في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد مساحة قطعة دائرية.
تعريف: القطعة الدائرية
القطعة الدائرية هي جزء من دائرة محصور بين قوس ووتر يصل بين نقطتي نهاية القوس.
في الواقع، يقسم كل وتر الدائرة إلى جزأين: قطعة دائرية صغرى، وهي أصغر من نصف الدائرة، وقطعة دائرية كبرى، وهي أكبر من نصف الدائرة.
دعونا نتناول كيفية استنتاج صيغة لمساحة القطعة الدائرية الصغرى. انظر إلى القطعة الدائرية الصغرى التي يكوِّنها الوتر في الدائرة التي مركزها . الزاوية المحصورة بين نصفي القطر اللذين يصلان بين نقطتي نهاية الوتر ومركز الدائرة تُعرَف بالزاوية المركزية، وسنشير إلى هذه الزاوية بالرمز . تعتمد الصيغة التي نستنتجها على وحدة قياس هذه الزاوية. سنتناول الصيغة باستخدام القياس بالدرجات أولًا، ثم نرى كيف يمكن تهيئتها إذا كانت الزاوية المركزية مقيسة بالراديان.
في الشكل التالي، نلاحظ أن مساحة القطعة الدائرية الصغرى (المظلَّلة باللون البرتقالي) هي الفرق بين مساحة القطاع (المحدد باللون الأخضر) ومساحة المثلث (المحدد باللون الوردي).
نتذكر هنا أن مساحة المثلث الذي طول ضلعيه ، والزاوية المحصورة بينهما تساوي . بتطبيق هذه الصيغة على الشكل الموضح، يصبح لدينا:
نتذكر أيضًا أن صيغة مساحة القطاع عندما تكون الزاوية المركزية مقيسة بالدرجات هي:
ومن ثَمَّ، يصبح لدينا:
يمكننا أخذ عاملًا مشتركًا، وهو ما يعطينا:
صيغة: مساحة القطعة الدائرية عندما تكون الزاوية المركزية مقيسَة بالدرجات
مساحة القطعة الدائرية في دائرة نصف قطرها وحدة، وزاويتها المركزية مقيسة بالدرجات هي:
والآن، لنتناول شكلًا آخر من هذه الصيغة تكون فيه الزاوية المركزية مقيسة بالراديان. نتذكر هنا أن صيغة مساحة القطاع عندما يكون قياس الزاوية المركزية راديان هي:
لذا باستخدام الصيغة نفسها لمساحة المثلث ، تكون مساحة القطعة الدائرية هي:
يمكننا أخذ عاملًا مشتركًا للحصول على الصيغة المبسطة لمساحة القطعة الدائرية بالراديان:
صيغة: مساحة القطعة الدائرية عندما تكون الزاوية المركزية مقيسة بالراديان
مساحة القطعة الدائرية في دائرة نصف قطرها وحدة، وزاويتها المركزية مقيسة بالراديان هي:
في كل مسألة، علينا التحقُّق بعناية مما إذا كان قياس الزاوية المركزية معطى بالدرجات أم بالراديان ثم نختار الصيغة المناسبة لتطبيقها. كما يجب أن نتأكد من ضبط الآلة الحاسبة العلمية على النظام الصحيح لوحدة قياس الزاوية المركزية. وإذا لم تكن الزاوية المركزية معطى قياسها، يمكننا اختيار الصيغة التي سنستخدمها. سنتناول لاحقًا صحة هاتين الصيغتين لحساب مساحة القطع الدائرية الكبرى، وكذلك القطع الدائرية الصغرى.
في المثال الأول، الزاوية المركزية معطى قياسها بالراديان؛ ومن ثَمَّ سنطبِّق الصيغة الثانية لحساب مساحة القطعة الدائرية.
مثال ١: إيجاد مساحة قطعة دائرية بمعلومية قطر الدائرة وقياس الزاوية المركزية
دائرة قطرها ١٤ سم، وزاويتها المركزية ٥٫٧٩ راديان. أوجد مساحة القطعة الدائرية لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
صيغة حساب مساحة القطعة الدائرية، عندما تكون الزاوية المركزية مقيسة بالراديان، هي:
نعلم من المعطيات أن قياس الزاوية المركزية يساوي ٥٫٧٩ راديان، ويمكننا حساب نصف قطر الدائرة عن طريق قسمة القطر على اثنين:
بالتعويض بالقيمتين ، في صيغة المساحة، مع التأكد من ضبط الآلة الحاسبة على نظام راديان، نجد أن:
مساحة القطعة الدائرية، لأقرب منزلتين عشريتين، هي: ١٥٣٫٤٥ سم٢.
