شارح الدرس: مساحة القطعة الدائرية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد مساحة قطعة دائرية.

تعريف: القطعة الدائرية

القطعة الدائرية هي جزء من دائرة محصور بين قوس ووتر يصل بين نقطتي نهاية القوس.

في الواقع، يقسم كل وتر الدائرة إلى جزأين: قطعة دائرية صغرى، وهي أصغر من نصف الدائرة، وقطعة دائرية كبرى، وهي أكبر من نصف الدائرة.

دعونا نتناول كيفية استنتاج صيغة لمساحة القطعة الدائرية الصغرى. انظر إلى القطعة الدائرية الصغرى التي يكوِّنها الوتر 󰏡𞸁 في الدائرة التي مركزها 𞸅. الزاوية المحصورة بين نصفي القطر اللذين يصلان بين نقطتي نهاية الوتر 󰏡𞸁 ومركز الدائرة تُعرَف بالزاوية المركزية، وسنشير إلى هذه الزاوية بالرمز 𝜃. تعتمد الصيغة التي نستنتجها على وحدة قياس هذه الزاوية. سنتناول الصيغة باستخدام القياس بالدرجات أولًا، ثم نرى كيف يمكن تهيئتها إذا كانت الزاوية المركزية مقيسة بالراديان.

في الشكل التالي، نلاحظ أن مساحة القطعة الدائرية الصغرى (المظلَّلة باللون البرتقالي) هي الفرق بين مساحة القطاع 󰏡𞸁𞸅 (المحدد باللون الأخضر) ومساحة المثلث 󰏡𞸁𞸅 (المحدد باللون الوردي).

نتذكر هنا أن مساحة المثلث الذي طول ضلعيه 󰏡، 𞸁 والزاوية المحصورة بينهما 𞸢 تساوي ١٢󰏡𞸁𞸢. بتطبيق هذه الصيغة على الشكل الموضح، يصبح لدينا: ا󰏡𞸁𞸅=١٢؈𝜃.٢

نتذكر أيضًا أن صيغة مساحة القطاع عندما تكون الزاوية المركزية مقيسة بالدرجات هي: اع=𝜋؈𝜃٠٦٣.٢

ومن ثَمَّ، يصبح لدينا: ااعا=󰏡𞸁𞸅󰏡𞸁𞸅=𝜋؈𝜃٠٦٣١٢؈𝜃.٢٢

يمكننا أخذ ١٢؈٢ عاملًا مشتركًا، وهو ما يعطينا: ا=؈٢󰂔𝜋𝜃٠٨١𝜃󰂓.٢

صيغة: مساحة القطعة الدائرية عندما تكون الزاوية المركزية مقيسَة بالدرجات

مساحة القطعة الدائرية في دائرة نصف قطرها ؈ وحدة، وزاويتها المركزية 𝜃 مقيسة بالدرجات هي: ااا=؈٢󰂔𝜋𝜃٠٨١𝜃󰂓.٢

والآن، لنتناول شكلًا آخر من هذه الصيغة تكون فيه الزاوية المركزية مقيسة بالراديان. نتذكر هنا أن صيغة مساحة القطاع عندما يكون قياس الزاوية المركزية 𝜃 راديان هي: اع=١٢؈𝜃.٢

لذا باستخدام الصيغة نفسها لمساحة المثلث 󰏡𞸁𞸅، تكون مساحة القطعة الدائرية هي: ا=١٢؈𝜃١٢؈𝜃.٢٢

يمكننا أخذ ١٢؈٢ عاملًا مشتركًا للحصول على الصيغة المبسطة لمساحة القطعة الدائرية بالراديان: ا=١٢؈(𝜃𝜃).٢

صيغة: مساحة القطعة الدائرية عندما تكون الزاوية المركزية مقيسة بالراديان

مساحة القطعة الدائرية في دائرة نصف قطرها ؈ وحدة، وزاويتها المركزية 𝜃 مقيسة بالراديان هي: ااا=١٢؈(𝜃𝜃).٢

في كل مسألة، علينا التحقُّق بعناية مما إذا كان قياس الزاوية المركزية معطى بالدرجات أم بالراديان ثم نختار الصيغة المناسبة لتطبيقها. كما يجب أن نتأكد من ضبط الآلة الحاسبة العلمية على النظام الصحيح لوحدة قياس الزاوية المركزية. وإذا لم تكن الزاوية المركزية معطى قياسها، يمكننا اختيار الصيغة التي سنستخدمها. سنتناول لاحقًا صحة هاتين الصيغتين لحساب مساحة القطع الدائرية الكبرى، وكذلك القطع الدائرية الصغرى.

