فيديو: خصائص الدوال التربيعية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد خصائص الدوال التربيعية، مثل الرأس، والقيم القصوى، ومحور التماثل، والمجال، والمدى.

١٧:٥٧

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد خصائص الدوال التربيعية، مثل الرأس والأصفار ومحور التماثل والمجال والمدى. وسنرى كيف يمكننا تحديد هذه الخصائص بيانيًا ومن معادلة الدالة. لا بد أنك على دراية بالفعل بطريقة إكمال المربع أو كتابة دالة تربيعية على صورة مربع كامل، على الرغم من أننا سنراجع ذلك باختصار في سياق الأمثلة.

نتذكر أولًا أن الدالة التربيعية تكون على الصورة العامة: ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑎𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑏𝑥‬‏ زائد ‪𝑐‬‏، حيث ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ و‪𝑐‬‏ ثوابت، و‪𝑎‬‏ يجب ألا يساوي صفرًا. الصورة الأخرى التي يمكن تمثيل الدوال التربيعية بها هي صورة المربع الكامل أو صيغة رأس المنحنى. ‏‏‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑎‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑝‬‏ الكل تربيع زائد ‪𝑞‬‏، حيث ‪𝑎‬‏ و‪𝑝‬‏ و‪𝑞‬‏ ثوابت، ومرة أخرى ‪𝑎‬‏ يجب ألا يساوي صفرًا.

إذا حاولنا تمثيل منحنى الدالة التربيعية ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، فسنجد أن كل الدوال التربيعية تشترك في الشكل العام نفسه، المعروف بالقطع المكافئ. الفرق الأول الذي يمكننا تمييزه هو نوع القطع المكافئ، وهو يتحدد بإشارة معامل ‪𝑥‬‏ تربيع. أي قيمة ‪𝑎‬‏. إذا كانت قيمة ‪𝑎‬‏ موجبة، فسيكون القطع المكافئ مفتوحًا لأعلى كما هو موضح في الشكل على اليسار، أما إذا كانت قيمة ‪𝑎‬‏ سالبة، فسيكون القطع المكافئ مفتوحًا لأسفل كما هو موضح في الشكل على اليمين. هذا هو أول شيء أساسي نتحقق منه عند تحديد شكل التمثيل البياني للدالة التربيعية.

هيا نفكر في بعض الخصائص العامة الأخرى للدوال التربيعية التي علينا أن نكون على دراية بها. وسنفعل ذلك بالنظر إلى التمثيل البياني لدالة تربيعية بسيطة. ‏‏‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ تربيع زائد اثنين ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة. أول ما يمكننا تحديده في هذا التمثيل البياني هو الجزء المقطوع من المحور ‪𝑦‬‏. نتذكر أنه في أي نقطة على المحور ‪𝑦‬‏ ،‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا. لذا، بالتعويض بصفر في معادلة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، نجد أن قيمة ‪𝑦‬‏ عندما ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا هي سالب ثلاثة.

والآن، هذا هو الحد الثابت في هذه الدالة التربيعية، وسيكون كذلك دائمًا. إذن، بوجه عام، إذا كان لدينا دالة تربيعية ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑎𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑏𝑥‬‏ زائد ‪𝑐‬‏، فإن قيمة الجزء المقطوع من المحور ‪𝑦‬‏ هي ‪𝑐‬‏.

الخاصية الأساسية الثانية للدالة التربيعية هي جذورها أو أصفارها. وهي قيم ‪𝑥‬‏ التي يقطع التمثيل البياني عندها المحور ‪𝑥‬‏. نحن نعلم أنه في أي نقطة على المحور ‪𝑥‬‏، فإن ‪𝑦‬‏ أو قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي صفرًا. إذن، هذه هي حلول المعادلة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي صفرًا.

يمكننا إيجاد هذه القيم باستخدام الصورة التحليلية أو المحللة للدالة التربيعية. في هذه الحالة، يمكن تحليل الدالة التربيعية لدينا لتصبح: ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة مضروبًا في ‪𝑥‬‏ ناقص واحد. بعد ذلك نأخذ كل عامل من هذين العاملين على حدة، ونساويهما بصفر، ثم نحل المعادلتين الخطيتين الناتجتين؛ ما يعطينا ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثلاثة و‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا.

