شارح الدرس: التمثيلات البيانية للدوال اللوغاريتمية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نرسم دوالَّ لوغاريتمية ذات أساسات مختلفة، وتحويلاتها الهندسية، وندرس خواصها المختلفة.

نبدأ بتذكُّر تعريف الدالة اللوغاريتمية.

بما أن الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية لدالة أسية، وبما أن التمثيلات البيانية للدوال العكسية هي انعكاسات حول الخط المستقيم ، إذن يمكننا تمثيل بيانيًّا عن طريق عكس منحنى أسي.

دعونا نمثِّل بيانيًّا، وهو ما يمكننا كتابته أيضًا على الصورة . ولفعل ذلك، نبدأ بتمثيل بيانيًّا.

يمكننا ملاحظة أن الدالة الأسية مجالها هو ، ومداها هو . ويمثِّل الجزء السالب من المحور خطَّ تقاربٍ لمنحنى الدالة، ولا يقع أيُّ جزء من المنحنى أسفل المحور . هذا لأن العدد ١٠ مرفوعًا لقوة لا يمكن أن يكون سالبًا أو يساوي صفرًا. الجزء المقطوع من المحور في التمثيل البياني هو ١؛ حيث ، كما يمر المنحنى بالنقطة ؛ حيث . لاحظ أيضًا أن المنحنى يتزايد على مجال الدالة كله، وعندما تقترب من ما لا نهاية، فإن المُخرَجات تقترب أيضًا من ما لا نهاية؛ لأن الأساس؛ أي ١٠، أكبر من واحد.

يمكننا الآن رسم الخط المستقيم وعكس منحنى حوله، لنحصل على منحنى الدالة اللوغاريتمية (أو ببساطة ).

إن انعكاس الجزء المقطوع من المحور على التمثيل البياني للدالة الأسية، وهو ، حول الخط المستقيم ، يُعطينا الجزء المقطوع من المحور ، وهو ، على التمثيل البياني للدالة اللوغاريتمية. يمكننا أيضًا عكس النقطة لنجد أن النقطة تقع على منحنى الدالة اللوغاريتمية. وبالمثل، بما أن الدالة الأسية لها خط تقاربٍ أفقي، وهو الجزء السالب من المحور ، إذن الدالة اللوغاريتمية لها خط تقارب رأسي، وهو الجزء السالب من المحور دون وقوع أي جزء من المنحنى على يسار المحور .

مجال ومدى الدالة هما مدى ومجال الدالة العكسية، على الترتيب. ومن ثَمَّ، فإن الدالة اللوغاريتمية مجالها هو ، ومداها هو . هذا يعني أن مجال الدالة اللوغاريتمية هو مدى الدالة الأسية، ومدى الدالة اللوغاريتمية هو مجال الدالة الأسية. وأخيرًا، بما أن الدالة الأسية دالة تزايدية، إذن الدالة العكسية لها تزايدية أيضًا.

بما أن المنحنى الأسي تكون له خواص متشابهة إذا كان الأساس أي عدد أكبر من واحد، إذن المنحنى اللوغاريتمي تكون له أشكال متشابهة أيضًا. ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام ذلك لتحديد خواص الدوال اللوغاريتمية المختلفة للصورة ؛ حيث .

عندما رسمنا المنحنى الأسي، استخدمنا أساسًا أكبر من ١ لتكوين دالة تزايدية. ولكن يمكن أن يتراوح الأساس أيضًا بين ٠ و١، فتكون الدالة الأسية تناقصية.

نرسم منحنى من خلال عكس منحنى . ونبدأ برسم .

الدالة الأسية مجالها ، ومداها . يمثِّل الجزء الموجب من المحور خط تقاربٍ لمنحنى الدالة، دون وقوع أي جزء منه أسفل المحور ؛ لأن ٠٫٥ مرفوعًا لقوة لا يمكن أن يكون سالبًا أو يساوي صفرًا. كما يتضمَّن التمثيل البياني جزءًا مقطوعًا من المحور ، وهو ١؛ حيث ، ويمر المنحنى بالنقطة ؛ حيث . لاحظ أيضًا أن المنحنى يتناقص على مجال الدالة كله، وعندما تقترب من سالب ما لا نهاية، فإن المُخرَجات تقترب من ما لا نهاية؛ لأن الأساس يقع بين ٠ و١.