في المثال الأول، الزاوية المركزية معطى قياسها بالراديان؛ ومن ثَمَّ سنطبِّق الصيغة الثانية لحساب مساحة القطعة الدائرية.

مثال ١: إيجاد مساحة قطعة دائرية بمعلومية قطر الدائرة وقياس الزاوية المركزية

دائرة قطرها ١٤ سم، وزاويتها المركزية ٥٫٧٩ راديان. أوجد مساحة القطعة الدائرية لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

صيغة حساب مساحة القطعة الدائرية، عندما تكون الزاوية المركزية مقيسة بالراديان، هي: ااا=١٢؈(𝜃𝜃).٢

نعلم من المعطيات أن قياس الزاوية المركزية يساوي ٥٫٧٩ راديان، ويمكننا حساب نصف قطر الدائرة عن طريق قسمة القطر على اثنين: ؈=٤١٢=٧.

بالتعويض بالقيمتين ؈=٧ ،𝜃=٩٧٫٥ في صيغة المساحة، مع التأكد من ضبط الآلة الحاسبة على نظام راديان، نجد أن: ااا=١٢×٧×(٩٧٫٥٩٧٫٥)=٤٥٤٫٣٥١٥٤٫٣٥١.٢

مساحة القطعة الدائرية، لأقرب منزلتين عشريتين، هي: ١٥٣٫٤٥ سم٢.

في مسائل أخرى، قد نحتاج إلى ربط مساحة القطعة الدائرية بطول القوس الذي يصل بين نقطتي نهاية الوتر. علينا إذن تذكُّر صيغتي حساب طول القوس اللتين تعتمدان بدورهما على وحدة قياس الزاوية المركزية.

إذا كانت الزاوية المركزية مقيسة بالدرجات، فإن طول القوس 𞸋 يُعطَى بالمعادلة: 𞸋=𝜃٠٦٣×٢𝜋؈، وإذا كانت الزاوية المركزية مقيسة بالراديان، فإن طول القوس يُعطَى بالمعادلة: 𞸋=؈𝜃.

في المثال التالي، سنستخدم الصيغة الثانية الموضَّحة أعلاه لإيجاد قياس الزاوية المركزية بالراديان بمعلومية طول القوس ونصف القطر. وبعد ذلك، سنستخدم هذه الزاوية المركزية لحساب مساحة قطعة دائرية.

مثال ٢: إيجاد مساحة قطعة دائرية بمعلومية طول نصف قطر الدائرة وطول القوس

دائرة نصف قطرها ٤٠ سم، وطول قوس قطعة دائرية بها ١٨ سم. أوجد مساحة القطعة لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

في هذه المسألة، ليس لدينا في المعطيات قياس الزاوية المركزية، لذا يمكننا اختيار الحل بالراديان أو بالدرجات. لكن نظرًا لأن صيغتي حساب طول القوس ومساحة القطعة الدائرية تكونان أبسط بالراديان؛ فهذا هو الخيار الأسهل.

تذكر أن طول القوس 𞸋 يُعطَى بالمعادلة 𞸋=؈𝜃. بالتعويض بطول القوس ونصف القطر المعطيين، يصبح لدينا: ٨١=٠٤𝜃.

وبإعادة ترتيب المعادلة، نحصل على: 𝜃=٨١٠٤=٩٠٢.

يمكننا الآن التعويض بقياس الزاوية المركزية الذي يساوي ٩٠٢ راديان، ونصف القطر الذي يساوي ٤٠ سم في صيغة مساحة القطعة الدائرية، وحساب القيمة الناتجة، مع التأكد من ضبط الآلة الحاسبة على نظام راديان: ااا=١٢؈(𝜃𝜃)=١٢×٠٤󰂔٩٠٢󰂔٩٠٢󰂓󰂓=٠٠٨󰂔٩٠٢󰂔٩٠٢󰂓󰂓=٧٢٠٫٢١٣٠٫٢١.٢٢

مساحة القطعة الدائرية، لأقرب منزلتين عشريتين، هي: ١٢٫٠٣ سم٢.