لدينا الآن من المعلومات ما يكفي لنتمكن من رسم هذه الدالة التربيعية بدقة إلى حد ما. معامل ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي واحدًا؛ أي إنه موجب، وهو ما يعني أن القطع المكافئ مفتوح لأعلى. والجزء المقطوع من المحور ‪𝑦‬‏ هو سالب ثلاثة، والجزآن المقطوعان من المحور ‪𝑥‬‏ هما سالب ثلاثة وواحد.

الخاصية الأساسية التالية التي علينا التفكير فيها هي الرأس أو نقطة التحول في الدالة التربيعية. والآن، ستكون نقطة التحول هذه نقطة قيمة صغرى عندما تكون قيمة ‪𝑎‬‏ موجبة، وستكون نقطة قيمة عظمى عندما تكون قيمة ‪𝑎‬‏ سالبة. وفي حالتنا هذه، فهي نقطة قيمة صغرى. فهي إحداثيات هذه النقطة هنا. لإيجاد إحداثيات هذه النقطة، نفكر في صيغة رأس منحنى هذه الدالة التربيعية، وهي في هذه الحالة ‪𝑥‬‏ زائد واحد الكل تربيع ناقص أربعة. سنراجع كيفية فعل ذلك في بعض الأمثلة.

والآن، علينا تذكر نتيجة عامة هنا، وهي أنه بالنسبة إلى الدالة التربيعية المكتوبة بالصيغة العامة لرأس المنحنى، ‪𝑎𝑥‬‏ زائد ‪𝑝‬‏ الكل تربيع زائد ‪𝑞‬‏، فإن رأسها سيكون عند النقطة سالب ‪‎𝑝‬‏، ‪𝑞‬‏. وهو ما يعني بالنسبة إلى الدالة التربيعية التي لدينا، فإن رأسها سيكون عند النقطة سالب واحد، سالب أربعة. وهذا منطقي عندما ننظر إلى موضع هذه النقطة بالنسبة إلى القيم التي حددناها على المحورين.

هذه إذن ثلاث خصائص أساسية للدوال التربيعية. لنتعرف الآن على المزيد منها.

القطع المكافئ هو منحنى أملس متماثل، وهو ما يعني أن كل تمثيل بياني لدالة تربيعية له محور أو خط تماثل. وهو مستقيم رأسي يمر برأس هذه الدالة. المستقيمات الرأسية تكون معادلاتها على الصورة ‪𝑥‬‏ يساوي ثابتًا. وقيمة ‪𝑥‬‏ التي يمر بها هذا المستقيم هي الإحداثي ‪𝑥‬‏ للرأس. إذن، معادلة محور التماثل لهذه الدالة التربيعية هي ‪𝑥‬‏ يساوي سالب واحد.

الخاصيتان المتبقيتان اللتان علينا التفكير فيهما هما مجال الدالة التربيعية ومداها. والآن، نتذكر أولًا أن مجال الدالة هو مجموعة كل القيم التي تعمل عندها الدالة، والتي يمكننا اعتبارها أيضًا القيم المدخلة للدالة. والدالة التربيعية هي نوع من دوال كثيرات الحدود، ويمكن لكل دوال كثيرات الحدود العمل عند كل قيم ‪𝑥‬‏. هذا يعني أنه لا توجد قيود على قيم ‪𝑥‬‏ التي يمكن أن تعمل عندها الدالة. لذلك نقول إن المجال هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية.

وأخيرًا، نتناول مدى الدالة، وهو مجموعة كل القيم التي تنتج عن التعويض في الدالة. أو في حالة التمثيل البياني، يمكننا اعتباره كل قيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أو قيم ‪𝑦‬‏. في هذا التمثيل البياني، يمكننا أن نلاحظ أن كل قيم ‪𝑦‬‏ الممكنة للدالة هي قيم ‪𝑦‬‏ من نقطة القيمة الصغرى فما فوق. أي كل قيم ‪𝑦‬‏ التي هي أكبر من أو تساوي سالب أربعة. ويمكننا التعبير عن المدى بـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أكبر من أو تساوي سالب أربعة. أو يمكننا كتابة ذلك باستخدام رمز الفترة هكذا: الفترة من سالب أربعة إلى ‪∞‬‏، وهي مغلقة عند الطرف الأدنى ومفتوحة عند الطرف الأعلى.