يمكننا بعد ذلك عكس هذا المنحنى حول الخط المستقيم ، لنرسم المنحنى .

بعكس الجزء المقطوع من المحور ، وهو ، والنقطة حول الخط المستقيم ، نحصل على الجزء المقطوع من المحور ، وهو ، والنقطة . وبالمثل، بما أن منحنى الدالة الأسية يقع أعلى الجزء الموجب من المحور باعتباره خط تقاربٍ أفقي، إذن منحنى الدالة اللوغاريتمية يقع على يمين الجزء الموجب من المحور باعتباره خطَّ تقاربٍ رأسيًّا.

مرةً أخرى، الدالة اللوغاريتمية مجالها ، ومداها . هذا يعني أن مجال الدالة اللوغاريتمية هو مدى الدالة الأسية العكسية لها، ومدى الدالة اللوغاريتمية هو مجال الدالة الأسية. وأخيرًا، بما أن دالة تناقصية، إذن الدالة العكسية لها؛ أي ، دالة تناقصية أيضًا.

نظرًا لأن المنحنى الأسي تكون له خواص متشابهة إذا كان الأساس أيَّ عدد يقع بين ٠ و١، فإن المنحنى اللوغاريتمي تكون له أشكال متشابهة أيضًا. ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام ذلك لتحديد خواص الدوال اللوغاريتمية المختلفة للصورة ؛ حيث ، .

هذا يُعطينا معلومات كافية لاستخدام العلاقة العكسية بين الدوال الأسية والدوال اللوغاريتمية ورسم منحنى لأيِّ قيمة موجبة لـ لا تساوي ١. نتناول بعض الأمثلة.

مثال ١: إيجاد قيم دالة لوغاريتمية

أوجد قيم المجهولة في الجدول.

		١	٢

الحل

يمكن ببساطة إدخال قيم على الآلة الحاسبة لحساب قيمة في كل حالة، لكننا سنستخدم بدلًا من ذلك العلاقة العكسية بين اللوغاريتمات والأسس للإجابة عن هذا السؤال.

بالنسبة إلى الدالة اللوغاريتمية ، تكون الدالة الأسية العكسية هي . إذا كانت النقطة تُحقِّق الدالة اللوغاريتمية، فإن النقطة تُحقِّق الدالة الأسية. وإذا افترضنا أن ، فيمكننا القول إن ؛ ومن ثَمَّ، يمكننا أيضًا القول إن . نحن نريد إيجاد قيم التي تُحقِّق هذه المعادلة الثانية لقيم المُعطاة.

بدايةً، التعويض بـ يُعطينا:

نحن نعلم أنه لا تُوجَد قوة يمكننا رفع أساس أي دالة أسية إليها لنحصل على صفر أو عدد سالب. هذا يعني أنه لا يمكننا إيجاد قيمة الدالة اللوغاريتمية عند . إذن غير مُعرَّفة.

بعد ذلك، التعويض بـ في القاعدة يُعطينا:

تذكَّر أن أساس أي دالة أسية مرفوعًا للقوة ٠ يساوي ١. بعبارة أخرى، بما أن ، إذن . إذن .

وأخيرًا، بالتعويض بـ في القاعدة ، نحصل على:

تذكَّر أن أساس أي دالة أسية مرفوعًا للقوة ١ يساوي نفسه. بعبارة أخرى، بما أن ، إذن . إذن .

بعد كتابة القيم المجهولة في الجدول، يصبح لدينا الآتي:

		١	٢
	غير مُعرَّفة	٠	١

ملاحظة

على الرغم من أن السؤال لم يطلب منا ذلك، فإنه يمكننا تمثيل الدالة اللوغاريتمية بيانيًّا عن طريق تمثيل الدالة الأسية بيانيًّا أولًا، ثم عكس هذا المنحنى حول الخط المستقيم . هذا لأن الدالتين كلٌّ منهما معكوس الأخرى. موضَّح فيما يلي منحنى كلٍّ من ، .

نلاحظ أن التمثيل البياني للدالة اللوغاريتمية يتفق مع الإجابات التي توصَّلنا إليها.

نتناول بعد ذلك مسألة علينا فيها تحديد منحنى دالة لوغاريتمية لها أساس معيَّن.

