شارح الدرس: إيجاد المتتابعة الحسابية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجد المتتابعات الحسابية بمعلومية بعض المعلومات عن حدودها والعلاقات بينها.

إننا نعلم أن المتتابعة الحسابية أو المتوالية الحسابية هي تسلسل من الأعداد بحيث يكون الفرق بين أي حدين متتاليين في المتتابعة ثابتًا. نطلق على هذا الفرق الثابت اسم «أساس المتتابعة الحسابية».

إذا كان للمتتابعة عدد محدد من الحدود، فإننا نسميها متتابعة حسابية منتهية، أو نشير إليها باعتبارها متتابعة حسابية فقط.

على سبيل المثال، إذا كان الحد الأول في المتتابعة الحسابية هو ١٠٠، والفرق المشترك بين أي حدين متتالين في المتتابعة هو ٥، فيمكننا إيجاد الحد التالي في المتتابعة.

وبالإشارة إلى الحد الثاني في المتتابعة بالرمز 𞸇٢، لا بد أن يكون الفرق بين الحدين الأول والثاني ٥. إذن: 𞸇٠٠١=٥𞸇=٥+٠٠١𞸇=٥٩.٢٢٢

يمكننا الاستمرار في ذلك لإيجاد عدد لا نهائي من حدود المتتابعة.

وهذا يماثل قولنا إننا نوجد الحد التالي في المتتابعة بإضافة أساسها إلى الحد السابق.

يمكننا أيضًا استخدام هذه العملية نفسها مع أي متتابعة حسابية. إذا رمزنا إلى الحد ا في أي متتابعة حسابية بالرمز 𞸇𞸍 وإلى أساسها بالرمز 𞸃؛ بحيث يكون أول حد في المتتابعة 𞸇١، فيمكننا إيجاد صيغة للحد ا لهذه المتتابعة الحسابية.

بما أن الفرق بين أي حدين متتاليين لا بد أن يساوي أساس المتتابعة الحسابية 𞸃، فإن الفرق بين الحدين الأول والثاني في المتتابعة يجب أن يكون 𞸃: 𞸇𞸇=𞸃.٢١

وبإعادة ترتيب ذلك نحصل على: 𞸇=𞸇+𞸃.٢١

يتحقق الأمر نفسه إذا أخذنا الفرق بين الحدين الثاني والثالث: 𞸇𞸇=𞸃𞸇=𞸃+𞸇.٣٢٣٢

بعد ذلك، يمكننا التعويض في هذا التعبير عن 𞸇٢: 𞸇=𞸃+𞸇+𞸃𞸇=𞸇+٢𞸃.٣١٣١

بعبارة أخرى، للحصول على الحد الثالث في المتتابعة الحسابية، نأخذ الحد الأول ثم نجمع أساس المتتابعة الحسابية مرتين. هذه العملية ستستمر لأي عدد من الحدود، ليكن ا، وبذلك نحصل على التعبير التالي للحد ا في المتتابعة الحسابية: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃.𞸍١

يمكننا تلخيص ذلك كما يلي.

تعريف: المتتابعات الحسابية

المتتابعة أو المتوالية الحسابية هي تسلسل من الأعداد يكون فيه الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا.

الحد ا لمتتابعة حسابية أساسها 𞸃 والحد الأول هو 𞸇١ يُعطى بالعلاقة: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃.𞸍١

يمكننا استخدام هذه الصيغة لتحديد بعض المعلومات عن المتتابعات الحسابية باستخدام حدود المتتابعة. لنر بعض الأمثلة على إيجاد متتابعة حسابية بمعلومية بعض المعلومات عن حدودها.

مثال ١: إيجاد متتابعة حسابية بمعلومية حدين غير متتاليين

أوجد المتتابعة الحسابية المنتهية 𞸇𞸍 علمًا بأن 𞸇=٢٨١، 𞸇=٣٠٢٢١، والحد الثاني عشر بدءًا من نهاية المتتابعة يساوي ٥١١.