من الممكن أيضًا الحل بطريقة عكسية من خلال معرفة مساحة القطعة الدائرية، بالإضافة إلى إما نصف القطر أو قياس الزاوية المركزية، لإيجاد القيمة غير المعلومة منهما. لنتناول الآن مثالًا على ذلك.

مثال ٣: إيجاد نصف قطر الدائرة بمعلومية مساحة قطعة دائرية وقياس الزاوية المركزية

مساحة قطعة دائرية ٣٤ سم٢ وقياس الزاوية المركزية ٥٧. أوجد نصف قطر الدائرة لأقرب سنتيمتر.

الحل

نتذكر هنا صيغة مساحة القطعة الدائرية عندما تكون الزاوية المركزية مقيسة بالدرجات:ااا=؈٢󰂔𝜋𝜃٠٨١𝜃󰂓.٢

بالتعويض بالمساحة وقياس الزاوية المركزية المعطاتين، نجد أن: ٤٣=؈٢󰂔٥٧𝜋٠٨١٥٧󰂓.٢

يمكننا الآن حل هذه المعادلة لإيجاد نصف قطر الدائرة. وعلينا التأكد من ضبط الآلة الحاسبة العلمية على نظام الدرجة: ٤٣=؈٢×٣٤٣٫٠؈=٤٣×٢٣٤٣٫٠=٩٠٢٫٨٩١.٢٢

بأخذ الجذر التربيعي الموجب، نحصل على نصف القطر: ؈=٨٧٠٫٤١٤١.

نصف قطر الدائرة، لأقرب سنتيمتر، هو ١٤ سم.

في المثال التالي، سنوضح كيف نوجد مساحة قطعة دائرية بمعلومية نصف قطر الدائرة وطول الوتر الذي يحد هذه القطعة.

مثال ٤: إيجاد مساحة القطعة الدائرية الصغرى بمعلومية نصف قطر الدائرة وطول الوتر

وتر في دائرة ونصف قطرها طول كل منهما يساوي ٢٤ سم. أوجد مساحة القطعة الدائرية الصغرى لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

لنبدأ برسم هذه الدائرة.

يؤكد هذا الرسم أن طول كلٍّ من نصف قطر الدائرة والوتر يساوي ٢٤ سم؛ ومن ثَمَّ فإن المثلث الذي يكوِّنه الوتر ونصفا القطر مثلث متساوي الأضلاع. وبناءً عليه، فإن قياس الزاوية المركزية 𝜃 يساوي ٠٦ أو 𝜋٣ راديان. ونظرًا لأن صيغة مساحة القطعة الدائرية تكون أبسط عند قياس الزاوية المركزية بالراديان، فسنستخدم 𝜃=𝜋٣رادن.

نتذكر هنا صيغة مساحة القطعة الدائرية عندما تكون الزاوية المركزية مقيسة بالراديان: ااا=١٢؈(𝜃𝜃).٢

سنعوض بالقيمتين ؈=٤٢، 𝜃=𝜋٣ في هذه الصيغة ونحسب القيمة الناتجة. ويجب ضبط الآلة الحاسبة على نظام راديان لضمان الحصول على الإجابة الصحيحة: ااا=١٢×٤٢×󰂔𝜋٣󰂔𝜋٣󰂓󰂓=٨٨٢󰂔𝜋٣󰂔𝜋٣󰂓󰂓=٧٧١٫٢٥٨١٫٢٥.٢

مساحة القطعة الدائرية الصغرى، لأقرب منزلتين عشريتين، هي: ٥٢٫١٨ سم٢.

عندما استنتجنا صيغة مساحة القطعة الدائرية، افترضنا أن القطعة هي قطعة دائرية صغرى؛ إذ حسبنا مساحتها على أنها الفرق بين مساحتي قطاع أصغر ومثلث. وفي الواقع، تنطبق الصيغة نفسها على حساب مساحة القطعة الدائرية الكبرى، وإن كان لا يمكن تقسيم مساحتها هندسيًّا بالطريقة نفسها. سنتحقق من صحة هذه الصيغة في حالة استخدام القياس بالدرجة فقط؛ لأنه يمكن اتباع طريقة مشابهة جدًّا لإثبات صحتها في حالة استخدام القياس بالراديان.

هندسيًّا، مساحة القطعة الدائرية الكبرى التي قياس زاويتها المركزية 𝜃 تساوي مجموع مساحة القطاع الأكبر الموضح باللون الأزرق في الشكل التالي ومساحة المثلث الموضح باللون البرتقالي.

