فيديو الدرس: إيجاد المتتابعة الحسابية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد المتتابعات الحسابية بمعلومية بعض المعلومات عن حدودها والعلاقات بينها. لعلنا نتذكر أن المتتابعة الحسابية أو المتتالية الحسابية هي تسلسل من الأعداد حيث يكون الفرق بين أي حدين متتاليين في المتتابعة ثابتًا. ويسمى هذا الفرق الثابت بالفرق المشترك أو أساس المتتابعة الحسابية. إذا كان للمتتابعة عدد محدد من الحدود، فإننا نسميها متتابعة حسابية منتهية. وإذا كان الأمر بخلاف ذلك، فيمكننا القول إنها متتابعة حسابية فقط. دعونا نتناول مثالًا على ذلك.

إذا كان الحد الأول في المتتابعة الحسابية لدينا هو ١٠٠، والفرق المشترك بين أي حدين هو سالب خمسة، فسيكون بإمكاننا إيجاد الحد التالي في المتتابعة. سنسمي الحد الأول في المتتابعة ﺡ واحد والحد الثاني ﺡ اثنين. بما أن الفرق بين الحدين الثاني والأول يساوي سالب خمسة، فإن ﺡ اثنين ناقص ١٠٠ يساوي سالب خمسة. وبإضافة ١٠٠ إلى طرفي هذه المعادلة، نجد أن ﺡ اثنين يساوي سالب خمسة زائد ١٠٠. إذن، ﺡ اثنين؛ أي الحد الثاني في المتتابعة الحسابية لدينا، يساوي ٩٥.

يمكننا الاستمرار على هذا النمط لإيجاد عدد لا نهائي من حدود المتتابعة. وهذا يكافئ القول إنه يمكننا إيجاد الحد التالي في المتتابعة بإضافة الفرق المشترك إلى الحد السابق. وعليه، فإن ﺡ اثنين يساوي ﺡ واحد زائد ﺩ. وﺡ ثلاثة؛ أي الحد الثالث، يساوي ﺡ اثنين؛ وهو الحد الثاني، زائد الفرق المشترك ﺩ. وﺡ أربعة يساوي ﺡ ثلاثة زائد ﺩ. ويستمر النمط هكذا.

إذا أشرنا إلى الحد النوني في أي متتابعة حسابية بـ ﺡﻥ، فسيكون بإمكاننا إيجاد صيغة للحد النوني لهذه المتتابعة الحسابية. بالعودة إلى تعبيري ﺡ اثنين وﺡ ثلاثة، نلاحظ أنه بما أن ﺡ اثنين يساوي ﺡ واحد زائد ﺩ، فإن ﺡ ثلاثة سيساوي ﺡ واحد زائد ﺩ زائد ﺩ. وبتبسيط ذلك، نجد أن ﺡ ثلاثة يساوي ﺡ واحد زائد اثنين ﺩ. وبالاستمرار بهذا النمط، نجد أن ﺡ أربعة يساوي ﺡ واحد زائد ثلاثة ﺩ. إذن، صيغة الحد النوني لمتتابعة حسابية الفرق المشترك فيها ﺩ وحدها الأول ﺡ واحد هي ﺡﻥ يساوي ﺡ واحد زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ.

سنستخدم الآن هذه الصيغة لإيجاد معلومات عن بعض المتتابعات الحسابية باستخدام حدود المتتابعة. دعونا نبدأ بتناول بعض الأمثلة على إيجاد متتابعة حسابية بمعلومية بعض المعلومات عن حدودها.

أوجد المتتابعة الحسابية المنتهية ﺡﻥ، إذا كان ﺡ واحد يساوي سالب ٨٢، وﺡ١٢ يساوي سالب ٢٠٣، والحد الثاني عشر بدءًا من نهاية المتتابعة يساوي سالب ١١٥.

سنبدأ بتذكر أنه بما أن المتتابعة الحسابية منتهية، فهذا يعني أنها تحتوي على عدد محدد من الحدود. ونتذكر أيضًا أن المتتابعة الحسابية هي تسلسل من الأعداد حيث يكون الفرق بين أي حدين متتاليين فيها ثابتًا. ويعرف هذا بالفرق المشترك. لأي متتابعة حسابية، تنص صيغة الحد النوني على أن ﺡﻥ يساوي ﺡ واحد زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ؛ حيث ﺡﻥ هو الحد النوني، وﺡ واحد هو الحد الأول، وﺩ هو الفرق المشترك.

في هذا السؤال، علمنا من المعطيات أن ﺡ واحد؛ أي الحد الأول، يساوي سالب ٨٢. والحد الثاني عشر، ﺡ١٢، يساوي سالب ٢٠٣. باستخدام الصيغة العامة، نجد أن ﺡ١٢ يساوي ﺡ واحد زائد ١٢ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. وبالتعويض بقيمتي ﺡ١٢ وﺡ واحد، نحصل على المعادلة سالب ٢٠٣ يساوي سالب ٨٢ زائد ١١ﺩ. بإضافة ٨٢ إلى طرفي هذه المعادلة، نجد أن ١١ﺩ يساوي سالب ١٢١. وبقسمة طرفي هذه المعادلة على ١١، نحصل على ﺩ يساوي سالب ١١. إذن، الفرق المشترك في هذه المتتابعة المنتهية هو سالب ١١.

بما أننا نعرف الآن الحد الأول والفرق المشترك، لم يتبق لنا سوى إيجاد قيمة الحد الأخير في المتتابعة الحسابية المنتهية. ولكي نتمكن من ذلك، سنستعين بحقيقة أن الحد الثاني عشر بدءًا من نهاية المتتابعة يساوي سالب ١١٥. إذا افترضنا أن ﺡﻝ هو الحد الأخير، فعندئذ يمكن كتابة المتتابعة كما هو موضح. هذا يعني أن ﺡﻝ ناقص واحد هو الحد الثاني بدءًا من نهاية المتتابعة، أو الحد قبل الأخير. وﺡﻝ ناقص اثنين هو الحد الثالث بدءًا من نهاية المتتابعة. ويمكننا الاستمرار بالنمط نفسه حتى نستنتج أن ﺡﻝ ناقص ١١ سيكون هو الحد الثاني عشر بدءًا من نهاية المتتابعة.

باستخدام الصيغة العامة مرة أخرى، نجد أن هذا يساوي ﺡ واحد زائد ﻝ ناقص ١١ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. بالتعويض بقيم ﺡﻝ ناقص ١١ وﺡ واحد وﺩ، نحصل على المعادلة سالب ١١٥ يساوي سالب ٨٢ زائد ﻝ ناقص ١٢ مضروبًا في سالب ١١. يمكننا إضافة ٨٢ إلى طرفي هذه المعادلة بحيث يصبح لدينا سالب ٣٣ يساوي ﻝ ناقص ١٢ مضروبًا في سالب ١١. وبقسمة طرفي هذه المعادلة على سالب ١١، نحصل على ثلاثة يساوي ﻝ ناقص ١٢. يمكننا بعد ذلك إضافة ١٢ إلى طرفي هذه المعادلة، لنجد أن ﻝ يساوي ١٥.

نستنتج من ذلك أن المتتابعة تتكون من ١٥ حدًّا. والحد الخامس عشر أو الأخير، ﺡ١٥، يساوي سالب ٨٢ زائد ١٥ ناقص واحد مضروبًا في سالب ١١. ‏١٥ ناقص واحد يساوي ١٤. وبضرب هذا في سالب ١١ نحصل على سالب ١٥٤. سالب ٨٢ ناقص ١٥٤ يساوي سالب ٢٣٦. بعد إفراغ بعض المساحة، يمكننا تلخيص ما توصلنا إليه. الفرق المشترك في هذه المتتابعة هو سالب ١١، والحد الأول فيها يساوي سالب ٨٢، والحد الأخير يساوي سالب ٢٣٦. إذن، المتتابعة الحسابية المنتهية ﺡﻥ تحتوي على الحدود سالب ٨٢، سالب ٩٣، سالب ١٠٤، وهكذا، وحدها الأخير هو سالب ٢٣٦.

في المثال التالي، سنحل مسألة باستخدام المعادلات الآنية.

أوجد المتتابعة الحسابية التي فيها مجموع الحدين الأول والثالث يساوي سالب ١٤٢، ومجموع الحدين الثالث والرابع يساوي سالب ١٥١.

في هذا السؤال، لدينا معلومتان عن المتتابعة. أولًا، مجموع الحدين الأول والثالث يساوي سالب ١٤٢. وثانيًا، مجموع الحدين الثالث والرابع يساوي سالب ١٥١. بما أننا نتعامل مع متتابعة حسابية، علينا أن نتذكر أن الحد النوني، ﺡﻥ، يساوي ﺡ واحد زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ؛ حيث ﺡ واحد هو الحد الأول للمتتابعة، وﺩ هو الفرق المشترك.

في هذا السؤال، علينا التفكير في الحد الأول والحد الثالث والحد الرابع في المتتابعة. الحد الأول يساوي ﺡ واحد. والحد الثالث يساوي ﺡ واحد زائد اثنين ﺩ. والحد الرابع يساوي ﺡ واحد زائد ثلاثة ﺩ. هذا يعني أن لدينا معادلتين. الأولى هي ﺡ واحد زائد ﺡ واحد زائد اثنين ﺩ يساوي سالب ١٤٢. والثانية هي ﺡ واحد زائد اثنين ﺩ زائد ﺡ واحد زائد ثلاثة ﺩ يساوي سالب ١٥١.

سنبسط المعادلة الأولى إلى اثنين ﺡ واحد زائد اثنين ﺩ يساوي سالب ١٤٢. وسنسمي هذه بالمعادلة رقم واحد. وسنبسط المعادلة الثانية إلى اثنين ﺡ واحد زائد خمسة ﺩ يساوي سالب ١٥١. وسنسمي هذه بالمعادلة رقم اثنين. لدينا الآن زوج من المعادلات الآنية يمكننا حله إما بالتعويض أو بالحذف. في هذا السؤال، سنحل عن طريق الحذف بطرح المعادلة رقم واحد من المعادلة رقم اثنين. اثنان ﺡ واحد ناقص اثنين ﺡ واحد يساوي صفرًا، وخمسة ﺩ ناقص اثنين ﺩ يساوي ثلاثة ﺩ.

في الطرف الأيسر، سنطرح سالب ١٤٢ من سالب ١٥١ وهو ما يعطينا سالب تسعة. وبما أن ثلاثة ﺩ يساوي سالب تسعة، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على ثلاثة، لنحصل على ﺩ يساوي سالب ثلاثة. إذن، الفرق المشترك في هذه المتتابعة الحسابية يساوي سالب ثلاثة. يمكننا الآن التعويض بقيمة ﺩ هذه في المعادلة رقم واحد أو المعادلة رقم اثنين. بالتعويض بـ ﺩ يساوي سالب ثلاثة في المعادلة رقم واحد، نحصل على اثنين ﺡ واحد زائد اثنين مضروبًا في سالب ثلاثة يساوي سالب ١٤٢. ويبسط ذلك إلى اثنين ﺡ واحد ناقص ستة يساوي سالب ١٤٢. يمكننا بعد ذلك إضافة ستة إلى طرفي هذه المعادلة. وأخيرًا، بقسمة الطرفين على اثنين، نحصل على ﺡ واحد يساوي سالب ٦٨.

الحد الأول في المتتابعة الحسابية هو سالب ٦٨، والفرق المشترك هو سالب ثلاثة. إذن، نستنتج من ذلك أن هذه المتتابعة الحسابية تحتوي على القيم سالب ٦٨، سالب ٧١، سالب ٧٤، وهكذا.

في السؤال الأخير، سنوجد متتابعة حسابية بمعلومية مجموع حدين وحاصل ضرب حدين آخرين بها.

أوجد المتتابعة الحسابية التي فيها ﺡ اثنين زائد ﺡ أربعة يساوي سالب ٢٨، وﺡ ثلاثة مضروبًا في ﺡ خمسة يساوي ١٤٠.

في هذا السؤال، علمنا أن مجموع الحدين الثاني والرابع من المتتابعة الحسابية يساوي سالب ٢٨، وأن حاصل ضرب الحدين الثالث والخامس يساوي ١٤٠. سنبدأ بتذكر أن الحد النوني لأي متتابعة حسابية، ويكتب على الصورة ﺡﻥ، يساوي ﺡ واحد؛ أي الحد الأول، زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ؛ وهو الفرق المشترك. ومن ثم، يمكننا تكوين معادلتين تعبران عما لدينا من معطيات. أولًا، بما أن الحد الثاني هو ﺡ واحد زائد ﺩ، والحد الرابع هو ﺡ واحد زائد ثلاثة ﺩ، يصبح لدينا المعادلة ﺡ واحد زائد ﺩ زائد ﺡ واحد زائد ثلاثة ﺩ يساوي سالب ٢٨. ويمكن تبسيط هذا إلى اثنين ﺡ واحد زائد أربعة ﺩ يساوي سالب ٢٨.

وفي هذه المرحلة، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على اثنين. وعليه، تصبح المعادلة لدينا ﺡ واحد زائد اثنين ﺩ يساوي سالب ١٤. بطرح اثنين ﺩ من طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﺡ واحد يساوي سالب ١٤ ناقص اثنين ﺩ. سنسمي هذه بالمعادلة رقم واحد. بعد ذلك، سنستعين بحقيقة أن ﺡ ثلاثة مضروبًا في ﺡ خمسة يساوي ١٤٠. بما أن الحد الثالث، ﺡ ثلاثة، يساوي ﺡ واحد زائد اثنين ﺩ، والحد الخامس، ﺡ خمسة، يساوي ﺡ واحد زائد أربعة ﺩ، فإننا نعلم أن حاصل ضرب هذين التعبيرين هو ١٤٠.

يمكننا هنا فك هذه الأقواس. لكن توجد طريقة بديلة لذلك؛ وهي التعويض بقيمة ﺡ واحد في هذه المعادلة. بالتعويض عن ﺡ واحد بسالب ١٤ ناقص اثنين ﺩ، يصبح لدينا سالب ١٤ ناقص اثنين ﺩ زائد اثنين ﺩ مضروبًا في سالب ١٤ ناقص اثنين ﺩ زائد أربعة ﺩ يساوي ١٤٠. سالب اثنين ﺩ زائد اثنين ﺩ يساوي صفرًا. وسالب اثنين ﺩ زائد أربعة ﺩ يساوي اثنين ﺩ. إذن، يتبقى لنا سالب ١٤ مضروبًا في سالب ١٤ زائد اثنين ﺩ يساوي ١٤٠.

يمكننا قسمة طرفي هذه المعادلة على سالب ١٤ ليصبح لدينا سالب ١٤ زائد اثنين ﺩ يساوي سالب ١٠. وبإضافة ١٤ إلى الطرفين، نجد أن اثنين ﺩ يساوي أربعة. وأخيرًا، بقسمة طرفي هذه المعادلة على اثنين، نجد أن ﺩ يساوي اثنين. يمكننا الآن التعويض بقيمة الفرق المشترك هذه في المعادلة رقم واحد لإيجاد قيمة الحد الأول؛ أي ﺡ واحد. ‏ﺡ واحد يساوي سالب ١٤ ناقص اثنين مضروبًا في اثنين. وهذا يساوي سالب ١٨. بما أن الحد الأول في المتتابعة هو سالب ١٨ والفرق المشترك هو اثنان، فإن المتتابعة الحسابية تتضمن سالب ١٨، سالب ١٦، سالب ١٤، وهكذا.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. المتتابعة الحسابية هي متتابعة يكون الفرق بين أي حدين متتاليين فيها ثابتًا. ويعرف ذلك بأنه «الفرق المشترك». يمكن إيجاد الحد النوني في متتابعة حسابية حدها الأول ﺡ واحد والفرق المشترك فيها ﺩ باستخدام الصيغة ﺡﻥ يساوي ﺡ واحد زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. عرفنا في هذا الفيديو أنه يمكننا استخدام هذه الصيغة لوضع تعبير يصف أي حد في المتتابعة الحسابية بدلالة الحد الابتدائي، أو الحد الأول، والفرق المشترك. وبعد ذلك، إذا استطعنا تكوين معادلتين في هذين المتغيرين، فسنتمكن من حلهما باعتبارهما معادلتين آنيتين لحساب قيمتي ﺡ واحد وﺩ.