الحل

نحن نريد إيجاد تعبير يدل على متتابعة حسابية منتهية باستخدام معطيات عن حدودها. نتذكر أن المتتابعة الحسابية هي تسلسل من الأعداد يكون فيه الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا، ويسمى أساس المتتابعة الحسابية.

لإيجاد تعبير يدل على هذه المتتابعة الحسابية المنتهية، علينا إيجاد الحد الأول، والحد الأخير، وأساس المتتابعة. نبدأ بتذكر صيغة للحد ا في متتابعة حسابية بها الحد الأول 𞸇١ وأساسها 𞸃: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃.𞸍١

السؤال يخبرنا أن 𞸇=٢٨١، 𞸇=٣٠٢٢١، ويمكننا التعويض بـ 𞸍=٢١ في هذه الصيغة: 𞸇=𞸇+(٢١١)𞸃=𞸇+١١𞸃.٢١١١

بعد ذلك، يمكننا استخدام قيمتي 𞸇١، 𞸇٢١: ٣٠٢=٢٨+١١𞸃.

يمكننا الآن إعادة الترتيب لإيجاد قيمة 𞸃: ٣٠٢+٢٨=١١𞸃١٢١=١١𞸃𞸃=١١.

أصبحنا الآن نعرف الحد الأول من هذه المتتابعة الحسابية المنتهية، 𞸇=٢٨١، وأساسها، 𞸃=١١. ما زال علينا إيجاد الحد الأخير في هذه المتتابعة الحسابية. لإيجاد الحد الأخير في هذه المتتابعة، سنستخدم حقيقة أن الحد الثاني عشر من نهاية المتتابعة يساوي ٥١١.

لإيجاد الحد الأخير، دعونا نعرف المقصود بالحد الثاني عشر من نهاية المتتابعة. لنفترض أن 𞸇𞸋 سيكون الحد الأخير، فإن المتتابعة الحسابية ستكون: 𞸇،𞸇،،𞸇،𞸇،𞸇.١٢𞸋٢𞸋١𞸋

𞸇𞸋١ سيكون الحد الثاني بدءًا من نهاية المتتابعة؛ لأنه الحد قبل الأخير.

كما أن 𞸇𞸋٢ سيكون الحد الثالث بدءًا من نهاية المتتابعة؛ ومن ثَمَّ يمكننا الاستمرار في ذلك حتى نجد أن 𞸇𞸋١١ سيكون الحد الثاني عشر بدءًا من نهاية المتتابعة. وعليه: 𞸇=𞸇+(𞸋١١١)𞸃=𞸇+(𞸋٢١)𞸃.𞸋١١١١

نعوض عن 𞸇١، 𞸃، 𞸇𞸋١١ بالقيم لدينا لكي نحصل على: ٥١١=٢٨+(𞸋٢١)(١١)٥١١+٢٨=(𞸋٢١)(١١)٣٣=(𞸋٢١)(١١)٣=𞸋٢١𞸋=٥١.

وبذلك، فإن المتتابعة تتضمن ١٥ حدًّا؛ ومن ثَمَّ يمكننا إيجاد الحد الأخير: 𞸇=٢٨+(٥١١)(١١)=٢٨٤٥١=٦٣٢.٥١

إذن، الحد الأول في هذه المتتابعة هو ٢٨، والحد الأخير يساوي ٦٣٢، وأساس المتتابعة يساوي ١١؛ ما يعطينا المتتابعة (٢٨،٣٩،٤٠١،،٦٣٢).

مثال ٢: إيجاد متتابعة حسابية بمعلومية مجموع حدودها

أوجد المتتابعة الحسابية التي فيها مجموع الحدين الأول والثالث يساوي ٢٤١، ومجموع الحدين الثالث والرابع يساوي ١٥١.

الحل

نريد إيجاد تعبير لمتتابعة حسابية منتهية باستخدام بعض المعطيات حول حدودها. نحن نعلم أن المتتابعة الحسابية هي تسلسل من الأعداد يكون فيه الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا، ويسمى أساس المتتابعة الحسابية.