لاحظ أن قياس زاوية القطاع الأكبر هي 𝜃، ولكن قياس الزاوية داخل المثلث هو (٠٦٣𝜃). تُعطَى مساحة القطاع الأكبر بالمعادلة: اعا=𝜃𝜋؈٠٦٣،٢ بينما تُعطَى مساحة المثلث بالمعادلة: ا=١٢؈(٠٦٣𝜃).٢

ومن ثَمَّ، فإن مساحة القطعة الدائرية الكبرى تُعطَى بالمعادلة: ااااىاعاا=+=𝜃𝜋؈٠٦٣+١٢؈(٠٦٣𝜃).٢٢

يمكننا أخذ ١٢؈٢ عاملًا مشتركًا، وهو ما يعطينا: ااااى=١٢؈󰂔𝜃𝜋٠٨١+(٠٦٣𝜃)󰂓.٢

لكي نحصل على الصيغة نفسها التي توصلنا إليها سابقًا لمساحة القطعة الدائرية الصغرى، يلزم إجراء بعض التعديلات. نتذكر هنا خاصيتين لدالة الجيب، وهما: أولًا، طول دورة دالة الجيب هو ٠٦٣؛ ومن ثَمَّ فإن إضافة أو طرح أي مضاعف صحيح من ٠٦٣ إلى قياس الزاوية لا يغير قيمتها. إذن: (٠٦٣𝜃)=(٠٦٣𝜃٠٦٣)=(𝜃).

ثانيًا، نتذكر أن دالة الجيب دالة فردية؛ ومن ثَمَّ: (𝜃)=(𝜃).

بالتعويض بذلك في الصيغة التي لدينا، نحصل على: ااااى=١٢؈󰂔𝜃𝜋٠٨١(𝜃)󰂓،٢ وهو ما يتفق مع الصيغة التي أوجدناها بالفعل لمساحة القطعة الدائرية الصغرى. لذا على الرغم من أن كيفية الاستنتاج مختلفة، فإن الصيغة نفسها تنطبق على القطعتين الدائريتين الكبرى والصغرى.

في المثال التالي، سنوضح كيف نحسب مساحة القطعة الدائرية الكبرى بمعلومية قياس الزاوية المركزية وطول الوتر.

مثال ٥: إيجاد مساحة القطعة الدائرية الكبرى بمعلومية قياس الزاوية المركزية وطول الوتر

󰏡𞸁 وتر طوله ١٧ سم ويقابل زاوية مركزية قياسها ٥٥١. أوجد مساحة القطعة الدائرية الكبرى لأقرب سنتيمتر مربع.

الحل

لنبدأ برسم الدائرة.

لاحظ أننا نحسب مساحة القطعة الدائرية الكبرى. هذا يعني أنها كبرى القطعتين الدائريتين، وقياس زاويتها المركزية أكبر من ٠٨١. ويمكننا حساب قياس الزاوية المنعكسة 󰏡𞸅𞸁 عن طريق طرح قياس الزاوية المعلوم قياسها من ٠٦٣:𞹟󰌑󰏡𞸅𞸁=٠٦٣٥٥١=٥٠٢.

لدينا في المعطيات طول الوتر، ولكن ليس لدينا نصف قطر الدائرة. لحساب نصف القطر، دعونا نفحص المثلث 󰏡𞸁𞸅. بما أن 𞸅󰏡، 𞸅𞸁 نصفا قطر الدائرة، فإن هذا المثلث متساوي الساقين؛ ومن ثَمَّ يمكن تقسيمه إلى مثلثين قائمين متطابقين عن طريق رسم خط من 𞸅 إلى نقطة منتصف 󰏡𞸁.

يؤدي ذلك إلى تقسيم 󰏡𞸁 إلى قطعتين متساويتين في الطول ويبلغ طول كل منهما ٨٫٥ سم، وتقسيم الزاوية المركزية التي قياسها ٥٥١ إلى زاويتين متطابقتين قياس كل منهما ٥٫٧٧. يمكننا الآن تطبيق حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية على هذه المثلثات لحساب طول نصف القطر. نصف القطر 𞸅󰏡 هو وتر المثلث 󰏡𞸌𞸅، وبالنسبة للزاوية ٥٫٧٧، الضلع الذي طوله ٨٫٥ سم هو الضلع المقابل لها. بتطبيق نسبة الجيب، نجد أن: لاالا٥٫٧٧==٥٫٨؈.