والآن بعد أن رأينا كيف نحدد الخصائص الأساسية للدوال التربيعية، دعونا نتناول بعض الأمثلة.

أوجد إحداثيات نقطة رأس المنحنى ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثمانية ‪𝑥‬‏ زائد سبعة. أوجد قيمة الدالة عند الرأس وحدد ما إذا كانت قيمة صغرى أم قيمة عظمى.

لإيجاد إحداثيات رأس منحنى هذه الدالة، علينا تحويل معادلتها إلى صيغة رأس المنحنى. ‏‏‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑎‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑝‬‏ الكل تربيع زائد ‪𝑞‬‏. والآن، بالنظر إلى معادلة هذا المنحنى، نرى أن قيمة ‪𝑎‬‏، أي معامل ‪𝑥‬‏ تربيع، تساوي واحدًا. إذن، نحن نريد هذه الدالة التربيعية على الصورة ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑝‬‏ الكل تربيع زائد ‪𝑞‬‏، وهو ما يمكننا فعله بإكمال المربع.

أولًا، نوجد قيمة ‪𝑝‬‏ داخل القوس. وهي تساوي دائمًا نصف معامل ‪𝑥‬‏ في المعادلة. نصف ثمانية يساوي أربعة، إذن يصبح لدينا ‪𝑥‬‏ زائد أربعة الكل تربيع. والآن، نريد أن يكون هذا الجزء الأول من الدالة التربيعية مساويًا لـ ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثمانية ‪𝑥‬‏. لكننا نعلم أنه إذا وزعنا ‪𝑥‬‏ زائد أربعة الكل تربيع، فسنحصل على ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثمانية ‪𝑥‬‏ زائد ‪16‬‏. وبذلك يكون العدد ‪16‬‏ زائدًا هنا وعلينا طرحه للتأكد من أن هذين الطرفين متساويان.

إذن، ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثمانية ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ زائد أربعة الكل تربيع ناقص ‪16‬‏. ولدينا أيضًا موجب سبعة الذي يظل كما هو. إذن، القيمة ‪16‬‏ التي نطرحها هي أربعة تربيع. إنها مربع قيمة ‪𝑝‬‏. بعد ذلك علينا فقط التبسيط. سالب ‪16‬‏ زائد سبعة يساوي سالب تسعة. إذن، لدينا الآن الدالة التربيعية بصيغة رأس المنحنى.

بعد ذلك، نتذكر أنه بالنسبة إلى الدالة التربيعية بصيغة رأس المنحنى، سيكون لرأسها الإحداثيان سالب ‪𝑝‬‏، ‪𝑞‬‏. في هذه الدالة التربيعية، قيمة ‪𝑝‬‏ هي أربعة وقيمة ‪𝑞‬‏ هي سالب تسعة. إذن، إحداثيات رأس المنحنى ستكون سالب ‪𝑝‬‏، أي سالب أربعة، ‪𝑞‬‏، أي سالب تسعة. وبذلك نكون أوجدنا إحداثيات رأس هذا المنحنى.

يطلب منا السؤال أيضًا أن نوجد قيمة الدالة عند الرأس. وقيمة الدالة هي الإحداثي ‪𝑦‬‏، إذن فهي سالب تسعة.

وأخيرًا، مطلوب منا تحديد ما إذا كانت هذه القيمة قيمة صغرى أم قيمة عظمى. حسنًا، يتحدد ذلك بمعامل ‪𝑥‬‏ تربيع، أي قيمة ‪𝑎‬‏، التي تساوي واحدًا في هذه المعادلة. وبما أن قيمة ‪𝑎‬‏ موجبة، فإن القطع المكافئ مفتوح لأعلى، وهو ما يعني أن نقطة الرأس ستكون نقطة قيمة صغرى.

وبذلك نكون قد حللنا المسألة. إحداثيات الرأس هي سالب أربعة، سالب تسعة. وقيمة الدالة نفسها تساوي سالب تسعة. وهذه القيمة قيمة صغرى.