الحد ا في أي متتابعة حسابية بها الحد الأول 𞸇١ وأساسها 𞸃 يُعطى بالعلاقة: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃.𞸍١

ولقد عرفنا من السؤال أن 𞸇+𞸇=٢٤١١٣، 𞸇+𞸇=١٥١٣٤. يمكننا استخدام هذه الصيغة لكتابة 𞸇٣، 𞸇٤ بدلالة 𞸇١، 𞸃: 𞸇=𞸇+٢𞸃𞸇=𞸇+٣𞸃.٣١٤١

بالتعويض عن 𞸇٣ بهذا التعبير في المجموع الأول، نحصل على: 𞸇+𞸇=٢٤١𞸇+󰁓𞸇+٢𞸃󰁒=٢٤١٢𞸇+٢𞸃=٢٤١𞸇+𞸃=١٧.١٣١١١١

يمكننا إجراء الشيء نفسه مع تعبير 𞸇٤: 𞸇+𞸇=١٥١󰁓𞸇+٢𞸃󰁒+󰁓𞸇+٣𞸃󰁒=١٥١٢𞸇+٥𞸃=١٥١.٣٤١١١

لدينا الآن معادلتان خطيتان في متغيرين؛ حيث يمكننا حل هذا النظام عن طريق حذف أحد المتغيرين. بإعادة ترتيب المعادلة الأولى، نحصل على: 𞸇+𞸃=١٧𞸇=١٧𞸃.١١

ثم نعوض بذلك في المعادلة الثانية: ٢𞸇+٥𞸃=١٥١٢(١٧𞸃)+٥𞸃=١٥١٢٤١٢𞸃+٥𞸃=١٥١٣𞸃=٩𞸃=٣.١

يمكننا بعد ذلك استخدام هذا لإيجاد قيمة 𞸇١: 𞸇+𞸃=١٧𞸇+(٣)=١٧𞸇=٨٦.١١١

إذن، الحد الأول في المتتابعة يساوي ٨٦، أساسها يساوي ٣؛ ما يعطينا المتتابعة (٨٦،١٧،٤٧،).

هيا نر الآن مثالًا لدينا فيه مجموع وحاصل ضرب حدين مختلفين في متتابعة حسابية.

مثال ٣: إيجاد متتابعة حسابية بمعلومية مجموع وحاصل ضرب حدين

أوجد المتتابعة الحسابية التي 𞸇+𞸇=٨٢٢٤، 𞸇×𞸇=٠٤١٣٥.

الحل

في المتتابعة الحسابية، يكون الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا، ويسمى أساس المتتابعة.

ونحن نعلم أن الحد ا لأي متتابعة حسابية الحد الأول بها يساوي 𞸇١ وأساسها يساوي 𞸃 يُعطى بالعلاقة: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃.𞸍١

يمكننا استخدام ذلك لإيجاد تعبيرات للحدود الأربعة المعطاة لنا في السؤال: 𞸇=𞸇+(٢١)𞸃=𞸇+𞸃،𞸇=𞸇+(٣١)𞸃=𞸇+٢𞸃،𞸇=𞸇+(٤١)𞸃=𞸇+٣𞸃،𞸇=𞸇+(٥١)𞸃=𞸇+٤𞸃.٢١١٣١١٤١١٥١١

يمكننا التعويض بعد ذلك بهذه التعبيرات في المعادلتين المعطاتين لنا.

أولًا: 𞸇+𞸇=٨٢󰁓𞸇+𞸃󰁒+󰁓𞸇+٣𞸃󰁒=٨٢٢𞸇+٤𞸃=٨٢𞸇+٢𞸃=٤١.٢٤١١١١

ثانيًا: 𞸇×𞸇=٠٤١󰁓𞸇+٢𞸃󰁒×󰁓𞸇+٤𞸃󰁒=٠٤١𞸇+٤𞸇𞸃+٢𞸇𞸃+٨𞸃=٠٤١𞸇+٦𞸇𞸃+٨𞸃=٠٤١.٣٥١١١٢١١٢١٢١٢

ومن ثَمَّ، أصبح لدينا معادلتان في متغيرين؛ حيث يمكننا حلهما عن طريق حذف أحد المتغيرين. سنبدأ بإعادة ترتيب معادلة منهما لإيجاد 𞸇١ بدلالة 𞸃: 𞸇+٢𞸃=٤١𞸇=٤١٢𞸃.١١