بإعادة ترتيب هذه المعادلة وحساب القيمة الناتجة، مع التأكُّد من ضبط الآلة الحاسبة على نظام الدرجة، نحصل على: ؈=٥٫٨٥٫٧٧=٦٠٧٫٨.

يمكننا أخيرًا حساب مساحة القطعة الدائرية الكبرى باستخدام الزاوية المركزية التي قياسها ٥٠٢ ونصف القطر الذي طوله ٦٠٧٫٨ سم: ااااى=؈٢󰂔𝜋𝜃٠٨١𝜃󰂓=(٦٠٧٫٨)٢󰂔٥٠٢𝜋٠٨١٥٠٢󰂓=٢٢٦٫١٥١٢٥١.٢٢

مساحة القطعة الدائرية الكبرى، لأقرب سنتيمتر مربع هي ١٥٢ سم٢.

يمكن أيضًا تطبيق الصيغ التي تناولناها في هذا الشارح على مسائل في سياقات الحياة اليومية. في مثل هذه المسائل، يكون من المفيد دائمًا رسم شكل توضيحي في الخطوة الأولى للحل. لنتناول مثالًا أخيرًا نطبق فيه هذه المفاهيم في سياق واقعي.

مثال ٦: إيجاد مساحة القطعة الدائرية الصغرى في سياق معين

حوض زهور دائري الشكل قُسِّم إلى أربعة أقسام عن طريق رسم مثلث متساوي الأضلاع تقع رءوسه على الدائرة. نصف قطر حوض الزهور ٩ م. أوجد مساحة كل قطعة دائرية صغرى لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

نبدأ برسم حوض الزهور.

نرسم أيضًا أنصاف أقطار من كل رأس من رءوس المثلث 󰏡𞸁𞸢 إلى مركز الدائرة. المساحة التي نريد حسابها مظللة باللون الأزرق في الشكل التالي.

نتذكر هنا صيغة مساحة القطعة الدائرية عندما تكون الزاوية المركزية مقيسة بالدرجة: ا=؈٢󰂔𝜋𝜃٠٨١𝜃󰂓.٢

معلوم لدينا نصف قطر الدائرة، ولكن علينا إيجاد قياس الزاوية المركزية. بما أن المثلث 󰏡𞸁𞸢 متساوي الأضلاع، فإن الشكل له تماثل دوراني من الرتبة الثالثة؛ ومن ثَمَّ فإن القطاعات الدائرية الثلاثة في الشكل متطابقة. وبِناءً عليه، فإن مساحات القطع الدائرية الصغرى الثلاثة متساوية، وجميعها لها الزاوية المركزية التي قياسُها ٠٦٣٣=٠٢١.

يمكننا الآن التعويض بالقيمتين ؈=٩، 𝜃=٠٢١ في صيغة مساحة القطعة الدائرية: ااااى=١٢×٩×󰂔٠٢١𝜋٠٨١٠٢١󰂓.٢

وعند حساب ذلك باستخدام الآلة الحاسبة في نظام الدرجة، نحصل على: ااااى=١٢×١٨×(٨٢٢٫١)=٨٤٧٫٩٤٥٧٫٩٤.

مساحة كل قطعة دائرية صغرى، لأقرب منزلتين عشريتين، هي ٤٩٫٧٥ م٢.

دعونا نختم بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • القطعة الدائرية هي جزء من دائرة محصور بين قوس ووتر يصل بين نقطتي نهاية القوس.
  • مساحة القطعة الدائرية الصغرى هي الفرق بين مساحة قطاع دائري ومثلث، بينما مساحة القطعة الدائرية الكبرى هي مجموع هاتين المساحتين. والصيغة نفسها صحيحة في كلتا الحالتين.
  • مساحة القطعة الدائرية عندما يكون نصف القطر ؈ والزاوية المركزية 𝜃 مقيسة بالدرجة هي ا=؈٢󰂔𝜋𝜃٠٨١𝜃󰂓.٢
  • مساحة القطعة الدائرية عندما يكون نصف القطر ؈ والزاوية المركزية 𝜃 مقيسة بالراديان هي ا=١٢؈(𝜃𝜃).٢

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.