فيديو الدرس: التمثيلات البيانية للدوال اللوغاريتمية الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نرسم دوال لوغاريتمية ذات أساسات مختلفة، وتحويلاتها الهندسية، وسوف ندرس خواصها المختلفة. دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه عندما نقول إن دالة ما هي دالة لوغاريتمية.

الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية لدالة أسية. وتكون على الصورة ﺩس يساوي لوغاريتم س للأساس ﻥ، حيث ﻥ أكبر من صفر ولا يساوي واحدًا. ويمكننا القول إنه إذا كانت النقطة ﺱ، ﺹ تحقق الدالة الأسية، فإن النقطة ﺹ، ﺱ تحقق الدالة اللوغاريتمية. وحقيقة أن الدالتين الأسية واللوغاريتمية كل منهما معكوس للأخرى مفيدة جدًّا عند تمثيلهما بيانيًّا. وسنتناول هذا بمزيد من التفصيل لاحقًا في هذا الفيديو. لنبدأ الآن بتناول شكل المنحنى الذي يعبر عن دالة لوغاريتمية.

أوجد قيم ق س يساوي لوغاريتم س للأساس اثنين المجهولة في الجدول.

لدينا جدول به ثلاث قيم مجهولة. حسنًا، ماذا نعني عندما نتحدث عن اللوغاريتم؟ إن الدوال اللوغاريتمية هي الدوال العكسية للدوال الأسية. لنفترض أن لدينا هذا التعبير. نقرأ ذلك بالصورة: لوغاريتم أ للأساس ﺏ يساوي ﺟ‏ ﺏ هو الأساس، وﺟ هو الأس في هذا التعبير، وﺃ يسمى المدخل. وفي الواقع، هذا يماثل بالضبط أسلوب وصف العلاقة بين ﺃ وﺏ وﺟ على الصورة ﺏ أس ﺟ يساوي ﺃ. بوضع ذلك في الاعتبار، دعونا نفكر في الدالة لوغاريتم س للأساس اثنين، وقيمة ﺱ الأولى، أي سالب اثنين.

بالتعويض بـ ﺱ يساوي سالب اثنين في الدالة ق س، نحصل على ﻕ لسالب اثنين يساوي لوغاريتم سالب اثنين للأساس اثنين. ولكن علينا إيجاد قيمة ﻕ لسالب اثنين. دعونا نسم ذلك ﺟ واحد. إذا وصفنا هذه العلاقة على نحو مكافئ على الصورة: اثنان أس ﺟ واحد يساوي سالب اثنين، فسنلاحظ أنه علينا إيجاد قيمة ﺟ واحد التي تحقق هذه المعادلة. لكن لا توجد قوة للعدد اثنين تعطينا القيمة سالب اثنين. وفي الواقع، لا يمكن أن يتحقق ذلك إلا إذا كان الأساس نفسه سالبًا. لذا، فإن قيمة ﺟ واحد غير معرفة. وعليه، نقول إن ﻕ لسالب اثنين غير معرفة.

هيا ننتقل الآن إلى ﺱ يساوي واحدًا. ﻕ لواحد في الجدول هو قيمة لوغاريتم واحد للأساس اثنين. بتعريف ﻕ لواحد على أنه يساوي ﺟ اثنين هذه المرة، نجد أنه يمكننا كتابة هذه العلاقة على نحو مكافئ على الصورة اثنين أس ﺟ اثنين يساوي واحدًا. ولحل هذه المعادلة، نسأل أنفسنا: ما قوة العدد اثنين التي تعطينا واحدًا؟ في الواقع، الطريقة الوحيدة لتحقيق ذلك هي عندما يكون ﺟ اثنين يساوي صفرًا. فأي عدد حقيقي لا يساوي صفرًا مرفوع للقوة صفر يساوي دائمًا واحدًا. إذن، ﻕ لواحد، أي القيمة الثانية في الجدول، يساوي صفرًا.