مثال ٢: تمثيل دالة لوغاريتمية لها أساس معيَّن بيانيًّا

ما التمثيل البياني الذي يمثِّل الدالة ؟

الحل

الدالة دالة لوغاريتمية على الصورة . نسترجع الخواص الآتية للتمثيلات البيانية لهذه الدوال لأيِّ قيمة حقيقية لـ أكبر من صفر؛ حيث :

• يمثِّل المحور خط تقاربٍ للمنحنى دون وقوع أي جزء من المنحنى على يسار المحور .
• الجزء المقطوع من المحور للمنحنى هو ١. هذا لأن ، أو على العكس .
• يمر المنحنى بالنقطة ؛ لأن . وفي هذا السؤال، ، وهذا يعني أن المنحنى يمر بالنقطة .
• إذا كان ، فإن المنحنى يتزايد على مجال الدالة كله. وفي هذا السؤال، ، إذن هذا صحيح.

يمكننا ملاحظة أن جميع التمثيلات البيانية المُعطاة تتضمَّن المحور باعتباره خط تقاربٍ دون وقوع أي جزء من المنحنى على يسار المحور ، كما نلاحظ أن جميعها يمثِّل دوالَّ تزايدية.

لكن هناك تمثيلًا بيانيًّا واحدًا الجزءُ المقطوع من المحور فيه هو ١ ويمر بالنقطة . إذن التمثيل البياني الذي يمثِّل الدالة هو التمثيل البياني الآتي:

نتناول الآن التمثيل البياني لدالة لوغاريتمية أخرى. وهذه المرة، جميع خيارات الإجابة موضَّحة على المستوى الإحداثي نفسه.

مثال ٣: التعرُّف على التمثيل البياني لدالة لوغاريتمية معيَّنة

أيُّ منحنًى يمثِّل ؟

الحل

المنحنى هو التمثيل البياني لدالة لوغاريتمية على الصورة . نتذكَّر الخواص الآتية للتمثيلات البيانية لهذه الدوال لأيِّ قيمة حقيقية لـ أكبر من صفر؛ حيث :

• يمثِّل المحور خط تقاربٍ للمنحنى دون وقوع أي جزء من المنحنى على يسار المحور .
• الجزء المقطوع من المحور للمنحنى هو ١. هذا لأن ، أو على العكس .
• يمر المنحنى بالنقطة ؛ لأن ، أو على العكس . وفي هذا السؤال، ، وهذا يعني أن المنحنى يمر بالنقطة .
• إذا كان ، فإن المنحنى يتزايد على مجال الدالة كله. وفي هذا السؤال، ، إذن هذا صحيح.

يمكننا ملاحظة أن جميع المنحنيات المُعطاة تتضمَّن المحور باعتباره خط تقاربٍ دون وقوع أي جزء من المنحنيات على يسار المحور ، كما نلاحظ أن الجزء المقطوع من المحور لكلٍّ من المنحنيات هو ١.

لكن يُوجَد منحنيان فقط يتزايدان على مجالهما، وأحدهما فقط يمر بالنقطة . إذن المنحنى الذي يمثِّل هو أ.

لن نتعامل دائمًا مع الدوال اللوغاريتمية على حدة؛ لكننا سنتعامل في بعض الأحيان مع الدوال المركبة. بتذكُّر ما نعرفه عن التحويلات الهندسية للدوال، يمكننا تحويل منحنى الدالة اللوغاريتمية عن طريق الانتقال والتمدُّد والانعكاس. كل تحويل من هذه التحويلات الهندسية له تأثير مختلف على المنحنى. نتناول بعض التمثيلات البيانية للتحويلات الهندسية لـ .

نبدأ بالنظر إلى منحنيَي عند وعند . تذكَّر أن هذين انتقالان أفقيان لـ .

عندما يكون ، يكون لدينا انتقال للمنحنى بمقدار وحدتين إلى اليسار. وهذا ينقل أيضًا خط التقارب الرأسي والجزء المقطوع من المحور بمقدار وحدتين إلى اليسار. تذكَّر أن أساس اللوغاريتم هو ١٠، إذن يمر منحنى بالنقطة ، وتنتقل هذه النقطة أيضًا بمقدار وحدتين إلى اليسار. لاحظ أن هذا الانتقال يوسِّع المجال أيضًا من إلى ، ويظل المدى كما هو دون تغيير.

