فيديو: مساحة القطعة الدائرية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية إيجاد مساحة قطعة دائرية.

١٥:١٤

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مساحة قطعة دائرية. ولكننا سنبدأ بإلقاء نظرة على تعريف القطعة الدائرية. وبعدها، سنحدد الصيغ التي يمكن استخدامها لحساب مساحة قطعة دائرية، ثم نستخدمها لحل بعض المسائل.

ما تعريف القطعة الدائرية؟ هل هي (أ) جزء من دائرة محصور بين قوس ووتر يصل بين نقطتي نهاية القوس؟ أم (ب) جزء من دائرة محصور بين نصفي قطر وقوس. أم (ج) جزء من دائرة محصور بين وتر وزاوية مركزية مقابلة لهذا القوس. أم (د) جزء من دائرة محصور بين وترين وقوسين. أم (هـ) قوس يساوي نصف محيط الدائرة.

الدائرة الموضحة مقسمة إلى جزأين. يعرف الجزء الأصغر من الدائرة باسم القطعة الدائرية الصغرى. ويعرف الجزء الأكبر باسم القطعة الدائرية الكبرى. وكلتا القطعتين يحدهما قوس. كما يحدهما وتر مشترك. وهذا يعني أن التعريف الصحيح هو الخيار (أ). القطعة الدائرية هي جزء من دائرة محصور بين قوس ووتر يصل بين نقطتي نهاية القوس. في هذا الرسم، لدينا قطعة دائرية صغرى موضحة باللون البرتقالي وقطعة دائرية كبرى موضحة باللون الوردي.

سنتناول الآن الصيغ التي يمكن استخدامها لحساب مساحة القطعة الدائرية.

ما الصيغة التي يمكن استخدامها لإيجاد مساحة قطعة دائرية، بمعلومية نصف القطر ‪𝑟‬‏ والزاوية المركزية ‪𝜃‬‏؟

نذكر أنه يمكن تقسيم أي دائرة إلى قطعة دائرية صغرى وقطعة دائرية كبرى كما هو موضح. ومعلوم لدينا هنا أن نصف قطر الدائرة هو ‪𝑟‬‏ والزاوية المركزية هي ‪𝜃‬‏. إذا رمزنا لطرفي الوتر بالحرفين ‪𝐴𝐵‬‏ ومركز الدائرة بالحرف ‪𝑂‬‏، فإن مساحة القطعة الدائرية تساوي مساحة القطاع ‪𝐴𝑂𝐵‬‏ ناقص مساحة المثلث ‪𝐴𝑂𝐵‬‏. وجدير بالذكر هنا أن الزاوية ‪𝜃‬‏ قد تقاس بالدرجات أو بالراديان. ‏‏‪180‬‏ درجة تساوي ‪𝜋‬‏ راديان. وكما نعرف، فإن المجموع الكلي لقياسات الزوايا في الدائرة هو ‪360‬‏ درجة، وهو ما يساوي اثنين ‪𝜋‬‏ راديان. ومن ثم، يمكن حساب مساحة قطعة دائرية باستخدام صيغتين مرتبطتين، إحداهما للدرجات والأخرى عندما تكون الزاوية مقيسة بالراديان.

عندما تكون الزاوية مقيسة بالدرجات، فإن مساحة القطاع الدائري تساوي ‪𝜃‬‏ على ‪360‬‏ في ‪𝜋𝑟‬‏ تربيع. وكما ذكرنا من قبل، ‪360‬‏ درجة يساوي اثنين ‪𝜋‬‏ راديان. وهذا يعني أن مساحة القطاع الدائري، عندما تكون ‪𝜃‬‏ مقيسة بالراديان، تساوي ‪𝜃‬‏ على اثنين ‪𝜋‬‏ مضروبًا في ‪𝜋𝑟‬‏ تربيع. وفي هذه الحالة، نحذف ‪𝜋‬‏ مع ‪𝜋‬‏. ويتبقى لدينا ‪𝜃‬‏ على اثنين مضروبًا في ‪𝑟‬‏ تربيع، وهو ما يكتب عادة على الصورة: نصف ‪𝑟‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏.