والآن، سنكرر العملية نفسها مع ﺱ يساوي اثنين. ﻕ لاثنين يساوي لوغاريتم اثنين للأساس اثنين. بتعريف ﻕ لاثنين على أنه ﺟ ثلاثة، نلاحظ أنه يمكننا تمثيل هذه العلاقة على الصورة اثنين أس ﺟ ثلاثة يساوي اثنين. مرة أخرى، نسأل أنفسنا: ما قوة العدد اثنين التي تعطينا اثنين؟ حسنًا، القوة الوحيدة لاثنين التي تعطينا اثنين هي واحد. ومن ثم، فإن ﺟ ثلاثة، أي ﻕ لاثنين، يساوي واحدًا. وبهذا، نكون قد أكملنا القيم في الجدول؛ وهي على الترتيب: غير معرفة، وصفر، وواحد.

قد نحاول الآن رسم منحنى هذه الدالة. ولفعل ذلك، علينا إيجاد بعض القيم الإضافية. وبالطبع، يمكننا استخدام الطريقة السابقة نفسها. ولكن بدلًا من ذلك، يمكننا ببساطة كتابة هذين المقدارين على الآلة الحاسبة. لنفترض أن ﺱ يساوي أربعة. لوغاريتم أربعة للأساس اثنين يساوي اثنين. وبالمثل، إذا كان ﺱ يساوي ثمانية، فإننا نحصل على لوغاريتم ثمانية للأساس اثنين، وهو ما يساوي ثلاثة.

لدينا الآن قيمة ﻕ لسالب اثنين غير معرفة. وفي الواقع، تكون الدالة نفسها غير معرفة لأي قيمة من قيم ﺱ أصغر من أو تساوي صفرًا. إذن، لدينا خط تقارب هنا، أي خط تقارب عند الخط المستقيم ﺱ يساوي صفرًا أو المحور ﺹ. وعليه، فإن شكل منحنى الدالة ق س يساوي لوغاريتم س للأساس اثنين يشبه قليلًا ما هو موضح هنا. قلنا إن المجال هو قيم ﺱ التي يمكننا التعويض بها، وهي أعداد حقيقية موجبة فقط؛ أي إن ﺱ أكبر من صفر أو ﺱ يقع في الفترة المفتوحة من صفر إلى ∞. نلاحظ أيضًا أن المنحنى نفسه يمر بالمحور ﺱ عند ﺱ يساوي واحدًا. ويمكننا تعميم هاتين الخاصيتين للتمثيلات البيانية للدوال اللوغاريتمية.

لنتناول منحنيات الدوال على الصورة ﺹ يساوي لوغاريتم س للأساس ﻥ، حيث ﻥ أكبر من صفر ولا يساوي واحدًا. وهي تتقاطع مع المحور ﺱ في موضع واحد فقط. وتمر بالمحور ﺱ عند واحد. كما ستمر أيضًا بالنقطة ﻥ، واحد. في المثال الأخير، منحنى ﺹ يساوي لوغاريتم س للأساس اثنين يمر بالنقطة اثنين، واحد. وجميع هذه المنحنيات لها خط تقارب رأسي يمثله المحور ﺹ أو الخط المستقيم ﺱ يساوي صفرًا. وأخيرًا، لهذه الدوال مجال يقع فيه ﺱ في الفترة المفتوحة من صفر إلى ∞، ومدى تكون فيه القيمة المخرجة، أي قيم ﺹ، في الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى ∞. إذن، يبدو المنحنى بهذا الشكل تقريبًا.

