نسخة الفيديو النصية
النمو السكاني بعد عدد ﻥ من الأيام يعطى بالعلاقة ﺩﻥ يساوي ١١ﻥ تربيع زائد ٣٥٩٢٣. أوجد معدل التغير اللحظي في النمو السكاني عندما يكون ﻥ يساوي ١٢.
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد معدل التغير اللحظي في النمو السكاني. ومطلوب منا إيجاد هذا المعدل عندما يكون ﻥ يساوي ١٢. وهذا يعني مشتقة دالة النمو السكاني ﺩﻥ بالنسبة إلى ﻥ عندما يكون ﻥ يساوي ١٢.
إننا نعلم من تعريف النهايات أن ﺩ شرطة ﺃ يساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ الكل مقسوم على ﻫ. في هذا السؤال، علينا حساب ﺩ شرطة لـ لـ ١٢ كما هو موضح. سنبدأ باستخدام التعبير الذي لدينا لـ ﺩﻥ لإيجاد تعبير لـ ﺩ ١٢ زائد ﻫ. وبالتعويض عن ﻥ بـ ١٢ زائد ﻫ، نحصل على ١١ مضروبًا في ١٢ زائد ﻫ تربيع زائد ٣٥٩٢٣. وبفك ١٢ زائد ﻫ تربيع، نحصل على ١٤٤ زائد ٢٤ﻫ زائد ﻫ تربيع. بضرب ما بين القوسين في ١١، يصبح لدينا ﺩلـ ١٢ زائد ﻫ يساوي ١٥٨٤ زائد ٢٦٤ﻫ زائد ١١ﻫ تربيع زائد ٣٥٩٢٣.
بعد ذلك، يمكننا إيجاد تعبير لـ ﺩ لـ لـ ١٢. وهذا يساوي ١١ مضروبًا في ١٢ تربيع زائد ٣٥٩٢٣. وحاصل ضرب ١١ في ١٢ تربيع هو ١٥٨٤. يمكننا الآن التعويض بهذين التعبيرين في التعبير الذي لدينا لـ ﺩ شرطة لـ لـ ١٢. وسيلغي الثابتان في البسط أحدهما الآخر. ويتبقى لدينا النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ٢٦٤ﻫ زائد ١١ﻫ تربيع الكل مقسوم على ﻫ. ونظرًا لأن ﻫ يقترب من صفر ومن ثم لن يساوي صفرًا أبدًا، فإنه يمكننا قسمة البسط والمقام على ﻫ. وبهذا نحصل على النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ٢٦٤ زائد ١١ﻫ.
بما أن لدينا كثيرة حدود بدلالة ﻫ، فإنه يمكننا استخدام التعويض المباشر؛ حيث يكون ﺩ شرطة لـ لـ ١٢ يساوي ٢٦٤. إذن، يمكننا استنتاج أن معدل التغير اللحظي في النمو السكاني عندما يكون ﻥ يساوي ١٢ هو ٢٦٤.
