فيديو السؤال: إيجاد مرتبة مصفوفة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

استخدم المحددات لإيجاد مرتبة مصفوفة المعاملات لنظام المعادلات الآتي: سبعة ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي سالب اثنين، واثنان ﺱ زائد خمسة ﺹ يساوي سالب تسعة.

نبدأ بكتابة نظام المعادلات المعطى على صورة معادلة مصفوفية. إذا كانت لدينا معادلتان في مجهولين كما هو الأمر في هذه الحالة، فإننا نبدأ بمصفوفة معاملات من الرتبة اثنان في اثنين: ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ. ثم نضرب هذه المصفوفة في مصفوفة المتغيرات من الرتبة اثنان في واحد؛ ﺱ، ﺹ، حيث ﺱ وﺹ مجهولان في المعادلتين. حاصل ضرب هاتين المصفوفتين يساوي مصفوفة الثوابت من الرتبة اثنان في واحد ﻫ، ﻭ، حيث ﻫ وﻭ هما قيمتا الثابتين في المعادلتين.

في هذا السؤال، لدينا مصفوفة المعاملات: سبعة، اثنان، اثنان، خمسة. وبضرب هذه المصفوفة في مصفوفة المتغيرات ﺱ، ﺹ، نحصل على مصفوفة الثوابت سالب اثنين، سالب تسعة. من هذه النقطة، مطلوب منا إيجاد مرتبة مصفوفة المعاملات باستخدام المحددات. نتذكر هنا أن مرتبة المصفوفة ﺃ، وتكتب ﺭ ﺃ، هي عدد الصفوف أو الأعمدة ﻥ لأكبر مصفوفة جزئية مربعة من الرتبة ﻥ في ﻥ، والتي لا تساوي قيمة محددها صفرًا. والخطوات التي سنقوم بها لإيجاد مرتبة المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين، ﺃ، موضحة في مخطط التتابع.

في هذا السؤال، سنبدأ بجعل ﺃ هي مصفوفة المعاملات سبعة، اثنان، اثنان، خمسة. بمجرد النظر، نلاحظ أنه بما أن المصفوفة لدينا ليست مصفوفة صفرية، فإن مرتبتها لا تساوي صفرًا. الخطوة التالية هي حساب قيمة محدد المصفوفة ﺃ. ونحسب قيمة محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين بإيجاد حاصل ضرب القيمتين العليا اليمنى والسفلى اليسرى، ثم نطرح من الناتج حاصل ضرب القيمتين العليا اليسرى والسفلى اليمنى. ومن ثم، فإن قيمة محدد المصفوفة ﺃ تساوي سبعة مضروبًا في خمسة ناقص اثنين مضروبًا في اثنين. يبسط هذا إلى ٣٥ ناقص أربعة، وهو ما يساوي ٣١. وبما أن قيمة المحدد لا تساوي صفرًا، فإن مرتبة المصفوفة لا تساوي واحدًا. ولذا، يمكننا استنتاج أن مرتبة مصفوفة المعاملات لنظام المعادلات المعطى هي اثنان.