في المثال التالي، سنرى كيف نحدد مجال ومدى دالة تربيعية معطاة بصيغة رأس المنحنى.

أوجد مجال ومدى الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي أربعة مضروبًا في ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة الكل تربيع ناقص ثلاثة.

ولًا، نتذكر أن المجال هو مجموعة كل القيم التي تعمل عندها الدالة، والذي يمكننا اعتباره أيضًا مجموعة القيم المدخلة للدالة. وبما أن الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ كثيرة حدود، وبالتحديد دالة تربيعية، فليس هناك أي قيود على القيم التي يمكن أن تعمل عندها هذه الدالة. لذلك نقول إن مجال هذه الدالة هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية.

ومدى الدالة هو مجموعة كل القيم التي تنتج عن التعويض في الدالة، والتي يمكننا اعتبارها مجموعة كل القيم المخرجة. ولتحديد مدى دالة تربيعية، يمكننا النظر إلى نقطة التحول فيها. هذه الدالة التربيعية معطاة لنا على صورة المربع الكامل أو بصيغة رأس المنحنى. ‏‏‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑎‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑝‬‏ الكل تربيع زائد ‪𝑞‬‏. ونعلم أنه عندما تكون الدالة التربيعية معطاة بهذه الصورة، يكون لرأسها الإحداثيان سالب ‪‎𝑝‬‏، ‪𝑞‬‏. قيمة ‪𝑝‬‏ في هذه الدالة التربيعية هي سالب أربعة، وقيمة ‪𝑞‬‏ هي سالب ثلاثة. وعليه، فإن الرأس سيكون عند النقطة سالب سالب أربعة، أي أربعة، سالب ثلاثة.

وبما أن قيمة ‪𝑎‬‏، أي معامل ‪𝑥‬‏ تربيع في الدالة التربيعية، تساوي أربعة، وهي قيمة موجبة، فإننا نعلم أن منحنى هذه الدالة سيكون قطعًا مكافئًا مفتوحًا لأعلى. إذن، هذا الرأس أربعة، سالب ثلاثة سيكون نقطة قيمة صغرى. بالتالي، ستكون القيم المحتملة لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ هي كل القيم بداية من هذه القيمة الصغرى للدالة، وهي سالب ثلاثة فما فوق.

يمكننا التعبير عن ذلك إما بأن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أكبر من أو تساوي سالب ثلاثة، أو باستخدام رمز الفترة، هكذا: الفترة من سالب ثلاثة إلى ‪∞‬‏، وهي مغلقة عند الطرف الأدنى ومفتوحة عند الطرف الأعلى. إذن، يمكننا حل هذه المسألة بقولنا إن مجال هذه الدالة هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية، والمدى هو الفترة من سالب ثلاثة إلى ‪∞‬‏، وهي مغلقة عند الطرف الأدنى ومفتوحة عند الطرف الأعلى.

في هذا المثال، سنرى كيف يمكننا استخدام الخصائص الأساسية للدالة التربيعية للتعرف على تمثيلها البياني.

إذا كانت الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص أربعة ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة، فأجب عن الأسئلة الموضحة. أولًا، أوجد بالتحليل أصفار الدالة. ثانيًا، حدد منحنى الدالة ‪𝑓‬‏.

يوجد أيضًا جزآن آخران لهذا السؤال. أولًا، مطلوب منا إيجاد أصفار هذه الدالة. والطريقة المطلوب منا استخدامها هي التحليل. علينا إذن كتابة الدالة التربيعية على صورة حاصل ضرب عاملين خطيين. وبما أن معامل ‪𝑥‬‏ تربيع هو واحد، فإننا نعرف أن الحد الأول في كل قوس سيكون ‪𝑥‬‏. بعد ذلك، نبحث عن عددين مجموعهما هو معامل ‪𝑥‬‏، أي سالب أربعة، وحاصل ضربهما هو الحد الثابت، أي موجب ثلاثة.

حسنًا، العددان اللذان ينطبق عليهما هذان الشرطان هما سالب واحد وسالب ثلاثة. سالب واحد زائد سالب ثلاثة يساوي سالب أربعة، وسالب واحد مضروبًا في سالب ثلاثة يساوي موجب ثلاثة. إذن، عاملا الدالة التربيعية بعد التحليل هما ‪𝑥‬‏ ناقص واحد مضروبًا في ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة، ويمكننا بالطبع التحقق من ذلك بإعادة توزيع القوسين إن أردنا.