وكما هو الحال بالنسبة لمنحنيات الدوال الأسية، يمكن أن توضح لنا قيمة ﻥ المزيد عن الدالة. فإذا كان ﻥ أكبر من واحد، فإن الدالة نفسها تكون تزايدية. وإذا كان ﻥ أكبر من صفر وأصغر من واحد، فإن الدالة تكون تناقصية. قد نريد مقارنة منحنى هذه الدالة مع معكوسها، أي ﺹ يساوي ﻥ أس ﺱ. يكون منحنى ﺹ يساوي ﻥ أس ﺱ بهذا الشكل تقريبًا. وكما نتوقع عند رسم منحنى دالة ومعكوسها، فإنهما يكونان انعكاسًا بعضهما للبعض حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ. ويمكن أن تكون هذه حقيقة مفيدة بالفعل إذا كنا نجد صعوبة في تذكر شكل أي من المنحنيين. دعونا الآن نتناول سؤالًا يتضمن تحديد التمثيل البياني لدالة لوغاريتمية.

ما التمثيل البياني الذي يمثل الدالة ﺩس يساوي لوغاريتم س للأساس خمسة؟

لدينا خمسة تمثيلات بيانية لنختار من بينها. لنبدأ إذن بتناول الدالة المعطاة. إنها دالة لوغاريتمية، وهي على الصورة العامة للدالة اللوغاريتمية ﺩس يساوي لوغاريتم س للأساس ﻥ، حيث قيمة ﻥ، التي تساوي خمسة هنا، لا يمكن أن تساوي واحدًا وهي أكبر من صفر. إحدى الخواص التي نعرفها عن هذه الدالة هي أنها تمر بالمحور ﺱ عند واحد، لكنها تمر أيضًا بالنقطة ﻥ، واحد. لذا، فإننا نبحث عن منحنى يمر بالنقطتين واحد، صفر؛ وخمسة، واحد. نعلم أيضًا أن المحور ﺹ أو الخط المستقيم ﺱ يساوي صفرًا هو خط تقارب لهذا المنحنى. بعبارة أخرى، يقترب منحنى الدالة من المحور ﺹ، لكن لا يصل إليه أبدًا. ونعلم أنه عندما يكون ﻥ أكبر من واحد، فإن المنحنى نفسه يتزايد فقط. بمعنى أنه يتزايد على مجال الدالة كله.

إذا نظرنا جيدًا، فسنجد أن المنحنيات كلها تتزايد، وجميعها يتضمن المحور ﺹ باعتباره خط تقارب. لذا، علينا تحديد المنحنى الذي يمر بالنقطتين واحد، صفر؛ وخمسة، واحد. إذا مثلنا كل نقطة من هاتين النقطتين على كل تمثيل بياني، فسنجد أن منحنى واحدًا فقط يمر بكلتا النقطتين. وعليه، فإن التمثيل البياني الصحيح هو (أ). إذن، التمثيل البياني (أ) يمثل الدالة ﺩس يساوي لوغاريتم س للأساس خمسة.

هيا نحدد الآن التمثيل البياني لدالة لوغاريتمية أخرى.

أي منحنى يمثل ﺹ يساوي لوغاريتم س للأساس ثلاثة؟

لدينا مستوى إحداثي مرسوم عليه أربعة منحنيات مختلفة. حسنًا، لدينا هنا دالة لوغاريتمية، وهي دالة على الصورة لوغاريتم س للأساس ﻥ، حيث قيمة ﻥ موجبة ولا تساوي واحدًا. إحدى خواص هذه الدالة هي أن منحناها يمر بالنقطة واحد، صفر، والنقطة ﻥ، واحد. إذن، بما أن ﻥ يساوي ثلاثة، فإن المنحنى سيمر بالنقطتين واحد، صفر؛ وثلاثة، واحد. كما نعلم أيضًا أنه إذا كانت قيمة ﻥ أكبر من واحد، فإن المنحنى يتزايد على مجال الدالة كله.