بعد ذلك، يمكننا التعويض بهذا في المعادلة الأخرى: 𞸇+٦𞸇𞸃+٨𞸃=٠٤١(٤١٢𞸃)+٦(٤١٢𞸃)𞸃+٨𞸃=٠٤١٦٩١+٦٥𞸃+٤𞸃٤٨𞸃٢١𞸃+٨𞸃=٠٤١٨٢𞸃=٦٥𞸃=٢.١٢١٢٢٢٢٢٢

ثم يمكننا التعويض بالقيمة 𞸃=٢ لإيجاد قيمة 𞸇١: 𞸇+٢𞸃=٤١𞸇+٢(٢)=٤١𞸇=٨١.١١١

إذن، الحد الأول في هذه المتتابعة يساوي ٨١، وأساسها يساوي ٢؛ ما يعطينا المتتابعة (٨١،٦١،٤١،).

في المثال التالي، سيكون لدينا حدان في متتابعة حسابية كل منهما معكوس جمعي للآخر. وسيكون علينا استخدام هذه المعلومة وقيمة حد آخر في المتتابعة لإيجاد المتتابعة بالكامل.

مثال ٤: إيجاد متتابعة حسابية بمعلومية علاقات بين حدودها

أوجد المتتابعة الحسابية التي فيها 𞸇=٩٧٢٣٤، إذا كان 𞸇١١ المعكوس الجمعي للحد 𞸇٣١.

الحل

في أي متتابعة حسابية، يكون الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا، ويسمى أساس المتتابعة الحسابية. يمكننا إيجاد أي متتابعة حسابية من خلال حدها الأول وأساسها.

نحن نعلم أن الحد ا لأي متتابعة حسابية حدها الأول 𞸇١ وأساسها 𞸃 يُعطى بالعلاقة: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃.𞸍١

بالتعويض بالقيمة 𞸍=٣٤ في هذه الصيغة، يمكننا استخدام ذلك لإيجاد تعبير للحد 𞸇٣٤: 𞸇=𞸇+(٣٤١)𞸃=𞸇+٢٤𞸃.٣٤١١

يخبرنا هذا السؤال أن 𞸇=٩٧٢٣٤، إذن: ٩٧٢=𞸇+٢٤𞸃.١

بعد ذلك، نريد استخدام حقيقة أن 𞸇١١ معكوس جمعي للحد 𞸇٣١. نتذكر أن أي عددين يكون أحدهما معكوسًا جمعيًّا للآخر إذا كان مجموعهما يساوي صفرًا. إذن: 𞸇+𞸇=٠.١١٣١

يمكننا إيجاد تعبيرين لهذين الحدين عن طريق التعويض بالقيمتين 𞸍=١١، 𞸍=٣١ في الصيغة لدينا: 𞸇=𞸇+٠١𞸃،𞸇=𞸇+٢١𞸃.١١١٣١١

ونظرًا لأن هذين أحدهما معكوس جمعي للآخر، فلا بد أن مجموع هذين التعبيرين معًا يساوي صفرًا: 𞸇+𞸇=٠𞸇+٠١𞸃+𞸇+٢١𞸃=٠٢𞸇+٢٢𞸃=٠𞸇+١١𞸃=٠.١١٣١١١١١

تذكر أننا أوضحنا بالفعل أن: ٩٧٢=𞸇+٢٤𞸃.١

هذا يعني أن لدينا معادلتين في مجهولين؛ ومن ثَمَّ يمكننا حلهما بطرح إحدى المعادلتين من المعادلة الأخرى: 𞸇+١١𞸃=٠(𞸇+٢٤𞸃=٩٧٢)١٣𞸃=٩٧٢١١

يمكننا إذن إيجاد قيمة 𞸃: ١٣𞸃=٩٧٢𞸃=٩.

ثم يمكننا استخدام تلك القيمة لإيجاد 𞸇١: 𞸇+١١𞸃=٠𞸇+١١(٩)=٠𞸇=٩٩.١١١

إذن، الحد الأول في هذه المتتابعة يساوي ٩٩، وأساسها يساوي ٩؛ ما يعطينا المتتابعة (٩٩،٠٩،١٨،).

