نسخة الفيديو النصية
أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد للجذر السادس لـ ﺱ زائد الجذر ٢٢ لـ ﺱ ناقص اثنين الكل مقسوم على ﺱ ناقص واحد.
مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد قيمة نهاية دالة. لدينا في البسط دالة تساوي مجموع دالتي قوى ناقص ثابت، ولدينا في المقام دالة خطية. وهذا هو نهاية خارج قسمة دالتين. لذا يمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر. لكن، إذا فعلنا ذلك بالتعويض بـ ﺱ يساوي واحدًا في الدالة، فسنحصل على الجذر السادس لواحد زائد الجذر ٢٢ لواحد ناقص اثنين الكل مقسوم على واحد ناقص واحد، وهو ما يبسط إلى صفر على صفر، وهذه صيغة غير معينة. ومن ثم لا يمكننا استخدام التعويض المباشر لإيجاد قيمة هذه النهاية.
لإيجاد قيمة هذه النهاية، علينا ملاحظة أنها على صورة نهاية الفرق بين قوتين إلى حد كبير. بمعنى أنها على صورة النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺱ أس ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ مقسومًا على ﺱ أس ﻡ ناقص ﺃ أس ﻡ. إن كتابة النهاية لدينا على هذه الصورة ستساعدنا في تذكر كيفية إيجاد قيمة هذه النهاية. لأي ثوابت حقيقية ﺃ وﻥ وﻡ، حيث ﻡ لا يساوي صفرًا، تكون قيمة هذه النهاية تساوي ﻥ مقسومًا على ﻡ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ. وهذا بشرط أن يكون كل من ﺃ أس ﻥ، وﺃ أس ﻡ، وﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ، موجودًا.
لاستخدام ناتج النهاية هذا، نلاحظ أولًا أن قيمة ﺃ ستساوي واحدًا. لكن في البسط، نطرح اثنين، في حين أنه من المفترض أن نطرح أسًّا واحدًا. وفي البسط، لدينا أيضًا قوتان مختلفتان لـ ﺱ، في حين أن لدينا في ناتج النهاية قوة واحدة لـ ﺱ فقط. وهذا يجعلنا نفكر في تقسيم هذه النهاية إلى مجموع نهايتي دالتين. وبدلًا من طرح اثنين في البسط، سنطرح واحدًا من كل حد من حدي البسط. وسنقسم المقام إلى زوجين من هذا الحد. وهذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد للجذر السادس لـ ﺱ ناقص واحد الكل على ﺱ ناقص واحد زائد الجذر ٢٢ لـ ﺱ ناقص واحد الكل مقسوم على ﺱ ناقص واحد. وبناء على ذلك، أصبح الآن كل من هذين الحدين على صورة نهاية الفرق بين قوتين إلى حد كبير.
في المقامين، لدينا ﺱ أس واحد ناقص واحد أس واحد. ومن ثم، فهما مكتوبان على الصورة ﺱ أس ﻡ ناقص ﺃ أس ﻡ. بعد ذلك، باستخدام قوانين الأسس، نعلم أن الجذر السادس لـ ﺱ يساوي ﺱ أس واحد على ستة. والجذر ٢٢ لـ ﺱ يساوي ﺱ أس واحد على ٢٢. وكلاهما على الصورة ﺱ أس ﻥ. لذا، سنعيد كتابة هذين الحدين على هذه الصورة. والآن، كل ما علينا فعله هو إعادة كتابة سالب واحد على الصورة سالب ﺃ أس ﻥ. ويمكننا فعل ذلك من خلال ملاحظة أن واحدًا مرفوعًا لأي قوة يساوي واحدًا. وبناء عليه، يمكننا إعادة كتابة واحد على صورة واحد أس واحد على ستة، وواحد على صورة واحد أس واحد على ٢٢.
والآن، أصبح كلا هذين الحدين على صورة ناتج النهاية لدينا. ومن ثم، فنحن مستعدون تقريبًا لتطبيق ناتج النهاية مباشرة. كل ما علينا فعله هو تذكر أن نهاية مجموع دالتين تساوي مجموع نهايتيهما. وهذا بالطبع بشرط أن تكون نهاية كل من هاتين الدالتين موجودة. وهكذا يصبح لدينا النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد لـ ﺱ أس واحد على ستة ناقص واحد أس واحد على ستة الكل على ﺱ ناقص واحد زائد النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد لـ ﺱ أس واحد على ٢٢ ناقص واحد أس واحد على ٢٢ الكل مقسوم على ﺱ ناقص واحد. ويمكننا أن نثبت أن هاتين النهايتين موجودتان ونوجد قيمتيهما باستخدام ناتج النهاية.
في النهاية الأولى، قيمة ﻥ تساوي واحدًا على ستة، وقيمة ﻡ تساوي واحدًا، وقيمة ﺃ تساوي واحدًا أيضًا. ومن ثم، يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض بهذه القيم في الصيغة لدينا. فنحصل على واحد على ستة الكل على واحد مضروبًا في واحد أس سدس ناقص واحد. يمكننا تكرار الأمر نفسه مع ناتج النهاية الثاني. هذه المرة، قيمة ﻥ تساوي واحدًا مقسومًا على ٢٢، وكل من قيمة ﺃ وﻡ تساوي واحدًا. يمكننا التعويض بهذه القيم في الصيغة لإيجاد قيمة هذه النهاية. ونحصل على واحد على ٢٢ الكل على واحد مضروبًا في واحد أس واحد على ٢٢ ناقص واحد. وعليه، بما أن هاتين النهايتين موجودتان، فإن مجموعهما سيكون النهاية التي نريد إيجادها.
والآن يمكننا إيجاد قيمة هذا المقدار. أولًا، تذكر أن واحدًا مرفوعًا لأي قوة يساوي واحدًا. والقسمة على واحد لن تغير هذه القيمة. إذن، يبسط الحد الأول إلى سدس، ويبسط الحد الثاني إلى واحد مقسومًا على ٢٢. وإذا حسبنا قيمة هذا المقدار، فسنحصل على سبعة مقسومًا على ٣٣، وهذه الإجابة النهائية. وبذلك، نكون قد تمكننا من إيجاد أن النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد للجذر السادس لـ ﺱ زائد الجذر ٢٢ لـ ﺱ ناقص اثنين الكل مقسوم على ﺱ ناقص واحد تساوي سبعة مقسومًا على ٣٣.