عندما يكون ، يكون لدينا انتقال لمنحنى بمقدار وحدتين إلى اليمين. وهذا ينقل أيضًا خط التقارب الرأسي والجزء المقطوع من المحور والنقطة بمقدار وحدتين إلى اليمين. كما أن ذلك يضيِّق المجال من إلى ، ويظل المدى كما هو دون تغيير.

يمكن تعميم هذه الخواص على الانتقالات الأفقية للدوال اللوغاريتمية على الصورة ؛ حيث . هناك حالات مناظِرة للانتقالات الأفقية؛ حيث قيمة أساس اللوغاريتم؛ أي ، تُحقِّق . نتناول باختصار منحنيَي عند وعند .

عندما يكون ، يكون لدينا انتقال للمنحنى بمقدار وحدتين إلى اليسار. وهذا ينقل أيضًا خط التقارب الرأسي والجزء المقطوع من المحور بمقدار وحدتين إلى اليسار. يمر منحنى بالنقطة ، وتنتقل هذه النقطة أيضًا بمقدار وحدتين إلى اليسار. لاحظ أن هذا الانتقال يوسِّع المجال أيضًا من إلى ، ويظل المدى كما هو دون تغيير.

عندما يكون ، يكون لدينا انتقال للمنحنى وخط التقارب الرأسي والجزء المقطوع من المحور والنقطة بمقدار وحدتين إلى اليمين. وهو يضيِّق المجال من إلى ، ويظل المدى كما هو دون تغيير.

يمكن تعميم هذه الخواص على الانتقالات الأفقية للدوال اللوغاريتمية على الصورة ؛ حيث .

نتناول الآن بعض الانتقالات الرأسية لـ . نُلقي نظرة على منحنيَي عند وعند .

عندما يكون ، ينتقل منحنى بمقدار وحدتين لأعلى. ويظل خط التقارب الرأسي كما هو دون تغيير. كذلك يظل المجال دون تغيير، وأيضًا المدى .

عندما يكون ، ينتقل منحنى بمقدار وحدتين لأسفل. ويظل خط التقارب الرأسي كما هو دون تغيير. كذلك يظل المجال دون تغيير، وأيضًا المدى .

يمكن تعميم هذه الخواص على الانتقالات الرأسية للدوال اللوغاريتمية على الصورة ؛ حيث . تُوجَد أيضًا حالات مناظِرة للانتقالات الرأسية؛ حيث قيمة أساس اللوغاريتم؛ أي ، تُحقِّق .

نتناول منحنيَي عند وعند . تذكَّر أن هذين تمدُّدان رأسيان لـ ، على الرغم من أن البعض يُشير إلى الحالة الأولى على أنها انكماش؛ لأن معامل القياس الكسري يَنتج عنه انكماش المنحنى نحو المحور .

توضِّح المنحنيات هنا أنه عند يساوي ٢، يكون لدينا تمدُّد رأسي لمنحنى بمعامل قياس مقداره ٢، وعند يساوي ٠٫٥، يكون لدينا تمدُّد رأسي بمعامل قياس مقداره ٠٫٥.

يمكن تعميم هذه الخواص على التمدُّدات الرأسية للدوال اللوغاريتمية على الصورة ؛ حيث ، وتُوجَد حالات مناظِرة للتمدُّدات الرأسية؛ حيث قيمة أساس اللوغاريتم؛ أي ، تُحقِّق .

من المهم أيضًا ملاحظة أنه إذا كانت قيمة سالبة، فإن المنحنى ينعكس حول المحور . ويمكننا ملاحظة ذلك في منحنى ، ومنحنى كالآتي:

وأخيرًا، نتناول منحنيَي عند وعند . تذكَّر أن هذين تمدُّدان أفقيان لـ ، على الرغم من أن البعض يُشير إلى الحالة التي يَنتج فيها عن معامل القياس الكسري انكماش المنحنى نحو المحور على أنه انكماش.

توضِّح المنحنيات هنا أنه عند ، يكون لدينا تمدُّد أفقي لمنحنى الدالة اللوغاريتمية بمعامل قياس مقداره ٠٫٥. وعند ، يكون لدينا تمدُّد أفقي بمعامل قياس مقداره ٢.

يمكن تعميم هذه الخواص على التمدُّدات الأفقية للدوال اللوغاريتمية على الصورة ؛ حيث ، وتُوجَد حالات مناظِرة للتمدُّدات الأفقية؛ حيث قيمة أساس اللوغاريتم؛ أي ، تُحقِّق .