في المثال التالي، مطلوب منا إيجاد متتابعة حسابية بمعلومية بعض المعلومات عن حدودها لفظيًّا وليس بصيغة رياضية.

مثال ٥: إيجاد المتتابعة الحسابية وفقًا لشرط معين

أوجد المتتابعة الحسابية التي حدها العشرون هو ٢٨، إذا كان مجموع حديها الثالث والسادس أكبر من حدها التاسع بمقدار ٨.

الحل

نحن نريد إيجاد متتابعة حسابية. ولكي نفعل ذلك، سنبدأ بتذكر أن أي متتابعة حسابية يكون الفرق فيها بين أي حدين متتاليين ثابتًا، ويسمى أساس المتتابعة الحسابية. ونعلم أيضًا أن أي متتابعة حسابية حدها الأول 𞸇١ وأساسها 𞸃، يمكن إيجاد الحد ا لها باستخدام الصيغة التالية: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃.𞸍١

يخبرنا السؤال أن الحد العشرين يساوي ٢٨، ويمكننا إيجاد ذلك بالتعويض بالقيمة 𞸍=٠٢: ٨٢=𞸇+(٠٢١)𞸃=𞸇+٩١𞸃.١١

يمكننا أيضًا إيجاد تعبيرات للحد الثالث، والسادس، والتاسع: 𞸇=𞸇+٢𞸃،𞸇=𞸇+٥𞸃،𞸇=𞸇+٨𞸃.٣١٦١٩١

ولقد علمنا من السؤال أن 𞸇+𞸇=𞸇+٨٣٦٩؛ ومن ثَمَّ يمكننا التعويض بهذه التعبيرات في هذه المعادلة لنحصل على: 𞸇+𞸇=𞸇+٨󰁓𞸇+٢𞸃󰁒+󰁓𞸇+٥𞸃󰁒=󰁓𞸇+٨𞸃󰁒+٨٢𞸇+٧𞸃=𞸇+٨𞸃+٨𞸇𞸃=٨.٣٦٩١١١١١١

تذكر أننا قد أوضحنا بالفعل أن: ٨٢=𞸇+٩١𞸃.١

هذا يعني أن لدينا معادلتين آنيتين في مجهولين. يمكننا حل هاتين المعادلتين بحذف أحد المتغيرين: 𞸇+٩١𞸃=٨٢(𞸇𞸃=٨)٠٢𞸃=٠٢١١

ومن ثَمَّ، فإن 𞸃=١. بالتعويض بهذه القيمة في إحدى المعادلتين الآنيتين، نحصل على: 𞸇١=٨𞸇=٩.١١

إذن، الحد الأول في هذه المتتابعة الحسابية يساوي ٩، وأساسها يساوي ١. وبذلك، نجد أن المتتابعة هي: (٩،٠١،١١،).

في المثال التالي، سنرى كيف نستخدم معلومات عن إشارات حدود المتتابعة لإيجاد متتابعة حسابية.

مثال ٦: إيجاد متتابعة حسابية بمعلومية العلاقات بين حاصل ضرب حدودها

أوجد المتتابعة الحسابية علمًا بأن 𞸇𞸇=٨٠٧١١٢١، 𞸇𞸇𞸇𞸇=٦٣٣٦١٣٧٦٢، وأن جميع الحدود موجبة.

الحل

إننا نريد التعبير عن متتابعة حسابية باستخدام معطيات لدينا عن حدودها. نتذكر أن المتتابعة الحسابية هي تسلسل من الأعداد يكون فيه الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا، ويسمى أساس المتتابعة الحسابية.

ونعلم أيضًا أن الحد ا لأي متتابعة حسابية حدها الأول 𞸇١، وأساسها 𞸃 يُعطى بالعلاقة: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃.𞸍١

يمكننا استخدام ذلك لإيجاد تعبيرات لجميع الحدود المستخدمة في المعادلتين المعطاتين لنا في السؤال: 𞸇=𞸇+١١𞸃،𞸇=𞸇+٥𞸃،𞸇=𞸇+٠٣𞸃،𞸇=𞸇+٦𞸃،𞸇=𞸇+٥٢𞸃.٢١١٦١١٣١٧١٦٢١

نعوض بعد ذلك بهذه التعبيرات في كل معادلة.