بما أننا توصلنا إلى صيغة لإيجاد مساحة قطاع دائري بالدرجات والراديان، فسنتناول الآن مساحة المثلث. يمكن حساب مساحة أي مثلث باستخدام الصيغة: نصف ‪𝑎𝑏‬‏ مضروبًا في ‪sin 𝐶‬‏. في هذا الشكل، نلاحظ أن كلًا من الطولين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ يساوي نصف القطر أو ‪𝑟‬‏. والزاوية ‪𝐶‬‏ تساوي ‪𝜃‬‏. وبالتالي، يمكن حساب مساحة مثلث يقع داخل دائرة باستخدام الصيغة: نصف ‪𝑟‬‏ تربيع مضروبًا في ‪sin 𝜃‬‏. سنفرغ الآن بعض المساحة للتوصل إلى الصيغة التي يمكن استخدامها لإيجاد مساحة قطعة دائرية.

لنتناول أولًا الحالة التي تكون فيها الزاوية ‪𝜃‬‏ مقيسة بالراديان. مساحة القطاع الدائري تساوي نصف ‪𝑟‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏، ومساحة المثلث تساوي نصف ‪𝑟‬‏ تربيع ‪sin 𝜃‬‏. يمكننا أخذ نصف ‪𝑟‬‏ تربيع عاملًا مشتركًا؛ لأنه مقدار مشترك بين الحدين. وبذلك، يتبقى لدينا داخل الأقواس ‪𝜃‬‏ ناقص ‪sin 𝜃‬‏. عندما تكون الزاوية المركزية ‪𝜃‬‏ معطاة بالراديان، يمكن حساب مساحة القطعة الدائرية بضرب نصف ‪𝑟‬‏ تربيع في ‪𝜃‬‏ ناقص ‪sin 𝜃‬‏. أما إذا كانت الزاوية المركزية معطاة بالدرجات، فإن الصيغة تصبح ‪𝜃‬‏ على ‪360‬‏ مضروبًا في ‪𝜋𝑟‬‏ تربيع ناقص نصف ‪𝑟‬‏ تربيع ‪sin 𝜃‬‏.

على الرغم من أن ‪𝑟‬‏ تربيع مقدار مشترك في كلا الحدين، فإننا لا نميل إلى أخذه عاملًا مشتركًا هنا، بل نحسب مساحة القطاع الدائري ومساحة المثلث كلًا على حدة. ثم نطرح الناتجين لحساب مساحة القطعة الدائرية. ويمكن استخدام أي من الصيغتين وفقًا لسياق المسألة.

والآن، سنستخدم هاتين الصيغتين لإيجاد مساحة القطعة الدائرية في ضوء الخصائص المختلفة للدائرة.

دائرة مساحتها ‪227‬‏ سنتيمترًا مربعًا، والزاوية المركزية لقطعة دائرية فيها تساوي ‪120‬‏ درجة. أوجد مساحة القطعة الدائرية لأقرب منزلتين عشريين.

نعلم من رأس المسألة أن الزاوية المركزية لقطعة دائرية تساوي ‪120‬‏ درجة. ومطلوب منا حساب مساحة هذه القطعة الدائرية. عندما تكون زاوية القطعة الدائرية معطاة بالدرجات، يمكننا حساب مساحة هذه القطعة الدائرية من خلال طرح مساحة المثلث من مساحة القطاع الدائري. مساحة القطاع تساوي ‪𝜃‬‏ على ‪360‬‏ مضروبًا في ‪𝜋𝑟‬‏ تربيع. ومساحة المثلث تساوي نصف ‪𝑟‬‏ تربيع مضروبًا في ‪sin 𝜃‬‏. تخبرنا المسألة أن مساحة الدائرة تساوي ‪227‬‏ سنتيمترًا مربعًا. هذا يعني أن ‪𝜋𝑟‬‏ تربيع يساوي ‪227‬‏. وبقسمة طرفي هذه المعادلة على ‪𝜋‬‏، نحصل على ‪𝑟‬‏ تربيع يساوي ‪227‬‏ على ‪𝜋‬‏.