من المهم أيضًا ملاحظة أنه إذا كانت قيمة سالبة، فإن المنحنى ينعكس حول المحور . ويمكننا ملاحظة ذلك في منحنى ، ومنحنى كالآتي:

توضِّح المنحنيات هنا أنه عند ، يكون لدينا تمدُّد أفقي لمنحنى الدالة اللوغاريتمية بمعامل قياس مقداره ٠٫٥، ولكن ينعكس المنحنى أيضًا حول المحور . وعند ، يكون لدينا تمدُّد أفقي بمعامل قياس مقداره ٢، وينعكس المنحنى أيضًا حول المحور .

يمكن تعميم هذه الخواص على التمدُّدات الأفقية للدوال اللوغاريتمية على الصورة ؛ حيث ، وتُوجَد حالات مناظِرة للتمدُّدات الأفقية؛ حيث قيمة أساس اللوغاريتم؛ أي ، تُحقِّق .

تجدر الإشارة هنا إلى أنه في التحويلات الهندسية على الصورة للدالة اللوغاريتمية ، يمكننا إعادة ترتيب تعبيرات باستخدام قاعدة الضرب للوغاريتمات إذا كانت قيمة موجبة:

بما أن ثابت، إذن يمكننا الافتراض أن ، وإعادة كتابة الدالة المحوَّلة على الصورة:

ومن ثَمَّ، يمكننا القول إن:

نتذكَّر أن هذا يَصِف انتقالًا رأسيًّا للدالة بمقدار من الوحدات. وكما هو الحال في التمدُّد أو الانكماش الأفقي للدالة اللوغاريتمية، فإن الانتقال الرأسي يُبقي مجال الدالة ومداها وخط تقاربها الرأسي كما هي دون تغيير، ويتزايد المنحنى على مجال الدالة كله، لكن يتغيَّر الجزء المقطوع من المحور . ومن خواص الدالة اللوغاريتمية أن هذه التحويلات متكافئة.

هيا نستخدم هذه المعلومات عن الدوال اللوغاريتمية المحوَّلة وتمثيلاتها البيانية لحل بعض المسائل الأخرى.

في المسألة التالية، مُعطى لنا التمثيل البياني لدالة لوغاريتمية ومطلوب منا تحديد الدالة التي يعبِّر عنها التمثيل البياني. نلاحظ أنه يمكننا استخدام مفهوم التحويلات ليساعدنا في التوصُّل إلى الإجابة الصحيحة.

مثال ٤: تحديد الفروق بين تحويلات التمثيلات البيانية للدوال اللوغاريتمية

ما الدالة التي يُعبِّر عنها التمثيل البياني الموضَّح؟

الحل

أول ما نلاحظه في هذا التمثيل البياني أنه يُشبه التمثيل البياني لدالة لوغاريتمية. يُوجَد خط تقارب رأسي عند ، دون وقوع أي جزء من المنحنى على يسار خط التقارب، كما أن الدالة تزايدية. يبدو أن المجال هو ، والمدى هو . وبالنظر إلى خيارات الإجابة، مطلوب منا تحديد أيُّ التحويلات للدالة اللوغاريتمية يتوافق مع التمثيل البياني.

إذا كانت هذه الدالة على الصورة ؛ حيث ، ، فسيكون للمنحنى جزء مقطوع من المحور ، وهو ١، يمر بالنقطة . لكن الجزء المقطوع من المحور يقع عند ؛ ومن ثَمَّ، يبدو أن هذا تحويل لدالة لوغاريتمية بسيطة.

ونظرًا لأن خط التقارب الرأسي يظل كما هو عند ، يمكن أن يكون هذا أحد التحويلات الآتية:

• تمدُّد (أو انكماش) أفقي على الصورة ؛ حيث يقع الجزء المقطوع من المحور عند ، ويمر المنحنى بالنقطة .
• انتقال رأسي على الصورة .

لا يمكن أن يكون هذا انتقالًا أفقيًّا؛ لأن هذا سيُغيِّر موضع خط التقارب الرأسي. ولا يمكن أيضًا أن يكون تمدُّدًا (أو انكماشًا) رأسيًّا على الصورة ؛ فالجزء المقطوع من المحور هو ١. لكن من الممكن أن يكون التحويل تركيبًا من تمدُّد رأسي وتمدُّد أفقي أو انتقال رأسي أو كليهما معًا. بالنظر إلى الخيارات المُعطاة في السؤال، نجد أنه ليس علينا التفكير في أي تركيبات من التحويلات.