في مسائل أخرى، قد نحتاج إلى ربط مساحة القطعة الدائرية بطول القوس الذي يصل بين نقطتي نهاية الوتر. علينا إذن تذكُّر صيغتي حساب طول القوس اللتين تعتمدان بدورهما على وحدة قياس الزاوية المركزية.
إذا كانت الزاوية المركزية مقيسة بالدرجات، فإن طول القوس يُعطَى بالمعادلة: وإذا كانت الزاوية المركزية مقيسة بالراديان، فإن طول القوس يُعطَى بالمعادلة:
في المثال التالي، سنستخدم الصيغة الثانية الموضَّحة أعلاه لإيجاد قياس الزاوية المركزية بالراديان بمعلومية طول القوس ونصف القطر. وبعد ذلك، سنستخدم هذه الزاوية المركزية لحساب مساحة قطعة دائرية.
مثال ٢: إيجاد مساحة قطعة دائرية بمعلومية طول نصف قطر الدائرة وطول القوس
دائرة نصف قطرها ٤٠ سم، وطول قوس قطعة دائرية بها ١٨ سم. أوجد مساحة القطعة لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
في هذه المسألة، ليس لدينا في المعطيات قياس الزاوية المركزية، لذا يمكننا اختيار الحل بالراديان أو بالدرجات. لكن نظرًا لأن صيغتي حساب طول القوس ومساحة القطعة الدائرية تكونان أبسط بالراديان؛ فهذا هو الخيار الأسهل.
تذكر أن طول القوس يُعطَى بالمعادلة . بالتعويض بطول القوس ونصف القطر المعطيين، يصبح لدينا:
وبإعادة ترتيب المعادلة، نحصل على:
يمكننا الآن التعويض بقياس الزاوية المركزية الذي يساوي راديان، ونصف القطر الذي يساوي ٤٠ سم في صيغة مساحة القطعة الدائرية، وحساب القيمة الناتجة، مع التأكد من ضبط الآلة الحاسبة على نظام راديان:
مساحة القطعة الدائرية، لأقرب منزلتين عشريتين، هي: ١٢٫٠٣ سم٢.
من الممكن أيضًا الحل بطريقة عكسية من خلال معرفة مساحة القطعة الدائرية، بالإضافة إلى إما نصف القطر أو قياس الزاوية المركزية، لإيجاد القيمة غير المعلومة منهما. لنتناول الآن مثالًا على ذلك.
مثال ٣: إيجاد نصف قطر الدائرة بمعلومية مساحة قطعة دائرية وقياس الزاوية المركزية
مساحة قطعة دائرية ٣٤ سم٢ وقياس الزاوية المركزية . أوجد نصف قطر الدائرة لأقرب سنتيمتر.
الحل
نتذكر هنا صيغة مساحة القطعة الدائرية عندما تكون الزاوية المركزية مقيسة بالدرجات:
بالتعويض بالمساحة وقياس الزاوية المركزية المعطاتين، نجد أن:
يمكننا الآن حل هذه المعادلة لإيجاد نصف قطر الدائرة. وعلينا التأكد من ضبط الآلة الحاسبة العلمية على نظام الدرجة:
بأخذ الجذر التربيعي الموجب، نحصل على نصف القطر:
نصف قطر الدائرة، لأقرب سنتيمتر، هو ١٤ سم.
في المثال التالي، سنوضح كيف نوجد مساحة قطعة دائرية بمعلومية نصف قطر الدائرة وطول الوتر الذي يحد هذه القطعة.
مثال ٤: إيجاد مساحة القطعة الدائرية الصغرى بمعلومية نصف قطر الدائرة وطول الوتر
وتر في دائرة ونصف قطرها طول كل منهما يساوي ٢٤ سم. أوجد مساحة القطعة الدائرية الصغرى لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
لنبدأ برسم هذه الدائرة.
