فيديو السؤال: حل المعادلة المثلثية التي تتضمن زوايا خاصة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة القيم التي تحقق المعادلة ظا ﺱ يساوي سالب واحد على جذر ثلاثة؛ حيث ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا وأقل من اثنين ‏𝜋‏.

دعونا نتناول المعادلة لدينا، وهي ظا ﺱ يساوي سالب واحد على جذر ثلاثة. إحدى طرق حل هذه المعادلة هي إجراء العملية العكسية لدالة الظل، أي أخذ الدالة العكسية للظل للطرفين. وعندما نفعل ذلك، يصبح الطرف الأيمن هو ﺱ، ويصبح الطرف الأيسر هو الدالة العكسية للظل سالب واحد على جذر ثلاثة. يمكننا بعد ذلك كتابة هذا على الآلة الحاسبة. لكن في الواقع، يمكن حساب الدالة العكسية للظل سالب واحد على جذر ثلاثة باستخدام القيم المثلثية الخاصة. دعونا نذكر أنفسنا بكيفية حساب هذه القيم باستخدام جدول. القيم التي علينا معرفتها هي جيب، وجيب تمام، وظل ‏𝜋‏ على ستة، و‏𝜋‏ على أربعة، و‏𝜋‏ على ثلاثة راديان.

نملأ أول صفين بكتابة واحد، اثنين، ثلاثة ثم ثلاثة، اثنين، واحد. نضيف بعد ذلك مقامًا لكل من هذه الأعداد، وهذا المقام يساوي اثنين. ونوجد الجذر التربيعي للبسط. لكن الجذر التربيعي لواحد بالطبع يساوي واحدًا؛ لذا لن نكتب علامة الجذر التربيعي للقيمة نصف. هذه هي القيم الخاصة التي علينا معرفتها لكل من جيب وجيب تمام ‏𝜋‏ على ستة، و‏𝜋‏ على أربعة، و‏𝜋‏ على ثلاثة راديان. إيجاد دالة الظل أصعب من ذلك قليلًا. فلإيجاد قيم دالة الظل المناظرة، نقسم قيمة دالة الجيب على قيمة دالة جيب التمام المناظرة لها. ولأن المقامات متساوية، سنقسم قيم البسط. ظل ‏𝜋‏ على ستة يساوي واحدًا على جذر ثلاثة. وظل ‏𝜋‏ على أربعة يساوي جذر اثنين على اثنين مقسومًا على جذر اثنين على اثنين. وهذا يساوي واحدًا. بعد ذلك، لدينا ظل ‏𝜋‏ على ثلاثة يساوي جذر ثلاثة على اثنين مقسومًا على واحد على اثنين، وهو ما يساوي جذر ثلاثة على واحد أو جذر ثلاثة.

سنقارن الآن هذه القيم بالمعادلة لدينا. لدينا الدالة العكسية للظل سالب واحد على جذر ثلاثة. نلاحظ أن ظل ‏𝜋‏ على ستة يساوي واحدًا على جذر ثلاثة. ومن ثم، يعني هذا أن الدالة العكسية للظل واحد على الجذر التربيعي لثلاثة هي ‏𝜋‏ على ستة. لكن هذه ليست القيمة التي لدينا. فلدينا سالب واحد على جذر ثلاثة. حسنًا، ما الخطوة التالية؟ نتذكر أن الدالة العكسية للظل هي دالة فردية. هذا يعني أن الدالة العكسية للظل سالب ﺱ تساوي سالب الدالة العكسية للظل ﺱ. ومن ثم، فإن قيمة ﺱ يجب أن تساوي سالب الدالة العكسية للظل واحد على جذر ثلاثة. عرفنا للتو أن الدالة العكسية للظل واحد على جذر ثلاثة تساوي ‏𝜋‏ على ستة، إذن ﺱ يجب أن يساوي سالب ‏𝜋‏ على ستة.

لكننا لم ننته بعد من حل السؤال. علمنا أن قيم ﺱ أكبر من أو تساوي صفرًا وأقل من اثنين ‏𝜋‏. ونلاحظ أن قيمة ﺱ الآن لا تقع ضمن هذه الفترة. لذا، نتذكر أن دالة الظل هي دالة دورية؛ بمعنى أنها تتكرر كل ‏𝜋‏ راديان. إذن يمكننا إيجاد قيمة أخرى للمتغير ﺱ بإضافة ‏𝜋‏ إلى القيمة لدينا. سالب ‏𝜋‏ على ستة زائد ‏𝜋‏ يساوي خمسة ‏𝜋‏ على ستة. وهذه القيمة تقع ضمن الفترة المطلوبة. قد نلاحظ أنه إذا أضفنا ‏𝜋‏ مرة أخرى، فسنحصل على ١١‏𝜋‏ على ستة. وهذه القيمة تقع أيضًا ضمن الفترة. لكن إذا أضفنا ‏𝜋‏ مرة أخرى، فلن تقع القيمة ضمن الفترة ذات الصلة.

بذلك يصبح لدينا مجموعة القيم. هيا نكتبهما باستخدام ترميز المجموعة. وهكذا، نجد أن مجموعة القيم هي المجموعة التي تحتوي على خمسة ‏𝜋‏ على ستة و ١١‏𝜋‏ على ستة.