يمكننا الآن التعويض بهذه القيم في كلتا الصيغتين. مساحة القطاع تساوي ‪120‬‏ على ‪360‬‏ مضروبًا في ‪227‬‏. ويمكن تبسيط ذلك إلى ثلث مضروبًا في ‪227‬‏ أو ‪227‬‏ على ثلاثة. ويمكن حساب مساحة المثلث بضرب نصف في ‪227‬‏ على ‪𝜋‬‏ في ‪sin 120‬‏ درجة. ‏‏‪sin 120‬‏ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. إذن، يمكن حساب مساحة القطعة الدائرية بطرح نصف في ‪227‬‏ على ‪𝜋‬‏ في جذر ثلاثة على اثنين، من ‪227‬‏ على ثلاثة. وبكتابة هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على ‪44.37875‬‏ وهكذا مع توالي الأرقام. وبما أن علينا تقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين، فإن العدد المحدد لنوع التقريب هنا هو ثمانية. وهذا يعني أننا نقرب لأعلى، أي إلى ‪44.38‬‏. إذن، مساحة القطعة الدائرية تساوي ‪44.38‬‏ سنتيمترًا مربعًا.

وبما أن هذه هي مساحة القطعة الدائرية الصغرى، فيمكننا حساب مساحة القطعة الدائرية الكبرى بطرح هذا الناتج من ‪227‬‏ سنتيمترًا مربعًا.

سنتناول الآن مسألة أخرى، حيث معطى لنا طول نصف القطر وطول الوتر.

دائرة نصف قطرها ‪10‬‏ سنتيمترات. رسم وتر طوله ‪14‬‏ سنتيمترًا. أوجد مساحة القطعة الدائرية الكبرى، لأقرب سنتيمتر مربع.

نعلم من المعطيات أن نصف قطر الدائرة يساوي ‪10‬‏ سنتيمترات. ورسم وتر طوله ‪14‬‏ سنتيمترًا على الدائرة. إذا افترضنا أن طرفي الوتر هما النقطتان ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ وأن نقطة المركز هي ‪𝑂‬‏، فإن مساحة القطعة الدائرية الصغرى تساوي مساحة القطاع الدائري ناقص مساحة المثلث. ولحساب هاتين المساحتين، علينا أولًا إيجاد قياس الزاوية المركزية ‪𝜃‬‏. يمكن إيجاد هذا القياس بالراديان أو بالدرجات. في هذه المسألة، سنستخدم الراديان. ولذا، من المهم ضبط الآلة الحاسبة على الوضع الصحيح. مساحة القطاع الدائري، عندما تكون ‪𝜃‬‏ مقيسة بالراديان، تساوي نصف ‪𝑟‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏. ومساحة المثلث تساوي نصف ‪𝑟‬‏ تربيع ‪sin 𝜃‬‏. يمكن تبسيط ذلك بأخذ عامل مشترك؛ ومن ثم نجد أن مساحة القطعة تساوي نصف ‪𝑟‬‏ تربيع مضروبًا في ‪𝜃‬‏ ناقص ‪sin 𝜃‬‏.

يمكننا الآن حساب قياس الزاوية ‪𝜃‬‏ باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية أو قاعدة جيب التمام. لحساب قياس الزاوية في أي مثلث باستخدام قاعدة جيب التمام، نستخدم الصيغة التالية. ‏ ‪cos 𝐴‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏ تربيع زائد ‪𝑐‬‏ تربيع ناقص ‪𝑎‬‏ تربيع مقسومًا على اثنين ‪𝑏𝑐‬‏، حيث ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ و‪𝑐‬‏ هي أطوال أضلاع المثلث الثلاثة و‪𝐴‬‏ هو الضلع المقابل للزاوية التي نسعى لإيجاد قياسها. بالتعويض بالقيم التي لدينا، نحصل على ‪cos 𝜃‬‏ يساوي ‪10‬‏ تربيع زائد ‪10‬‏ تربيع ناقص ‪14‬‏ تربيع على اثنين في ‪10‬‏ في ‪10‬‏. ويبسط ذلك إلى ‪cos 𝜃‬‏ يساوي واحدًا على ‪50‬‏. وبالتأكد من ضبط الآلة الحاسبة على وضع الراديان، فإن ‪𝜃‬‏ تساوي الدالة العكسية لـ ‪cos‬‏ واحد على ‪50‬‏. وهذا يساوي ‪1.55079‬‏ وهكذا مع توالي الأرقام بالراديان.

