فيديو السؤال: تحديد دالة لوغاريتمية تمثل انتقالًا أفقيًّا من تمثيلها البياني الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

ما الدالة التي يعبر عنها التمثيل البياني الموضح؟

لدينا خمس دوال لوغاريتمية لكي نتناول كلًّا منها. ‏ﺩﺱ تساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة. ‏ﺩﺱ تساوي لوغاريتم ثلاثة ﺱ للأساس ثلاثة. ‏ﺩﺱ تساوي لوغاريتم ﺱ زائد ثلاثة للأساس ثلاثة. ‏ﺩﺱ تساوي لوغاريتم ﺱ زائد ثلاثة للأساس ١٠. ‏ﺩﺱ تساوي لوغاريتم سالب ﺱ زائد ثلاثة للأساس ثلاثة.

أولًا: نلاحظ أن هذا التمثيل البياني يشبه التمثيل البياني لدالة لوغاريتمية. يمكننا أيضًا أن نلاحظ من التمثيل البياني أن الجزء المقطوع من المحور ﺱ لهذه الدالة هو سالب اثنين، وأن الجزء المقطوع من المحور ﺹ هو موجب واحد. كذلك يوجد خط تقارب رأسي عند ﺱ يساوي سالب ثلاثة. لا يقع أي جزء من المنحنى على يسار خط التقارب، كما أن الدالة تزايدية.

بالنظر إلى الخيارات المعطاة، مطلوب منا تحديد أي التحويلات للدالة اللوغاريتمية يتوافق مع التمثيل البياني. إذا كانت هذه الدالة على الصورة ﺩﺱ تساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ﻥ، فسيكون للمنحنى جزء مقطوع من المحور ﺱ، وهو واحد، يمر بالنقطة ﻥ، واحد.

كذلك يكون للدالة اللوغاريتمية على هذه الصورة خط تقارب رأسي وهو ﺱ يساوي صفرًا. وبما أن الدالة المعطاة في الخيار أ على هذه الصورة؛ حيث ﻥ يساوي ثلاثة، فإننا نتوقع أن تحتوي على النقطتين واحد، صفر وثلاثة، واحد. إذا حددنا هاتين النقطتين على المستوى الإحداثي، فسنلاحظ أنهما لا تقعان على المنحنى. لكن إذا نقلنا هاتين النقطتين وخط التقارب الرأسي بمقدار ثلاث وحدات إلى اليسار، فسنجد أنهما تقعان على المنحنى تمامًا. ومن ثم، نستبعد الخيار أ.

مهمتنا الآن هي تحديد أي الدوال المعطاة في الخيارات المتبقية تمثل انتقالًا أفقيًّا لهذه الدالة الأولى بمقدار ثلاث وحدات إلى اليسار. يمكننا استبعاد الخيار د بكل ثقة؛ لأن الأساس في هذه الدالة ليس ثلاثة. سيكون منحنى الدالة اللوغاريتمية ذات الأساس ١٠ أكثر تسطحًا مقارنة بمنحنى الدالة اللوغاريتمية ذات الأساس ثلاثة.

إذن، يتبقى لدينا الخيارات ب، ج، هـ لكي نتناولها. نلاحظ أن الدالة المعطاة في الخيار ب على الصورة لوغاريتم ﺏ في ﺱ للأساس ثلاثة. تمثل هذه الصورة تمددًا أفقيًّا بمعامل قياس مقداره واحد على ﺏ. ومن ثم، فإن الدالة المعطاة في الخيار ب تمثل تمددًا أفقيًّا بمعامل قياس مقداره ثلث. لكننا نبحث عن الدالة التي تنقل المنحنى أفقيًّا بمقدار ثلاث وحدات إلى اليسار.

لذا، نستبعد الخيار ب وننتقل إلى الخيار ج، الذي يكون على الصورة لوغاريتم ﺱ زائد ﻫ للأساس ثلاثة. هذا النوع من التحويلات يجعل الدالة لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة تنتقل أو تنزاح أفقيًّا بمقدار سالب ﻫ. بما أن ﻫ يساوي ثلاثة، فإن هذا التحويل يجعل الدالة لوغاريتم ﺱ للأساس ثلاثة تنزاح بمقدار سالب ثلاثة؛ أي بمقدار ثلاث وحدات إلى اليسار. إذن، هذا يطابق الانتقال الأفقي الموضح في التمثيل البياني.

لكي نكون واثقين بإجابتنا، من الجيد أن نتحقق من الدالة باستخدام النقطتين اللتين حددناهما على التمثيل البياني. سنوجد قيمتي ﺩ لسالب اثنين وﺩ لصفر؛ للتأكد من أن النقطتين اللتين إحداثياتهما سالب اثنين، صفر وصفر، واحد يعبر عنهما بالدالة لوغاريتم ﺱ زائد ثلاثة للأساس ثلاثة.

بإيجاد قيمة ﺩ لسالب اثنين في الدالة المعطاة في الخيار ج، نحصل على لوغاريتم واحد للأساس ثلاثة. باستخدام معرفتنا بأن الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للدالة الأسية، يمكننا إثبات أن لوغاريتم واحد للأساس ثلاثة يساوي صفرًا. وذلك لأن ثلاثة أس صفر يساوي واحدًا. يمكننا أيضًا التحقق من أن ﺩ لصفر تساوي واحدًا؛ لأن ثلاثة أس واحد يساوي ثلاثة.

والآن، سننهي هذه المسألة بالتحقق من هاتين النقطتين في الدالة المعطاة في الخيار هـ. في هذه الحالة، ﺩ لسالب اثنين تساوي لوغاريتم خمسة للأساس ثلاثة، وهو ما لا يساوي صفرًا. نلاحظ أن ﺩ لصفر تساوي واحدًا بالفعل، لكن لدينا أدلة كافية لاستبعاد الخيار هـ؛ لأننا أوضحنا أنه لا يحتوي على النقطة سالب اثنين، صفر.

إذن، الدالة التي يعبر عنها التمثيل البياني المعطى للدالة اللوغاريتمية هي ﺩﺱ تساوي لوغاريتم ﺱ زائد ثلاثة للأساس ثلاثة.