فيديو السؤال: إيجاد مساحة القطعة الدائرية الصغرى الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏ وتر طوله ٥٥ سنتيمترًا ويقابل زاوية مركزية قياسها ٩٥ درجة. أوجد مساحة القطعة الدائرية الصغرى لأقرب رقم عشري.

فلنبدأ برسم هذا الشكل. لدينا الوتر ﺃﺏ وطوله ٥٥ سنتيمترًا. والزاوية في منتصف الدائرة قياسها ٩٥ درجة. وضعنا علامة عند مركز الدائرة وأطلقنا عليها النقطة ﻭ. يقسم الوتر الدائرة إلى جزأين، جزء كبير وآخر صغير. والقطعة الصغرى المظللة باللون البرتقالي هي القطعة المطلوب حساب مساحتها.

يمكننا حساب مساحة القطعة الصغرى باعتبارها الفرق بين مساحتين أخريين، وهما مساحة القطعة ﺃﻭﺏ ناقص مساحة المثلث ﺃﻭﺏ. ويمكننا إيجاد مساحة القطعة ﺃﻭﺏ عن طريق إيجاد مساحة الدائرة الكاملة، أي ‏𝜋‏نق تربيع، ثم الضرب في النسبة التي تمثلها هذه القطعة من الدائرة. هذه النسبة تساوي ٩٥ على ٣٦٠، حيث إن هناك ٣٦٠ درجة في الدائرة الكاملة، ويمثل هذا القطاع ٩٥ درجة منها.

ولحساب مساحة المثلث ﺃﻭﺏ، نحتاج إلى استرجاع الصيغة نصف ﺃ شرطة ﺏ شرطة جا ﺟ. ومن هذا نستنتج كيفية حساب مساحة المثلث، في حال كنا نعرف طولي ضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما. الزاوية التي نعرفها في هذا المثلث قياسها ٩٥ درجة. وكل من الضلعين اللذين يحصران هذه الزاوية يمثل نصف قطر الدائرة. إذن مساحة المثلث ﺃﻭﺏ هي نصف نق تربيع جا٩٥ درجة.

ومن ثم يصبح لدينا العملية الحسابية التي نحتاجها لإيجاد مساحة القطعة الصغرى. لكن المشكلة هي أن جزأي هذه العملية الحسابية يتضمنان نصف قطر الدائرة، نق، الذي لا نعرف قيمته إلى الآن. لكننا نعرف طول الوتر ﺃﺏ. لذا علينا أن نفكر في كيفية حساب نصف القطر استنادًا إلى المعطيات التي لدينا. فلنجرب تقسيم المثلث ﺃﻭﺏ. نحن نعلم أن الخط المرسوم من مركز دائرة عموديًّا على وتر فيها سيكون منصفًا لهذا الوتر. لذلك سيقطع الوتر إلى نصفين — سينصف — وكذلك الزاوية المركزية. وسنشكل بذلك مثلثين متطابقين قائمي الزاوية.

لننظر إلى أحد هذه المثلثات عن قرب. وبما أن الوتر قد نصف، فطول الخط من النقطة ﺏ إلى حيث يتقاطع الوتر مع الخط العمودي المنصف هو نصف الـ ٥٥. إذن فهو يساوي ٢٧٫٥ سنتيمترًا. والزاوية التي رأسها مركز الدائرة قياسها نصف الـ ٩٥ درجة. إذن هي تساوي ٤٧٫٥ درجة. وبما أن هذا المثلث قائم الزاوية، يمكننا تطبيق حساب المثلثات ضمن هذا المثلث من أجل حساب طول نصف قطر الدائرة. لنبدأ بتسمية الأضلاع الثلاثة للمثلث القائم الزاوية نسبة إلى الزاوية التي قياسها ٤٧٫٥ درجة. لدينا الضلع المقابل، والضلع المجاور، ووتر المثلث. الضلعان اللذان سيدخلان في العملية الحسابية هما الضلع الذي نعرف طوله، وهو الضلع المقابل، والضلع الذي نريد حساب طوله، وهو الوتر.

لنتذكر القانون الذي يمكننا من حساب جيب الزاوية. من تعريف قانون الجيب، نجد أن جيب الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. هذا معناه أنه في هذا المثلث، جا٤٧٫٥ درجة يساوي ٢٧٫٥ على نق. والآن، أصبح لدينا معادلة يمكن حلها لإيجاد نصف قطر الدائرة.

لحل هذه المعادلة، أحتاج إلى ضرب كل من الطرفين في نق، للتخلص من نق الموجود في مقام الكسر ثم قسمة الطرفين على جيب الزاوية ٤٧٫٥ درجة. نستنتج من ذلك أن نق يساوي ٢٧٫٥ على جا الزاوية ٤٧٫٥ درجة. وبحساب ذلك على الآلة الحاسبة، مع التأكد من كونها مضبوطة على نظام الدرجات، حصلت على قيمة نصف قطر الدائرة وهي ٣٧٫٢٩٩٣٩. والآن علينا استخدام هذه القيمة في المرحلة التالية من الحساب. يمكننا كتابتها بعدد كبير من الخانات العشرية، أو حفظها في ذاكرة الآلة الحاسبة. علينا أن نتذكر أن السبب وراء حاجتنا إلى حساب نصف قطر الدائرة هو أن نستخدمه في عملية التعويض عند حسابنا لمساحة القطعة الصغرى. الآن سنحذف خطوات إيجاد قيمة نق لأفرغ مساحة لإتمام المرحلة التالية من العملية الحسابية. وإذا أردتم تدوين أي من ذلك، فأوقفوا الفيديو الآن مؤقتًا، واكتبوا ما وصلنا إليه.

إذن وجدنا أن نصف قطر الدائرة يساوي هذا العدد العشري: ٣٧٫٢٩٩٣٩. والآن، نعوض بذلك عن نق في العملية الحسابية الخاصة بإيجاد مساحة القطعة الصغرى. وبحساب جزأي المساحة باستخدام الآلة الحاسبة، والتأكد مرة أخرى من أنها مضبوطة على نظام الدرجات، نتوصل إلى أن مساحة القطعة هي ١١٥٣٫٣٨٥٧، ومساحة المثلث ٦٩٢٫٩٧٥٤. وبالطرح نحصل على ٤٦٠٫٤١٠، والأرقام بعد العلامة العشرية متواصلة. لكن المسألة طلبت منا تقريب الناتج لأقرب رقم عشري. لذا، أخيرًا، يتعين علينا تقريب هذه القيمة. إذن، مساحة القطعة الدائرية الصغرى، مقربة لأقرب رقم عشري، هي ٤٦٠٫٤ سنتيمترًا مربعًا.