علينا استخدام هذه الصورة التحليلية لإيجاد أصفار الدالة، التي نتذكر أنها قيم ‪𝑥‬‏ حيث ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي صفرًا. إذا جعلنا هذه الصورة التحليلية تساوي صفرًا، فسنتذكر أنه لكي يكون حاصل ضرب عاملين هو صفر، لا بد أن يكون أحدهما على الأقل صفرًا. إذن، يمكننا أن نأخذ كل عامل على حدة ونساويه بالصفر، وبذلك نحصل على معادلتين خطيتين بسيطتين. يمكن حل المعادلة الأولى بإضافة واحد إلى كلا الطرفين لنحصل على ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا، ويمكن حل المعادلة الثانية بإضافة ثلاثة إلى كلا الطرفين لنحصل على ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة. وعليه، فجذور أو أصفار هذه الدالة هما القيمتان واحد وثلاثة.

في الجزء الثاني من السؤال، مطلوب منا تحديد منحنى الدالة ‪𝑓‬‏. ويمكننا ملاحظة أن لدينا ثلاثة احتمالات: منحنى أزرق، ومنحنى أحمر، ومنحنى أخضر. لقد عرفنا توًا أن أصفار المنحنى تقع عند واحد وثلاثة. وتذكر أن هذه الأصفار هي قيم ‪𝑥‬‏ التي يتقاطع عندها المنحنى مع المحور ‪𝑥‬‏. إذن، إذا كان المنحنى يقطع المحور ‪𝑥‬‏ عند واحد وثلاثة، فسوف نلاحظ من الشكل أنه بذلك يتبقى لدينا المنحنيان الأحمر والأخضر فقط. فالمنحنى الأزرق يقطع المحور ‪𝑥‬‏ أي إن أصفاره تساوي سالب واحد وسالب ثلاثة.

والآن، علينا الاختيار فقط بين المنحنيين الأحمر والأخضر اللذين نلاحظ أن أحدهما صورة معكوسة للآخر. فأحدهما عبارة عن قطع مكافئ مفتوح لأعلى، والآخر عبارة عن قطع مكافئ مفتوح لأسفل. نتذكر أن نوع القطع المكافئ لدينا ستحدده قيمة ‪𝑎‬‏. وهي معامل ‪𝑥‬‏ تربيع. في هذه الدالة، معامل ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي واحدًا. إنه قيمة موجبة، وهو ما يعني أن القطع المكافئ سيكون مفتوحًا لأعلى. هذا يعني أن منحنى الدالة ‪𝑓‬‏ يجب أن يكون المنحنى الأحمر. فهو يحتوي على القيم الصحيحة للأصفار وله الشكل الصحيح. نلاحظ أيضًا أن الجزء الذي يقطعه هذا المنحنى من المحور ‪𝑦‬‏ هو ثلاثة، وهو بالفعل الحد الثابت في هذه الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏.

أما الجزآن المتبقيان من السؤال، اللذان لم أكتبهما في البداية؛ لأنهما بدون قصد يكشفان عن مفتاح إجابة الجزء السابق، هما ما يلي. اكتب معادلة الدالة ‪𝑔‬‏ التي تصف المنحنى الأزرق. واكتب معادلة الدالة ‪ℎ‬‏ التي تصف المنحنى الأخضر.