المعادلة الأولى: 𞸇𞸇=٨٠٧١𞸇󰁓𞸇+١١𞸃󰁒=٨٠٧١𞸇+١١𞸇𞸃=٨٠٧١.١٢١١١١٢١

المعادلة الثانية: 𞸇𞸇𞸇𞸇=٦٣٣󰁓𞸇+٥𞸃󰁒󰁓𞸇+٠٣𞸃󰁒󰁓𞸇+٦𞸃󰁒󰁓𞸇+٥٢𞸃󰁒=٦٣٣.٦١٣٧٦٢١١١١

وبفك جميع الأقواس وبالتبسيط، نحصل على: 𞸇+٠٣𞸇𞸃+٥𞸇𞸃+٠٥١𞸃𞸇٥٢𞸇𞸃٦𞸇𞸃٠٥١𞸃=٦٣٣٤𞸇𞸃=٦٣٣𞸇𞸃=٤٨.١٢١١٢١٢١١٢١١

يمكننا التعويض بقيمة 𞸇𞸃١ في المعادلة الأولى: 𞸇+١١𞸇𞸃=٨٠٧١𞸇+١١(٤٨)=٨٠٧١𞸇=٤٨٧.١٢١١٢١٢

والآن، بما أننا نعلم أن جميع حدود المتتابعة موجبة، يمكننا إيجاد 𞸇١ عن طريق أخذ الجذر التربيعي الموجب: 𞸇=󰋴٤٨٧=٨٢.١

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذه القيمة في المعادلة 𞸇𞸃=٤٨١ لإيجاد قيمة 𞸃: (٨٢)𞸃=٤٨𞸃=٣.

إذن، الحد الأول في هذه المتتابعة الحسابية يساوي ٢٨، وأساسها يساوي ٣. بذلك، نجد أن المتتابعة هي (٨٢،١٣،٤٣،).

في المثال التالي، سنوجد متتابعة حسابية بمعلومية معطيات عن حدودها المُعطاة على صورة علاقة تكرارية.

مثال ٧: إيجاد متتابعة حسابية بمعلومية حد وعلاقة تكرارية

أوجد المتتابعة الحسابية التي فيها 𞸇=٣١١، 𞸇=٨١𞸇٨١𞸍𞸍.

الحل

نحن نريد إيجاد متتابعة حسابية. لكي نفعل ذلك، يمكننا البدء بتذكر أنه في أي متتابعة حسابية يكون الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا، ويُسمى أساس المتتابعة الحسابية. ونعلم أيضًا أن في أي متتابعة حسابية حدها الأول 𞸇١ وأساسها 𞸃، يمكن إيجاد الحد ا باستخدام الصيغة التالية: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃.𞸍١

يمكننا استخدام ذلك لإيجاد تعبيرين لكل من 𞸇٨١𞸍، 𞸇𞸍 بدلالة 𞸃، 𞸇١، 𞸍: 𞸇=𞸇+(٨١𞸍١)𞸃=𞸇+٨١𞸃𞸍𞸃.٨١𞸍١١

في هذا السؤال، لدينا 𞸇=٣١١، وهذا يعطينا: 𞸇=٣١+٨١𞸃𞸍𞸃.٨١𞸍

بعد ذلك: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃=٣١+(𞸍١)𞸃=٣١+𞸃𞸍𞸃.𞸍١

يمكننا التعويض بهذين التعبيرين في المعادلة المعطاة لنا في السؤال: 𞸇=٨١𞸇٣١+٨١𞸃𞸍𞸃=٨١(٣١+𞸃𞸍𞸃)٣١+٨١𞸃𞸍𞸃=٤٣٢+٨١𞸃𞸍٨١𞸃٠=١٢٢٧١𞸃٧١𞸃=١٢٢𞸃=٣١.٨١𞸍𞸍

ومن ثَمَّ، فإن الحد الأول في هذه المتتابعة يساوي ١٣، وأساسها يساوي ١٣؛ ما يعطينا المتتابعة (٣١،٦٢،٩٣،).

