني التالي دالة أحادية؟

في البداية، دعونا نسترجع التعريف العام للدالة، ثم تعريف الدالة الأحادية. حسنًا، لكي تكون أي علاقة دالة، يجب أن يرتبط كل عنصر من عناصر المجال بعنصر واحد فقط من عناصر المدى. ولكي تعرف هذه الدالة على أنها دالة أحادية يجب أن يرتبط كل عنصر من عناصر المدى بعنصر واحد فقط من عناصر المجال. ولعلنا نتذكر أنه يمكننا التحقق مما إذا كان التمثيل البياني يعبر عن دالة باستخدام اختبار الخط الرأسي. وهو طريقة يمكن من خلالها التحقق بمجرد النظر من أن قيمة الإحداثي ﺱ لأي نقطة على التمثيل البياني ترتبط بقيمة واحدة فقط للإحداثي ﺹ. في المخطط البياني، يمثل الإحداثي الرأسي القيمة المخرجة. ومن ثم إذا تقاطع خط رأسي مع منحنى عند أكثر من نقطة، فهذا يعني أنه توجد عدة قيم مخرجة مرتبطة بقيمة مدخلة واحدة.

لكي تكون الدالة أحادية، يجب أن تحقق شرطي اختبار الخط الرأسي واختبار الخط الأفقي. وبما أن قيمة الإحداثي الأفقي تمثل القيمة المدخلة، فإذا كان هناك أكثر من تقاطع بين الخط الأفقي ومنحنى الدالة، فإن عنصر المدى يرتبط بأكثر من عنصر في المجال. وهذا يجعل الدالة غير أحادية. ومن ثم فإن الدالة لا تكون أحادية إذا كان هناك خط أفقي يتقاطع مع تمثيلها البياني أكثر من مرة.

حسنًا، علمنا أن هذا التمثيل البياني يعبر عن دالة. لكن ماذا عن الخط الرأسي ﺱ يساوي صفرًا؟ يبدو أن المنحنى قد يتقاطع مع هذا الخط في عدة مواضع. ويمكن تفسير ذلك من خلال وجود خط تقارب رأسي يقترب منه المنحنى ولا يلامسه؛ لذا فإنه لا يكون معرفًا بعد عند ﺱ يساوي صفرًا. ولأن هذا التمثيل البياني يعبر عن دالة، فإنه يحقق شرط اختبار الخط الرأسي. لكن علينا معرفة إذا ما كان هذا التمثيل البياني يحقق أيضًا شرط اختبار الخط الأفقي.

حسنًا، لقد رسمنا خطًّا أفقيًّا على المخطط يقطع المنحنى عند ثلاث نقاط مختلفة. ولأن معادلة هذه الدالة غير معطاة لنا، لم نتمكن من معرفة إحداثيات هذه النقاط الثلاث بالضبط. لكن يمكننا قول إن الخط الأفقي الذي رسمناه يمكن تمثيله تقريبًا بالمعادلة ﺹ يساوي ١٩. وأيًّا كانت قيمة ﺹ، يتقاطع الخط مع ثلاث قيم مختلفة للإحداثي ﺱ. وقيم الإحداثي ﺱ هذه تساوي تقريبًا سالب ثلاثة وصفرًا وثلاثة، وجميع هذه النقاط يرتبط بنفس قيمة الإحداثي ﺹ. نلاحظ هنا أن النقطة الوسطى يجب أن تكون على يمين الصفر قليلًا؛ لأنه لا توجد نقاط معرفة على خط التقارب الرأسي لـ ﺱ يساوي صفرًا.

إذن، هذه الدالة ليست أحادية؛ لأنها لا تحقق شرط اختبار الخط الأفقي.