يؤكد هذا الرسم أن طول كلٍّ من نصف قطر الدائرة والوتر يساوي ٢٤ سم؛ ومن ثَمَّ فإن المثلث الذي يكوِّنه الوتر ونصفا القطر مثلث متساوي الأضلاع. وبناءً عليه، فإن قياس الزاوية المركزية يساوي أو راديان. ونظرًا لأن صيغة مساحة القطعة الدائرية تكون أبسط عند قياس الزاوية المركزية بالراديان، فسنستخدم .
نتذكر هنا صيغة مساحة القطعة الدائرية عندما تكون الزاوية المركزية مقيسة بالراديان:
سنعوض بالقيمتين ، في هذه الصيغة ونحسب القيمة الناتجة. ويجب ضبط الآلة الحاسبة على نظام راديان لضمان الحصول على الإجابة الصحيحة:
مساحة القطعة الدائرية الصغرى، لأقرب منزلتين عشريتين، هي: ٥٢٫١٨ سم٢.
عندما استنتجنا صيغة مساحة القطعة الدائرية، افترضنا أن القطعة هي قطعة دائرية صغرى؛ إذ حسبنا مساحتها على أنها الفرق بين مساحتي قطاع أصغر ومثلث. وفي الواقع، تنطبق الصيغة نفسها على حساب مساحة القطعة الدائرية الكبرى، وإن كان لا يمكن تقسيم مساحتها هندسيًّا بالطريقة نفسها. سنتحقق من صحة هذه الصيغة في حالة استخدام القياس بالدرجة فقط؛ لأنه يمكن اتباع طريقة مشابهة جدًّا لإثبات صحتها في حالة استخدام القياس بالراديان.
هندسيًّا، مساحة القطعة الدائرية الكبرى التي قياس زاويتها المركزية تساوي مجموع مساحة القطاع الأكبر الموضح باللون الأزرق في الشكل التالي ومساحة المثلث الموضح باللون البرتقالي.
لاحظ أن قياس زاوية القطاع الأكبر هي ، ولكن قياس الزاوية داخل المثلث هو . تُعطَى مساحة القطاع الأكبر بالمعادلة: بينما تُعطَى مساحة المثلث بالمعادلة:
ومن ثَمَّ، فإن مساحة القطعة الدائرية الكبرى تُعطَى بالمعادلة:
يمكننا أخذ عاملًا مشتركًا، وهو ما يعطينا:
لكي نحصل على الصيغة نفسها التي توصلنا إليها سابقًا لمساحة القطعة الدائرية الصغرى، يلزم إجراء بعض التعديلات. نتذكر هنا خاصيتين لدالة الجيب، وهما: أولًا، طول دورة دالة الجيب هو ؛ ومن ثَمَّ فإن إضافة أو طرح أي مضاعف صحيح من إلى قياس الزاوية لا يغير قيمتها. إذن:
ثانيًا، نتذكر أن دالة الجيب دالة فردية؛ ومن ثَمَّ:
بالتعويض بذلك في الصيغة التي لدينا، نحصل على: وهو ما يتفق مع الصيغة التي أوجدناها بالفعل لمساحة القطعة الدائرية الصغرى. لذا على الرغم من أن كيفية الاستنتاج مختلفة، فإن الصيغة نفسها تنطبق على القطعتين الدائريتين الكبرى والصغرى.
في المثال التالي، سنوضح كيف نحسب مساحة القطعة الدائرية الكبرى بمعلومية قياس الزاوية المركزية وطول الوتر.
مثال ٥: إيجاد مساحة القطعة الدائرية الكبرى بمعلومية قياس الزاوية المركزية وطول الوتر
وتر طوله ١٧ سم ويقابل زاوية مركزية قياسها . أوجد مساحة القطعة الدائرية الكبرى لأقرب سنتيمتر مربع.
الحل
لنبدأ برسم الدائرة.
