فيديو السؤال: تحديد نوع دالة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

افترض أن ﺩ، وهي دالة من مجموعة الأعداد الصحيحة إلى مجموعة الأعداد النسبية، معطاة بواسطة ﺩﻥ تساوي ﻥ على واحد. ما الصحيح بشأن ﺩ؟ أ: ﺩ غير معرفة. ب: ﺩ أحادية. ج: ﺩ غامرة. د: ﺩ متناظرة أحاديًّا.

في هذا السؤال، لدينا الدالة ﺩ وعلينا تحديد أي العبارات الأربع المعطاة صحيح بشأن هذه الدالة. دعونا نبدأ باستعراض الدالة ﺩ المعطاة. نلاحظ أن ﺩ دالة من مجموعة الأعداد الصحيحة إلى مجموعة الأعداد النسبية. على وجه التحديد، المجال المقابل للدالة هو مجموعة الأعداد النسبية. يعني هذا أن جميع مخرجات الدالة لا بد أن تكون أعدادًا نسبية.

نلاحظ أيضًا أنه إذا كانت القيمة المدخلة هي العدد الصحيح ﻥ، فإن ﺩﻥ معرفة بأنها تساوي ﻥ على واحد. علينا التفكير في هذه القيمة المخرجة باعتبارها عنصرًا ينتمي لمجموعة الأعداد النسبية. وبالطبع، قسمة عدد صحيح على واحد لن تؤثر على قيمته. ومن ثم يمكننا القول إن ﺩﻥ تساوي ﻥ. في بعض الأحيان نبقي على عملية القسمة على واحد في التعريف لمساعدتنا في تذكر أن المجال المقابل هو مجموعة كل الأعداد النسبية. لكن هذا الأمر مجرد تفضيل شخصي.

دعونا نتحقق الآن من صحة الخيارات الأربعة المعطاة بدءًا من الخيار أ. نريد أن نتحقق إذا ما كانت الدالة ﺩ معرفة. وللتحقق إذا ما كانت أي دالة معرفة، فإننا نتحقق من أن ﺩ معرفة لكل قيمة مدخلة ممكنة. يعني هذا أننا نريد التحقق من أمرين. أولًا: علينا التحقق من أنه يمكننا اعتبار أي عنصر من عناصر المجال هو القيمة المدخلة للدالة. ثانيًا: علينا التحقق من أن القيمة المخرجة تكون دائمًا عنصرًا من عناصر المجال المقابل.

لقد أوضحنا بالفعل أن هذين الشرطين صحيحان. يمكن أن تساوي القيمة المدخلة أي عدد صحيح، وستساوي القيمة المخرجة العدد نفسه. نحن نعلم أن هذه القيمة المخرجة هي أيضًا عدد نسبي؛ لأن مجموعة الأعداد الصحيحة هي مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد النسبية. إذن، الدالة معرفة، والإجابة ليست الخيار أ.

دعونا الآن ننتقل إلى الخيار ب. علينا التحقق إذا ما كانت الدالة ﺩ أحادية. لفعل ذلك، نبدأ بتذكر أننا نقول إن الدالة أحادية إذا كان كل عنصر من عناصر مدى هذه الدالة يناظر عنصرًا واحدًا فقط من عناصر مجالها. يمكننا استخدام هذا التعريف إلى جانب تعريف الدالة ﺩ للتحقق إذا ما كانت الدالة أحادية. سنتحقق إذا ما كان من الممكن أن يناظر عنصر واحد في مدى الدالة عنصرين مختلفين في المجال.

دعونا نفترض أن لدينا عنصرين متساويين في مدى الدالة: ﺩﻥ وﺩﻡ. باستخدام تعريف ﺩ، نعلم أن ﺩﻥ تساوي ﻥ على واحد، وﺩﻡ تساوي ﻡ على واحد. وبما أن القسمة على واحد لا تغير قيمة كل من هذين العددين الصحيحين، نلاحظ أن ﻥ لا بد أن يساوي ﻡ. بذلك نكون قد أوضحنا أنه لكي يتساوى أي عنصرين في مدى ﺩ، لا بد أن يناظرا نفس العنصر في المجال. إذن، الدالة ﺩ أحادية.

لكي نتأكد تمامًا من صحة الإجابة، علينا أن نتحقق من الخيارين الآخرين.

ينص الخيار ج على أن الدالة ﺩ غامرة. لعلنا نتذكر أننا نقول إن الدالة تكون غامرة إذا كان كل عنصر في المجال المقابل للدالة مرتبط بأحد العناصر في مجال الدالة. هذا يكافئ القول إن مدى الدالة يساوي المجال المقابل للدالة. وللتحقق إذا ما كانت الدالة ﺩ غامرة، دعونا نتحقق إذا ما كانت بعض القيم في المجال المقابل لـ ﺩ ضمن مداها.

لنبدأ بالتحقق إذا ما كان العدد نصف ضمن مدى ﺩ. لكي يكون العدد نصف ضمن مدى ﺩ، لا بد أن يوجد عدد صحيح، ﻥ، مرتبط بالعدد نصف. ومن ثم ﺩﻥ يجب أن تساوي نصفًا. نلاحظ بعد ذلك أن ﺩﻥ تساوي ﻥ على واحد. ولكي تساوي هذه الدالة نصفًا، فإن ﻥ يجب أن يساوي نصفًا. لكن هذه القيمة ليست عددًا صحيحًا؛ لذا فإن قيمة ﻥ هذه ليست ضمن مجال ﺩ. إذن، العدد نصف ليس ضمن مدى ﺩ، لكنه ضمن المجال المقابل لـ ﺩ. يعني هذا أن الدالة ﺩ لا يمكن أن تكون غامرة.

بالنسبة إلى الخيار الأخير، نتذكر أننا نقول إن الدالة هي دالة تناظر أحادي إذا كانت أحادية وغامرة في آن واحد. لقد أوضحنا سابقًا أن ﺩ دالة أحادية. لكنها ليست دالة غامرة. هذا يعني أن ﺩ ليست دالة تناظر أحادي.

ومن ثم، فإن العبارة الصحيحة الوحيدة بشأن ﺩ هي تلك المذكورة في الخيار ب: الدالة ﺩ أحادية.