فيديو السؤال: إيجاد متتابعة حسابية بمعلومية قيمة حد في هذه المتتابعة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد المتتابعة الحسابية التي فيها ﺡ٤٣ يساوي ٢٧٩، إذا كان ﺡ١١ المعكوس الجمعي للحد ﺡ١٣.

نبدأ بتذكر أن المتتابعة الحسابية هي متتابعة ذات فرق مشترك (أساس المتتابعة الحسابية) بين حدين متتاليين. نعلم من معطيات هذا السؤال أن الحد الـ ٤٣ في المتتابعة يساوي ٢٧٩. والحد الـ ١١ للمتتابعة هو المعكوس الجمعي للحد الـ ١٣. هذا يعني أن مجموع هذين الحدين يساوي صفرًا. إذن، الحد الـ ١١ زائد الحد الـ ١٣ يساوي صفرًا.

يمكن إيجاد الحد العام أو الحد النوني لمتتابعة حسابية باستخدام الصيغة ﺡﻥ يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ، حيث ﺃ هو الحد الأول في المتتابعة، وﺩ هو الفرق المشترك. ومن ثم، يمكن كتابة الحد الـ ٤٣ على الصورة ﺃ زائد ٤٣ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. ويمكن تبسيط ذلك إلى ﺃ زائد ٤٢ﺩ، ونحن نعلم أن هذا يساوي ٢٧٩. سنسمي هذه بالمعادلة الأولى.

باستخدام الصيغة العامة، يمكن كتابة الحد الـ ١١ على الصورة ﺃ زائد ١٠ﺩ. والحد الـ ١٣ هو ﺃ زائد ١٢ﺩ. هذا يعطينا معادلة أخرى وهي: ﺃ زائد ١٠ﺩ زائد ﺃ زائد ١٢ﺩ يساوي صفرًا. بجمع الحدود المتشابهة، نحصل على اثنان ﺃ زائد ٢٢ﺩ يساوي صفرًا. يمكننا بعد ذلك القسمة على اثنين، وهو ما يعطينا ﺃ زائد ١١ﺩ يساوي صفرًا. سنسمي هذه بالمعادلة الثانية.

أصبح لدينا الآن معادلتان آنيتان، ويمكننا استخدامهما لحساب قيمتي ﺩ وﺃ. سنطرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى. ‏ﺃ ناقص ﺃ يساوي صفرًا، و٤٢ﺩ ناقص ١١ﺩ يساوي ٣١ﺩ. نبسط الطرف الأيمن إلى ٣١ﺩ، وهذا يساوي ٢٧٩. بقسمة كلا طرفي هذه المعادلة على ٣١، نحصل على ﺩ يساوي تسعة. يمكننا الآن التعويض بقيمة ﺩ هذه في إحدى المعادلتين. في هذه الحالة، سنختار المعادلة الثانية. هذا يعطينا ﺃ زائد ١١ مضروبًا في تسعة يساوي صفرًا. ‏١١ مضروبًا في تسعة يساوي ٩٩. يمكننا بعد ذلك طرح تلك القيمة من كلا طرفي المعادلة، فنحصل على ﺃ يساوي سالب ٩٩. الحد الأول في المتتابعة الحسابية يساوي سالب ٩٩، والفرق المشترك لها هو تسعة.

إذن، يمكننا استنتاج أن المتتابعة الحسابية التي يكون فيها الحد الـ ٤٣ يساوي ٢٧٩، والحد الـ ١١ هو المعكوس الجمعي للحد الـ ١٣؛ هي: سالب ٩٩، سالب ٩٠، سالب ٨١، وهكذا.