لاحظ أننا نحسب مساحة القطعة الدائرية الكبرى. هذا يعني أنها كبرى القطعتين الدائريتين، وقياس زاويتها المركزية أكبر من . ويمكننا حساب قياس الزاوية المنعكسة عن طريق طرح قياس الزاوية المعلوم قياسها من :
لدينا في المعطيات طول الوتر، ولكن ليس لدينا نصف قطر الدائرة. لحساب نصف القطر، دعونا نفحص المثلث . بما أن ، نصفا قطر الدائرة، فإن هذا المثلث متساوي الساقين؛ ومن ثَمَّ يمكن تقسيمه إلى مثلثين قائمين متطابقين عن طريق رسم خط من إلى نقطة منتصف .
يؤدي ذلك إلى تقسيم إلى قطعتين متساويتين في الطول ويبلغ طول كل منهما ٨٫٥ سم، وتقسيم الزاوية المركزية التي قياسها إلى زاويتين متطابقتين قياس كل منهما . يمكننا الآن تطبيق حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية على هذه المثلثات لحساب طول نصف القطر. نصف القطر هو وتر المثلث ، وبالنسبة للزاوية ، الضلع الذي طوله ٨٫٥ سم هو الضلع المقابل لها. بتطبيق نسبة الجيب، نجد أن:
بإعادة ترتيب هذه المعادلة وحساب القيمة الناتجة، مع التأكُّد من ضبط الآلة الحاسبة على نظام الدرجة، نحصل على:
يمكننا أخيرًا حساب مساحة القطعة الدائرية الكبرى باستخدام الزاوية المركزية التي قياسها ونصف القطر الذي طوله سم:
مساحة القطعة الدائرية الكبرى، لأقرب سنتيمتر مربع هي ١٥٢ سم٢.
يمكن أيضًا تطبيق الصيغ التي تناولناها في هذا الشارح على مسائل في سياقات الحياة اليومية. في مثل هذه المسائل، يكون من المفيد دائمًا رسم شكل توضيحي في الخطوة الأولى للحل. لنتناول مثالًا أخيرًا نطبق فيه هذه المفاهيم في سياق واقعي.
مثال ٦: إيجاد مساحة القطعة الدائرية الصغرى في سياق معين
حوض زهور دائري الشكل قُسِّم إلى أربعة أقسام عن طريق رسم مثلث متساوي الأضلاع تقع رءوسه على الدائرة. نصف قطر حوض الزهور ٩ م. أوجد مساحة كل قطعة دائرية صغرى لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
نبدأ برسم حوض الزهور.
نرسم أيضًا أنصاف أقطار من كل رأس من رءوس المثلث إلى مركز الدائرة. المساحة التي نريد حسابها مظللة باللون الأزرق في الشكل التالي.
نتذكر هنا صيغة مساحة القطعة الدائرية عندما تكون الزاوية المركزية مقيسة بالدرجة:
معلوم لدينا نصف قطر الدائرة، ولكن علينا إيجاد قياس الزاوية المركزية. بما أن المثلث متساوي الأضلاع، فإن الشكل له تماثل دوراني من الرتبة الثالثة؛ ومن ثَمَّ فإن القطاعات الدائرية الثلاثة في الشكل متطابقة. وبِناءً عليه، فإن مساحات القطع الدائرية الصغرى الثلاثة متساوية، وجميعها لها الزاوية المركزية التي قياسُها .
يمكننا الآن التعويض بالقيمتين ، في صيغة مساحة القطعة الدائرية:
وعند حساب ذلك باستخدام الآلة الحاسبة في نظام الدرجة، نحصل على:
مساحة كل قطعة دائرية صغرى، لأقرب منزلتين عشريتين، هي ٤٩٫٧٥ م٢.
دعونا نختم بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.
النقاط الرئيسية
- القطعة الدائرية هي جزء من دائرة محصور بين قوس ووتر يصل بين نقطتي نهاية القوس.
- مساحة القطعة الدائرية الصغرى هي الفرق بين مساحة قطاع دائري ومثلث، بينما مساحة القطعة الدائرية الكبرى هي مجموع هاتين المساحتين. والصيغة نفسها صحيحة في كلتا الحالتين.
- مساحة القطعة الدائرية عندما يكون نصف القطر والزاوية المركزية مقيسة بالدرجة هي
- مساحة القطعة الدائرية عندما يكون نصف القطر والزاوية المركزية مقيسة بالراديان هي