في المثال الأخير، سنوجد متتابعة حسابية عن طريق حل معادلات آنية.

مثال ٨: إيجاد المتتابعة الحسابية وفقًا لشرط معين

حدد المتتابعة الحسابية التي فيها 𞸇+𞸇=٠٠٥٠٥٨٢، 𞸇+𞸇+𞸇=٨٣١٣١١٥٣.

الحل

إننا نعلم أنه في أي متتابعة حسابية يكون الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا. ويمكننا إيجاد أي متتابعة حسابية من خلال حدها الأول وأساسها؛ حيث إن الحد ا لأي متتابعة حسابية حدها الأول 𞸇١ وأساسها 𞸃 يُعطى بالعلاقة: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃.𞸍١

باستخدام هذه الصيغة، يمكننا إيجاد تعبيرات لكل حد في المعادلتين المعطاتين لنا في السؤال: 𞸇=𞸇+٩٤𞸃،𞸇=𞸇+٧٢𞸃،𞸇=𞸇+٢𞸃،𞸇=𞸇+٠١𞸃،𞸇=𞸇+٤٣𞸃.٠٥١٨٢١٣١١١١٥٣١

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذه التعبيرات في المعادلتين المعطاتين لنا في السؤال.

المعادلة الأولى: 𞸇+𞸇=٠٠٥󰁓𞸇+٩٤𞸃󰁒+󰁓𞸇+٧٢𞸃󰁒=٠٠٥٢𞸇+٦٧𞸃=٠٠٥𞸇+٨٣𞸃=٠٥٢.٠٥٨٢١١١١

المعادلة الثانية: 𞸇+𞸇+𞸇=٨٣١󰁓𞸇+٢𞸃󰁒+󰁓𞸇+٠١𞸃󰁒+󰁓𞸇+٤٣𞸃󰁒=٨٣١٣𞸇+٦٤𞸃=٨٣١.٣١١٥٣١١١١

هذا يعطينا معادلتين في مجهولين، ويمكننا حلهما بحذف أحد المتغيرين. يمكننا إعادة ترتيب المعادلة الأولى لتصبح: 𞸇+٨٣𞸃=٠٥٢𞸇=٠٥٢٨٣𞸃.١١

بعد ذلك، نعوض بتعبير 𞸇١ هذا في المعادلة الثانية: ٣𞸇+٦٤𞸃=٨٣١٣(٠٥٢٨٣𞸃)+٦٤𞸃=٨٣١٠٥٧٤١١𞸃+٦٤𞸃=٨٣١٢١٦٨٦𞸃=٠𞸃=٩.١

وأخيرًا، نعوض بقيمة 𞸃 هذه في إحدى المعادلات لدينا لإيجاد الحد الأول في المتتابعة: 𞸇+٨٣𞸃=٠٥٢𞸇+٨٣(٩)=٠٥٢𞸇+٢٤٣=٠٥٢𞸇=٢٩.١١١١

ومن ثَمَّ، فإن الحد الأول من هذه المتتابعة الحسابية يساوي ٢٩، وأساسها يساوي ٩. وبذلك، نجد أن المتتابعة هي (٢٩،٣٨،٤٧،).

دعونا نُنهِ هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • المتتابعة أو المتوالية الحسابية هي تسلسل من أعداد يكون فيه الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا، ويُسمى هذا الثابت أساس المتتابعة الحسابية.
  • يمكن إيجاد الحد ا في أي متتابعة حسابية حدها الأول 𞸇١ وأساسها 𞸃 باستخدام الصيغة الآتية: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃.𞸍١
  • يمكننا استخدام هذه الصيغة لإيجاد تعبير يدل على أي حد في المتتابعة الحسابية بدلالة الحد الأول وأساس المتتابعة الحسابية. إذا استطعنا تكوين معادلتين في هذين المتغيرين، فسنتمكن من حلهما باعتبارهما معادلتين آنيتين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.