يمكننا الآن التعويض بهذه القيمة في صيغة مساحة القطعة الدائرية. مساحة القطعة الدائرية الصغرى تساوي ‪27.5497‬‏ وهكذا مع توالي الأرقام. مطلوب منا حساب مساحة القطعة الدائرية الكبرى. أي مساحة الدائرة بأكملها ناقص مساحة القطعة الدائرية الصغرى. مساحة الدائرة تساوي ‪𝜋𝑟‬‏ تربيع. وبما أن طول نصف القطر يساوي ‪10‬‏ سنتيمترات، فإن المساحة تساوي ‪100𝜋‬‏. علينا طرح ‪27.5497‬‏ ، وهكذا مع توالي الأرقام، من هذا المقدار. وهذا يساوي ‪286.6095‬‏ وهكذا مع توالي الأرقام. ومطلوب منا تقريب الناتج لأقرب سنتيمتر مربع. الرقم المحدد هنا هو ستة في خانة الجزء من عشرة. إذن، نقرب لأعلى، أي إلى ‪287‬‏ سنتيمترًا مربعًا. هذه هي مساحة القطعة الدائرية الكبرى في الدائرة.

سنلخص الآن النقاط الأساسية لهذا الفيديو. القطعة الدائرية هي جزء محصور بين قوس ووتر يصل بين نقطتي نهاية القوس. يؤدي رسم وتر في أي دائرة إلى تقسيمها إلى قطعتين دائريتين، قطعة دائرية صغرى وقطعة دائرية كبرى. وكما يتضح من الاسم، فالقطعة الدائرية الكبرى تمثل الجزء الأكبر في كلا الجزأين. مساحة القطعة الدائرية الصغرى، الموضحة باللون البرتقالي في الرسم، تساوي مساحة القطاع الدائري الموضح باللون الوردي ناقص مساحة المثلث الموضح باللون الأزرق. ولحساب هذه المساحات الثلاث، علينا إيجاد قياس الزاوية ‪𝜃‬‏ بالراديان أو بالدرجات، وإيجاد طول نصف القطر ‪𝑟‬‏.

عند التعامل مع القياسات بالدرجات، فإننا نحسب كلًا من المساحتين على حدة. مساحة القطاع تساوي ‪𝜃‬‏ على ‪360‬‏ مضروبًا في ‪𝜋𝑟‬‏ تربيع. ومساحة المثلث تساوي نصف ‪𝑟‬‏ تربيع في ‪sin 𝜃‬‏. أما عند التعامل مع القياسات بالراديان، فيمكننا التبسيط بأخذ عامل مشترك. ومن ثم، فإن مساحة القطعة الدائرية عندما تكون ‪𝜃‬‏ مقيسة بالراديان تساوي نصف ‪𝑟‬‏ تربيع مضروبًا في ‪𝜃‬‏ ناقص ‪sin 𝜃‬‏. وفي أي مسألة، يمكننا التحويل من وحدة قياس إلى أخرى استنادًا إلى حقيقة أن ‪180‬‏ درجة تساوي ‪𝜋‬‏ راديان، وبالتالي، ‪360‬‏ درجة تساوي اثنين ‪𝜋‬‏ راديان. وفي بعض المسائل، قد نحتاج أولًا إلى استخدام حساب المثلثات لإيجاد قياس الزاوية ‪𝜃‬‏.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.