هذا مفيد جدًّا لأنه يمكننا استبعاد الخيارين (ج) و(د) مباشرة. فنلاحظ أن هذين المنحنيين، بالرغم من أنهما يمران بالنقطة واحد، صفر، فإنهما يتناقصان على مجالهما كله. ومن ثم، يمكن أن يكونا تحويلًا هندسيًّا عن طريق انعكاس منحنى دالة لوغاريتمية أو منحنى دالة لوغاريتمية تتضمن أساسًا كسريًّا. ولكنهما بالتأكيد لا يمثلان المنحنى ﺹ يساوي لوغاريتم س للأساس ثلاثة. وأخيرًا، نعلم أن هذه المنحنيات كلها يجب أن يكون لها خط تقارب يمثله الخط المستقيم ﺱ يساوي صفرًا أو المحور ﺹ. حسنًا، المنحنيات كلها لها خط التقارب هذا. ونلاحظ أن المنحنيات تقترب من المحور ﺹ ولكنها لا تصل إليه مطلقًا.

إذن، علينا إيجاد المنحنى الذي يمر بالنقطتين واحد، صفر؛ وثلاثة، واحد. أوضحنا بالفعل أن المنحنيات كلها تمر بالنقطة واحد، صفر، لكن المنحنى الوحيد الذي يمر أيضًا بالنقطة ثلاثة، واحد هو المنحنى (أ). لذا، فإن المنحنى (أ) هو منحنى المعادلة ﺹ يساوي لوغاريتم س للأساس ثلاثة.

عند هذه المرحلة، نكون قد تناولنا كيفية تكوين مجموعة من الأزواج المرتبة باستخدام جدول قيم الدالة، وحددنا تمثيلين بيانيين من التمثيلات البيانية للدوال اللوغاريتمية. ومع ذلك، من الواضح أننا لن نتعامل دائمًا مع الدوال اللوغاريتمية فقط. لكننا سنتعامل أحيانًا مع دوال مركبة أو دالة في دالة. وفي هذه الحالات، قد يكون من المفيد استرجاع ما نعرفه عن التحويلات الهندسية للدوال لمساعدتنا في تحديد التمثيل البياني المناسب. دعونا نستعرض أحد هذه التحويلات الهندسية في المثال التالي.

ما الدالة التي يعبر عنها التمثيل البياني الموضح؟ هل هي (أ) ﺩس يساوي لوغاريتم اثنين ﺱ للأساس أربعة؟ أم (ب) ﺩس يساوي لوغاريتم س للأساس أربعة؟ أم (ج) ﺩس يساوي لوغاريتم اثنين ﺱ للأساس اثنين؟ أم (د) ﺩس يساوي لوغاريتم س للأساس اثنين؟ أم (هـ) ﺩس يساوي لوغاريتم س للأساس ثمانية؟

سنبدأ بالنظر إلى التمثيل البياني للدالة نفسه. وهو بالتأكيد يشبه التمثيل البياني لدالة لوغاريتمية. فلدينا خط تقارب رأسي يمثله المحور ﺹ. ويبدو أن المنحنى يقترب بالفعل من هذا المحور لكن لا يصل إليه أبدًا، كما أن الدالة نفسها تزايدية. والمجال هو قيم ﺱ الأكبر من صفر، ويتضمن المدى جميع الأعداد الحقيقية. لذلك، فمن المحتمل أن تكون الدالة على الصورة ﺩس يساوي لوغاريتم س للأساس ﻥ. وفي الواقع، جميع المعادلات المعطاة ممثلة على هذه الصورة العامة، بالرغم من أن بعضها يتضمن اثنين ﺱ باعتباره المدخل.

إحدى الخواص التي نعرفها عن الدالة ﺩس يساوي لوغاريتم س للأساس ﻥ للقيم الموجبة لـ ﻥ التي لا تساوي واحدًا هي أنها تمر بالنقطة واحد، صفر والنقطة ﻥ، واحد. بتمثيل النقطة واحد، صفر على التمثيل البياني للدالة، نجد أن المنحنى لا يمر بهذه النقطة. ولكنه يمر بالنقطة نصف، صفر؛ لذا يبدو كتحويل هندسي للدالة الأصلية. لعلنا نتذكر إذن أنه بافتراض أن لدينا الدالة ﺹ يساوي ﺩس، فإن الدالة ﺹ يساوي ﺩ لـ ﻥﺱ، حيث يجب عدم الخلط بين ﻥ والأساس الموجود في الدالة لوغاريتم س للأساس ﻥ، ينتج عنها انكماش أفقي ولكن بمعامل قياس مقداره واحد على ﻥ.