لننظر إلى هذا المنحنى الأزرق أولًا. لقد قلنا من قبل إن أصفاره هي سالب واحد وسالب ثلاثة. هذا يعني أن الدالة في صورتها التحليلية، يكون لها العاملان ‪𝑥‬‏ زائد واحد و‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة. لكن يمكن أن يكون هناك أيضًا عامل ‪𝑎‬‏ مضروب هنا. ولتحديد ما إذا كانت قيمة ‪𝑎‬‏ تساوي واحدًا أم غير ذلك، ننظر إلى الجزء الذي يقطعه هذا المنحنى من المحور ‪𝑦‬‏، والذي يمكننا أن نرى أنه هو نفسه الجزء الذي يقطعه المنحنى الأحمر من المحور ‪𝑦‬‏. إنه ثلاثة. عند ضرب هذين العاملين معًا، فإن الحد الثابت سيكون واحدًا مضروبًا في ثلاثة، وهو ما يساوي ثلاثة بالفعل. وهذا يعني أن قيمة ‪𝑎‬‏ هي ببساطة واحد. إذن، الدالة ‪𝑔‬‏ في صورتها التحليلية تساوي ‪𝑥‬‏ زائد واحد مضروبًا في ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة. إذا وزعنا القوسين، فسنحصل على ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ تربيع زائد أربعة ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة.

أما المنحنى الأخضر فله الأصفار نفسها التي للدالة ‪𝑓‬‏. إذن، يمكن كتابته على الصورة ‪𝑎‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ ناقص واحد مضروبًا في ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة. ومرة أخرى، علينا تحديد ما إذا كانت قيمة ‪𝑎‬‏ تساوي واحدًا أم غير ذلك. حسنًا، الجزء الذي يقطعه المنحنى الأخضر من المحور ‪𝑦‬‏ هو سالب ثلاثة. إذا ضربنا سالب واحد وسالب ثلاثة معًا، فسنحصل على القيمة موجب ثلاثة. ومن ثم، للتأكد من أن الجزء المقطوع من المحور ‪𝑦‬‏، أي الحد الثابت في الصورة التحليلية للدالة ‪ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، هو سالب ثلاثة، يجب أن تكون قيمة ‪𝑎‬‏ سالب واحد.

وبالتالي، تكون معادلة الدالة ‪ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ هي سالب واحد في ‪𝑥‬‏ ناقص واحد مضروبًا في ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة. في الواقع إنها سالب الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ ككل، وهو ما يمكننا رؤيته أيضًا؛ لأن إحداهما انعكاس للأخرى حول المحور ‪𝑥‬‏. وعليه، يمكننا كتابة معادلة الدالة ‪ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ على صورة سالب الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ ككل. إذن، الدالة ‪ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي سالب ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص أربعة ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة.

دعونا الآن نلخص بعض النقاط الأساسية في هذا الفيديو. يمكن التعبير عن الدوال التربيعية بالصورة التحليلية، وهي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑎𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑏𝑥‬‏ زائد ‪𝑐‬‏. أو بصورة المربع الكامل أو بصيغة رأس المنحنى، وهي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑎‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑝‬‏ الكل تربيع زائد ‪𝑞‬‏، حيث ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ و‪𝑐‬‏ و‪𝑝‬‏ و‪𝑞‬‏ كلها ثوابت و‪𝑎‬‏ يجب ألا يساوي صفرًا. التمثيل البياني للدالة التربيعية عبارة عن قطع مكافئ. وإذا كانت قيمة ‪𝑎‬‏ موجبة، فإن القطع المكافئ سيكون مفتوحًا لأعلى؛ أما إذا كانت قيمة ‪𝑎‬‏ سالبة، فسيكون القطع المكافئ مفتوحًا لأسفل.

يمكن إيجاد الرأس أو نقطة التحول للدالة التربيعية من صورة المربع الكامل أو صيغة رأس المنحنى. وفي الحالة العامة، تكون إحداثيات الرأس هي سالب ‪𝑝‬‏، ‪𝑞‬‏. ويكون للقطع المكافئ أيضًا محور تماثل، وهو مستقيم رأسي يمر بهذه النقطة، ومعادلته هي ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ‪𝑝‬‏.

مجال أي دالة تربيعية هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية، ما لم يحدد غير ذلك. ويمكن إيجاد المدى إما من التمثيل البياني أو من صورة المربع الكامل. عندما تكون قيمة ‪𝑎‬‏ موجبة، يكون المدى ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أكبر من أو تساوي ‪𝑞‬‏. وعندما تكون قيمة ‪𝑎‬‏ سالبة، يكون المدى ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أصغر من أو تساوي ‪𝑞‬‏.

في هذا الفيديو، عرفنا إذن كيف يمكننا استخدام التمثيل البياني أو معادلة الدالة التربيعية لتحديد هذه الخصائص الأساسية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.