نسخة الفيديو النصية
يحل نواه معادلات آنية باستخدام قاعدة كرامر. كتب الآتي. Δﺱ محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، وعناصرها واحد، اثنان، ثلاثة، وأربعة، سالب ثلاثة، سالب اثنين، واثنان، واحد، سالب أربعة. Δﺹ محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، وعناصرها اثنان، واحد، ثلاثة، وسالب ثلاثة، أربعة، سالب اثنين، وسالب واحد، اثنان، سالب أربعة. Δﻉ محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، وعناصرها اثنان، اثنان، واحد، وسالب ثلاثة، سالب ثلاثة، أربعة، وسالب واحد، واحد، اثنان. ما التعبير الدال على Δ الذي كتبه نواه؟
حسنًا، في هذا السؤال، علمنا أن نواه يحل نظامًا من المعادلات باستخدام قاعدة كرامر. لكننا ليس لدينا نظام المعادلات. بدلًا من ذلك، لدينا التعبيرات التي يمكن من خلالها إيجاد قيم Δﺱ وΔﺹ وΔﻉ. وعلينا استخدام هذه التعبيرات لإيجاد التعبير الدال على Δ.
للإجابة عن هذا السؤال، علينا أولًا تذكر كيفية استخدام قاعدة كرامر لحل نظام من المعادلات. بما أن التعبيرات المعطاة محددات لمصفوفات من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، يمكننا استرجاع صيغة نظام مكون من ثلاث معادلات خطية. وهي ﺃ واحد ﺱ زائد ﺏ واحد ﺹ زائد ﺟ واحد ﻉ يساوي 𝑗، وﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ يساوي 𝑘، و𝑔ﺱ زائد ℎﺹ زائد 𝑖ﻉ يساوي 𝑙.
حسنًا، تنص قاعدة كرامر على أنه إذا كانت قيمة محدد مصفوفة المعاملات لا تساوي صفرًا -أي إن Δ يساوي محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة وعناصرها ﺃ واحد، ﺏ واحد، ﺟ واحد، ﺃ، ﺏ، ﺟ، 𝑔، ℎ، 𝑖، لا يساوي صفرًا- فثمة حل وحيد للنظام يعطى بواسطة ﺱ يساوي Δﺱ على Δ، وﺹ يساوي Δﺹ على Δ، وﻉ يساوي Δﻉ على Δ؛ حيث يمكن إيجاد Δﺱ وΔﺹ وΔﻉ بجعل الثوابت في المعادلات الآنية تحل محل عمود المتغير المحدد في التعبير الدال على Δ. على سبيل المثال، يمكننا إيجاد Δﺱ بجعل العناصر 𝑗 و𝑘 و𝑙 تحل محل العمود الأول في التعبير الدال على Δ؛ لنحصل بذلك على هذا التعبير لـ Δﺱ.
إننا نريد إيجاد تعبير لـ Δ. إذن علينا إيجاد قيم هذه الثوابت التسعة. يمكننا إيجاد قيم ستة من هذه الثوابت باستخدام التعبير الدال على Δﺱ لدينا. وبما أن العمودين الثاني والثالث في التعبيرين الدالين على Δﺱ وΔ متماثلان، يمكننا كتابة هذين العمودين في التعبير الدال على Δ. ويمكننا تطبيق المنطق نفسه على التعبيرين الآخرين لدينا. نلاحظ أن العمود الأول من Δﺹ وΔﻉ يخبرنا بقيم ﺃ واحد وﺃ و𝑔. يمكننا بعد ذلك كتابة هذا العمود في التعبير الدال على Δ وكتابة المحدد؛ ونجد بذلك أن Δ يساوي محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، وعناصرها اثنان، اثنان، ثلاثة، وسالب ثلاثة، سالب ثلاثة، سالب اثنين، وسالب واحد، واحد، سالب أربعة.
