فيديو السؤال: إيجاد معادلة محور تماثل الدالة التربيعية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلة محور تماثل الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ يساوي سالب سبعة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص 14‪𝑥‬‏ زائد خمسة، حيث ‪𝑥‬‏ تنتمي إلى الفترة المغلقة سالب أربعة واثنين.

عندما تكون المعادلة مكتوبة في شكل ‪𝑎𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑏𝑥‬‏ زائد ‪𝑐‬‏، كما هو الحال بالنسبة إلى الدالة التي لدينا، تصبح معادلة محور التماثل ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ‪𝑏‬‏ على اثنين ‪𝑎‬‏. إذن بالنسبة إلى المعادلة هنا، فإننا نحتاج إلى أخذ سالب ‪𝑏‬‏ على اثنين ‪𝑎‬‏. وفي هذه المسألة، ‪𝑏‬‏ يساوي سالب 14. وحيث إنه يتعين علينا إيجاد سالب ‪𝑏‬‏، فلا بد من إيجاد سالب سالب 14 على اثنين ‪𝑎‬‏. علمًا بأن ‪𝑎‬‏ يساوي سالب سبعة.

لدينا إذن في المقام اثنان في سالب سبعة. ولدينا في البسط سالب واحد في سالب 14 يساوي موجب 14. وفي المقام، اثنان في سالب سبعة يساوي سالب 14. و14 على سالب 14 يساوي سالب واحد. لذا فمعادلة محور التماثل ستكون ‪𝑥‬‏ يساوي سالب واحد. والعدد سالب واحد يقع بالفعل بين سالب أربعة وموجب اثنين، وهو أحد معطيات المسألة. إذن هذه طريقة جيدة للتأكد من صحة الحل.

ثمة طريقة أخرى لفعل ذلك، وهي أن نكتب الدالة بصيغة رأس المنحنى. عند اختيار هذه الطريقة الأخرى، وهي كتابة الدالة بصيغة رأس المنحنى، ستكون الخطوة الأولى تجميع الحدين الأولين معًا، ثم إيجاد العامل المشترك الأكبر لهما. الآن نريد إخراج العامل المشترك الأكبر بحيث يكون العدد المكتوب قبل ‪𝑥‬‏ تربيع هو موجب واحد.

والآن تأتي الخطوة التالية وهي تربيع ما بداخل القوسين. كي نفعل ذلك، نحن بحاجة لأخذ ‪𝑏‬‏ على اثنين وتربيعه، ثم نجري خطوة أخرى. حسنًا، المتغير ‪𝑏‬‏ يساوي الآن اثنين. بداية، نحتاج إلى تبسيط ما بداخل القوسين، اثنان على اثنين يساوي واحدًا، وواحد تربيع يساوي واحدًا.

والآن، لكي نضيف عددًا إلى دالة أو معادلة، فعلينا أن نبقيها متوازنة. إذن إذا أضفنا هذا الواحد إلى ما بداخل القوسين، تحديدًا هنا، فسيتعين علينا أيضًا طرح هذا العدد في المعادلة. وبتعبير أدق، هذا العدد ليس واحدًا في واقع الأمر، بل هو سالب سبعة في واحد. وإذا أضفنا سالب سبعة، سيتعين علينا بطريقة ما طرح سالب سبعة من المعادلة.

لذا فإن طرح سالب سبعة يعني حقيقة أنه علينا إضافة موجب سبعة. وهكذا، فإن سالب سبعة في واحد يعني سالب سبعة، لذا يتعين علينا إضافة موجب سبعة. ويمكننا فعل ذلك في النهاية. وللتبسيط، يمكن تبسيط الجزء الموجود بداخل القوسين، ‪𝑥‬‏ تربيع زائد اثنين ‪𝑥‬‏ زائد واحد، إلى ‪𝑥‬‏ زائد واحد تربيع؛ لأن ‪𝑥‬‏ زائد واحد في ‪𝑥‬‏ زائد واحد يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع زائد اثنين ‪𝑥‬‏ زائد واحد.

ولدينا خارج القوسين خمسة زائد سبعة، وهو ما يساوي 12. إذن ها هي المعادلة بصيغة رأس المنحنى. وهذا مفيد لعدة أسباب. بالنظر إلى الدالة بصيغة رأس المنحنى، يخبرنا العدد المكتوب خارج القوسين كم خطوة علينا التحرك لأعلى أو أسفل. لذا فإن 12 يعني أن نقطة رأس المنحنى سوف تبدأ عند 12 خطوة لأعلى، ويتعين علينا الآن معرفة كم خطوة سنتحرك يسارًا أو يمينًا. وهذا هو العدد الموجود بداخل القوسين.

بالنسبة إلى العدد داخل القوسين، فإنه يكون عكس ما نرى. إذا كان هذا العدد هو موجب واحد، فهذا يعني أن علينا الانتقال بمقدار سالب واحد، إذن ننتقل خطوة واحدة جهة اليسار. لذا سيكون رأس منحنى هذه الدالة عند النقطة سالب واحد و 12. إذن، إيجاد نقطة رأس منحنى الدالة — وهو السبب في تسميتها «صيغة رأس المنحنى» — ليس مفيدًا فحسب، بل يمكننا أيضًا أن نعرف منه محور التماثل، إذ إن محور التماثل سيمر عبر رأس المنحنى.

إذن فمحور التماثل سيكون ‪𝑥‬‏ يساوي سالب واحد. وأخيرًا، كون السبعة بالسالب، وهو العدد المكتوب قبل القوسين - كونه بالسالب يعني أن القطع المكافئ سيكون مفتوحًا لأسفل، أي مقلوبًا. وكونه مضروبًا في سبعة يعني أنه سوف يصبح أضيق قليلًا. ينبغي ألا ننشغل كثيرًا بهذا الأمر الآن؛ يمكننا رسمه وحسب. سيكون شكل الدالة قريبًا من هذا. لذا، مرة أخرى، فإن محور التماثل لمنحنى الدالة هو ‪𝑥‬‏ يساوي سالب واحد.