لذا، إذا كانت لدينا الدالة ﺩس يساوي لوغاريتم س للأساس ﻥ، فإن الدالة ﺩس يساوي لوغاريتم اثنين ﺱ للأساس ﻥ ستكون انكماشًا بمعامل قياس مقداره نصف في ذلك الاتجاه الأفقي. يعني هذا أن التمثيل البياني قد يكون (أ) أو (ج). فمن الممكن أن يكون لوغاريتم اثنين ﺱ للأساس أربعة أو لوغاريتم اثنين ﺱ للأساس اثنين. دعونا نختر نقطة على المنحنى لنستنتج ما إذا كانت الدالة هي ﺩس يساوي لوغاريتم اثنين ﺱ للأساس أربعة أم لوغاريتم اثنين ﺱ للأساس اثنين. نلاحظ أن المنحنى يمر بالنقطة ثمانية، اثنين، والنقطة اثنين، واحد. وللتأكد من ذلك، سنتحقق من هذين الإحداثيين في كلتا الدالتين.

عند ﺱ يساوي اثنين، تعطينا الدالة الأولى، أي (أ)، ﺩ لاثنين يساوي لوغاريتم اثنين في اثنين للأساس أربعة. وهذا يساوي لوغاريتم أربعة للأساس أربعة، وهو ما يساوي واحدًا. ومن ثم، فإن هذه النقطة تحقق الدالة ﺩس يساوي لوغاريتم اثنين ﺱ للأساس أربعة. ننتقل بعد ذلك إلى ﺩ لثمانية يساوي لوغاريتم اثنين في ثمانية للأساس أربعة. وهذا يساوي لوغاريتم ١٦ للأساس أربعة. وبما أننا نعرف أن أربعة تربيع يساوي ١٦، فإن هذا يساوي اثنين. مرة أخرى، فإن النقطة الثانية، أي ثمانية، اثنين، تحقق هذه الدالة؛ لذا يمكننا استنتاج أن الدالة هي ﺩس يساوي لوغاريتم اثنين ﺱ للأساس أربعة.

دعونا نتحقق من هذا بالتعويض باثنين وثمانية في الدالة الثانية. عند ﺱ يساوي اثنين، فإن الدالة تساوي لوغاريتم أربعة للأساس اثنين، وهو ما يساوي اثنين. وعند ﺱ يساوي ثمانية، فإن الدالة تساوي لوغاريتم ١٦ للأساس اثنين، وهو ما يساوي أربعة. لا تقع أي من النقطتين اثنين، اثنين؛ وثمانية، أربعة على المنحنى المعطى؛ ومن ثم، يمكننا التأكد أن الإجابة لا يمكن أن تكون الخيار (ج)؛ بل الخيار (أ).

بذلك، نكون قد عرفنا كيف نحدد ونرسم التمثيلات البيانية للدوال اللوغاريتمية، بالإضافة إلى تحويلاتها الهندسية المختلفة. دعونا الآن نختتم هذا الدرس بتلخيص بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها. في هذا الدرس، عرفنا أن الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية لدالة أسية. وتكون على الصورة ﺩس يساوي لوغاريتم س للأساس ﻥ، حيث قيمة ﻥ موجبة ولا تساوي واحدًا. تمر منحنيات الدالة بالنقطتين واحد، صفر؛ وﻥ، واحد. ويكون لها خط تقارب يمثله المحور ﺹ أو الخط المستقيم ﺱ يساوي صفرًا، ويمكن أن توضح لنا قيمة ﻥ شكل المنحنى. فإذا كان ﻥ أكبر من واحد، فإن المنحنى يتزايد على مجال الدالة كله. وإذا كان ﻥ يقع بين صفر وواحد، فإن المنحنى يتناقص.