يتضمَّن التمثيل البياني المُعطى جزءًا مقطوعًا من المحور ، وهو ، ويمر المنحنى بالنقطة . فإذا كان هذا تمدُّدًا أفقيًّا على الصورة ، فبالنظر إلى الجزء المقطوع، يمكننا القول إن:

يعني هذا أن . علاوةً على ذلك، من الإحداثي عند ، يمكننا القول إن: لكننا نعلم أن ؛ لذا، يمكننا التعويض بهذه القيمة في المعادلة المذكورة سابقًا، ثم إعادة ترتيبها، لنجد أن .

وهذا يُعطينا الدالة اللوغاريتمية المحوَّلة .

يمكن أيضًا تمثيل هذه الدالة في صورة انتقال رأسي باستخدام قاعدة الضرب للوغاريتمات:

هناك طريقة بديلة لتمثيل الدالة اللوغاريتمية المحوَّلة، وهي .

بالنظر إلى الخيارات المُعطاة، نجد أن الإجابة هي أ؛ أي .

وأخيرًا، نتناول مثالًا علينا فيه تحديد قيم عدة تعبيرات لوغاريتمية من التمثيل البياني لدالة أسية. ويجب أن نضع في اعتبارنا أن كل دالة لوغاريتمية هي الدالة العكسية لدالة أسية.

مثال ٥: إيجاد قيم اللوغاريتمات باستخدام التمثيل البياني

استخدم التمثيل البياني لـ لسرد قيم لكل ، لأقرب منزلتين عشريتين. على سبيل المثال، نجد أن .

الحل

تذكَّر أن الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية لدالة أسية. فإذا كانت النقطة تُحقِّق الدالة الأسية، فإن النقطة تُحقِّق الدالة اللوغاريتمية. هذا يعني أنه بما أن لدينا التمثيل البياني للدالة الأسية ، إذن علينا النظر إلى المحور لتحديد القيمة التي نعوِّض بها عن في التعبير بدلًا من المحور . (تذكَّر أنه في التعبير ، نفترض أن الأساس هو ١٠، ويمكننا كتابته على الصورة .)

على سبيل المثال، نلاحظ أن تحديد موضع النقطة، التي إحداثيها هو ٢، على المنحنى، ثم إيجاد الإحداثي لهذه النقطة؛ يُعطينا القيمة ٠٫٣ تقريبًا للمقدار . هيا نكرِّر هذه العملية لإيجاد القيم التقريبية لكلٍّ من ، ، ، .

نُقرِّب أولًا قيمة عن طريق تحديد موضع النقطة، التي إحداثيها هو ٣، على المنحنى، ثم إيجاد الإحداثي لهذه النقطة.

بما أن الإحداثي هو ٠٫٤٨ تقريبًا، إذن يمكننا القول إن هذه هي قيمة ، لأقرب منزلتين عشريتين.

نُقرِّب بعد ذلك قيمة عن طريق تحديد موضع النقطة، التي إحداثيها هو ٤، على المنحنى، ثم إيجاد الإحداثي لهذه النقطة.

الإحداثي هو ٠٫٦٠ تقريبًا، نعلم إذن أن هذه هي قيمة لأقرب منزلتين عشريتين.

نُقرِّب الآن قيمة عن طريق تحديد موضع النقطة، التي إحداثيها هو ٥، على المنحنى، ثم إيجاد الإحداثي لهذه النقطة.

بما أن الإحداثي هو ٠٫٧٠ تقريبًا، إذن نعلم أن هذه هي قيمة لأقرب منزلتين عشريتين.

وأخيرًا، هيا نُقرِّب قيمة عن طريق تحديد موضع النقطة، التي إحداثيها هو ٦، على المنحنى، ثم إيجاد الإحداثي لهذه النقطة.

الإحداثي هو ٠٫٧٨ تقريبًا، نعلم إذن أن هذه هي قيمة لأقرب منزلتين عشريتين.

خلاصة القول، إن قيم لكل ، لأقرب منزلتين عشريتين، هي ٠٫٣٠ و٠٫٤٨ و٠٫٦٠ و٠٫٧٠ و٠٫٧٨.

هيا الآن نختتم هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها.