شارح الدرس: إيجاد المتتابعة الحسابية الرياضيات

مثال ١: إيجاد متتابعة حسابية بمعلومية حدين غير متتاليين

أوجد المتتابعة الحسابية المنتهية علمًا بأن ، ، والحد الثاني عشر بدءًا من نهاية المتتابعة يساوي .

الحل

نحن نريد إيجاد تعبير يدل على متتابعة حسابية منتهية باستخدام معطيات عن حدودها. نتذكر أن المتتابعة الحسابية هي تسلسل من الأعداد يكون فيه الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا، ويسمى أساس المتتابعة الحسابية.

لإيجاد تعبير يدل على هذه المتتابعة الحسابية المنتهية، علينا إيجاد الحد الأول، والحد الأخير، وأساس المتتابعة. نبدأ بتذكر صيغة للحد في متتابعة حسابية بها الحد الأول وأساسها :

السؤال يخبرنا أن ، ، ويمكننا التعويض بـ في هذه الصيغة:

بعد ذلك، يمكننا استخدام قيمتي ، :

يمكننا الآن إعادة الترتيب لإيجاد قيمة :

أصبحنا الآن نعرف الحد الأول من هذه المتتابعة الحسابية المنتهية، ، وأساسها، . ما زال علينا إيجاد الحد الأخير في هذه المتتابعة الحسابية. لإيجاد الحد الأخير في هذه المتتابعة، سنستخدم حقيقة أن الحد الثاني عشر من نهاية المتتابعة يساوي .

لإيجاد الحد الأخير، دعونا نعرف المقصود بالحد الثاني عشر من نهاية المتتابعة. لنفترض أن سيكون الحد الأخير، فإن المتتابعة الحسابية ستكون:

سيكون الحد الثاني بدءًا من نهاية المتتابعة؛ لأنه الحد قبل الأخير.

كما أن سيكون الحد الثالث بدءًا من نهاية المتتابعة؛ ومن ثَمَّ يمكننا الاستمرار في ذلك حتى نجد أن سيكون الحد الثاني عشر بدءًا من نهاية المتتابعة. وعليه:

نعوض عن ، ، بالقيم لدينا لكي نحصل على:

وبذلك، فإن المتتابعة تتضمن ١٥ حدًّا؛ ومن ثَمَّ يمكننا إيجاد الحد الأخير:

إذن، الحد الأول في هذه المتتابعة هو ، والحد الأخير يساوي ، وأساس المتتابعة يساوي ؛ ما يعطينا المتتابعة .

مثال ٢: إيجاد متتابعة حسابية بمعلومية مجموع حدودها

أوجد المتتابعة الحسابية التي فيها مجموع الحدين الأول والثالث يساوي ، ومجموع الحدين الثالث والرابع يساوي .

الحل

نريد إيجاد تعبير لمتتابعة حسابية منتهية باستخدام بعض المعطيات حول حدودها. نحن نعلم أن المتتابعة الحسابية هي تسلسل من الأعداد يكون فيه الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا، ويسمى أساس المتتابعة الحسابية.

الحد في أي متتابعة حسابية بها الحد الأول وأساسها يُعطى بالعلاقة:

ولقد عرفنا من السؤال أن ، . يمكننا استخدام هذه الصيغة لكتابة ، بدلالة ، :

بالتعويض عن بهذا التعبير في المجموع الأول، نحصل على:

يمكننا إجراء الشيء نفسه مع تعبير :

لدينا الآن معادلتان خطيتان في متغيرين؛ حيث يمكننا حل هذا النظام عن طريق حذف أحد المتغيرين. بإعادة ترتيب المعادلة الأولى، نحصل على:

ثم نعوض بذلك في المعادلة الثانية:

يمكننا بعد ذلك استخدام هذا لإيجاد قيمة :

إذن، الحد الأول في المتتابعة يساوي ، أساسها يساوي ؛ ما يعطينا المتتابعة .

مثال ٣: إيجاد متتابعة حسابية بمعلومية مجموع وحاصل ضرب حدين

أوجد المتتابعة الحسابية التي ، .

الحل

في المتتابعة الحسابية، يكون الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا، ويسمى أساس المتتابعة.

ونحن نعلم أن الحد لأي متتابعة حسابية الحد الأول بها يساوي وأساسها يساوي يُعطى بالعلاقة:

يمكننا استخدام ذلك لإيجاد تعبيرات للحدود الأربعة المعطاة لنا في السؤال:

يمكننا التعويض بعد ذلك بهذه التعبيرات في المعادلتين المعطاتين لنا.

أولًا:

ثانيًا:

ومن ثَمَّ، أصبح لدينا معادلتان في متغيرين؛ حيث يمكننا حلهما عن طريق حذف أحد المتغيرين. سنبدأ بإعادة ترتيب معادلة منهما لإيجاد بدلالة :

بعد ذلك، يمكننا التعويض بهذا في المعادلة الأخرى:

ثم يمكننا التعويض بالقيمة لإيجاد قيمة :

إذن، الحد الأول في هذه المتتابعة يساوي ، وأساسها يساوي ٢؛ ما يعطينا المتتابعة .

مثال ٤: إيجاد متتابعة حسابية بمعلومية علاقات بين حدودها

أوجد المتتابعة الحسابية التي فيها ، إذا كان المعكوس الجمعي للحد .

الحل

في أي متتابعة حسابية، يكون الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا، ويسمى أساس المتتابعة الحسابية. يمكننا إيجاد أي متتابعة حسابية من خلال حدها الأول وأساسها.

نحن نعلم أن الحد لأي متتابعة حسابية حدها الأول وأساسها يُعطى بالعلاقة:

بالتعويض بالقيمة في هذه الصيغة، يمكننا استخدام ذلك لإيجاد تعبير للحد :

يخبرنا هذا السؤال أن ، إذن:

بعد ذلك، نريد استخدام حقيقة أن معكوس جمعي للحد . نتذكر أن أي عددين يكون أحدهما معكوسًا جمعيًّا للآخر إذا كان مجموعهما يساوي صفرًا. إذن:

يمكننا إيجاد تعبيرين لهذين الحدين عن طريق التعويض بالقيمتين ، في الصيغة لدينا:

ونظرًا لأن هذين أحدهما معكوس جمعي للآخر، فلا بد أن مجموع هذين التعبيرين معًا يساوي صفرًا:

تذكر أننا أوضحنا بالفعل أن:

هذا يعني أن لدينا معادلتين في مجهولين؛ ومن ثَمَّ يمكننا حلهما بطرح إحدى المعادلتين من المعادلة الأخرى:

يمكننا إذن إيجاد قيمة :

ثم يمكننا استخدام تلك القيمة لإيجاد :

إذن، الحد الأول في هذه المتتابعة يساوي ، وأساسها يساوي ٩؛ ما يعطينا المتتابعة .

مثال ٥: إيجاد المتتابعة الحسابية وفقًا لشرط معين

أوجد المتتابعة الحسابية التي حدها العشرون هو ٢٨، إذا كان مجموع حديها الثالث والسادس أكبر من حدها التاسع بمقدار ٨.

الحل

نحن نريد إيجاد متتابعة حسابية. ولكي نفعل ذلك، سنبدأ بتذكر أن أي متتابعة حسابية يكون الفرق فيها بين أي حدين متتاليين ثابتًا، ويسمى أساس المتتابعة الحسابية. ونعلم أيضًا أن أي متتابعة حسابية حدها الأول وأساسها ، يمكن إيجاد الحد لها باستخدام الصيغة التالية:

يخبرنا السؤال أن الحد العشرين يساوي ٢٨، ويمكننا إيجاد ذلك بالتعويض بالقيمة :

يمكننا أيضًا إيجاد تعبيرات للحد الثالث، والسادس، والتاسع:

ولقد علمنا من السؤال أن ؛ ومن ثَمَّ يمكننا التعويض بهذه التعبيرات في هذه المعادلة لنحصل على:

تذكر أننا قد أوضحنا بالفعل أن:

هذا يعني أن لدينا معادلتين آنيتين في مجهولين. يمكننا حل هاتين المعادلتين بحذف أحد المتغيرين:

ومن ثَمَّ، فإن . بالتعويض بهذه القيمة في إحدى المعادلتين الآنيتين، نحصل على:

إذن، الحد الأول في هذه المتتابعة الحسابية يساوي ٩، وأساسها يساوي ١. وبذلك، نجد أن المتتابعة هي: .

مثال ٦: إيجاد متتابعة حسابية بمعلومية العلاقات بين حاصل ضرب حدودها

أوجد المتتابعة الحسابية علمًا بأن ، ، وأن جميع الحدود موجبة.

الحل

إننا نريد التعبير عن متتابعة حسابية باستخدام معطيات لدينا عن حدودها. نتذكر أن المتتابعة الحسابية هي تسلسل من الأعداد يكون فيه الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا، ويسمى أساس المتتابعة الحسابية.

ونعلم أيضًا أن الحد لأي متتابعة حسابية حدها الأول ، وأساسها يُعطى بالعلاقة:

يمكننا استخدام ذلك لإيجاد تعبيرات لجميع الحدود المستخدمة في المعادلتين المعطاتين لنا في السؤال:

نعوض بعد ذلك بهذه التعبيرات في كل معادلة.

المعادلة الأولى:

المعادلة الثانية:

وبفك جميع الأقواس وبالتبسيط، نحصل على:

يمكننا التعويض بقيمة في المعادلة الأولى:

والآن، بما أننا نعلم أن جميع حدود المتتابعة موجبة، يمكننا إيجاد عن طريق أخذ الجذر التربيعي الموجب:

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذه القيمة في المعادلة لإيجاد قيمة :

إذن، الحد الأول في هذه المتتابعة الحسابية يساوي ٢٨، وأساسها يساوي ٣. بذلك، نجد أن المتتابعة هي .

مثال ٧: إيجاد متتابعة حسابية بمعلومية حد وعلاقة تكرارية

أوجد المتتابعة الحسابية التي فيها ، .

الحل

نحن نريد إيجاد متتابعة حسابية. لكي نفعل ذلك، يمكننا البدء بتذكر أنه في أي متتابعة حسابية يكون الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا، ويُسمى أساس المتتابعة الحسابية. ونعلم أيضًا أن في أي متتابعة حسابية حدها الأول وأساسها ، يمكن إيجاد الحد باستخدام الصيغة التالية:

يمكننا استخدام ذلك لإيجاد تعبيرين لكل من ، بدلالة ، ، :

في هذا السؤال، لدينا ، وهذا يعطينا:

بعد ذلك:

يمكننا التعويض بهذين التعبيرين في المعادلة المعطاة لنا في السؤال:

ومن ثَمَّ، فإن الحد الأول في هذه المتتابعة يساوي ١٣، وأساسها يساوي ١٣؛ ما يعطينا المتتابعة .

مثال ٨: إيجاد المتتابعة الحسابية وفقًا لشرط معين

حدد المتتابعة الحسابية التي فيها ، .

الحل

إننا نعلم أنه في أي متتابعة حسابية يكون الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا. ويمكننا إيجاد أي متتابعة حسابية من خلال حدها الأول وأساسها؛ حيث إن الحد لأي متتابعة حسابية حدها الأول وأساسها يُعطى بالعلاقة:

باستخدام هذه الصيغة، يمكننا إيجاد تعبيرات لكل حد في المعادلتين المعطاتين لنا في السؤال:

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذه التعبيرات في المعادلتين المعطاتين لنا في السؤال.

المعادلة الأولى:

المعادلة الثانية:

هذا يعطينا معادلتين في مجهولين، ويمكننا حلهما بحذف أحد المتغيرين. يمكننا إعادة ترتيب المعادلة الأولى لتصبح:

بعد ذلك، نعوض بتعبير هذا في المعادلة الثانية:

وأخيرًا، نعوض بقيمة هذه في إحدى المعادلات لدينا لإيجاد الحد الأول في المتتابعة:

ومن ثَمَّ، فإن الحد الأول من هذه المتتابعة الحسابية يساوي ، وأساسها يساوي ٩. وبذلك، نجد أن المتتابعة هي .