تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: المعادلات المثلثية البسيطة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد قياسات زوايا بمعلومية الفترة وقيم الدالة.

١٦:١١

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد الحل العام لمعادلة مثلثية أو كيف نحلها ضمن فترة محددة. المعادلة المثلثية هي معادلة تتضمن دالة واحدة على الأقل من الدوال الآتية: إما دالة مثلثية، مثل دوال الجيب وجيب التمام والظل، وإما مقلوب دالة مثلثية، مثل دوال قاطع التمام والقاطع وظل تمام الزاوية، وإما الدالة العكسية لأي من هذه الدوال. يمكن حل بعض الأمثلة البسيطة على هذه المعادلات دون استخدام الآلة الحاسبة. وفي هذه الحالات، سنستعين بما نعرفه عن الزوايا الخاصة إلى جانب تماثل منحنيات دوال الجيب وجيب التمام والظل ودوريتها.

سنبدأ هذا الفيديو بتذكر القيم الدقيقة لدوال الجيب وجيب التمام وظل الزاوية لعدد من الزوايا الخاصة. من المهم أن نتذكر قيم الجيب وجيب التمام والظل للزوايا التي قياسها صفر و٣٠ و٤٥ و٦٠ و٩٠ درجة. من المهم أيضًا معرفة القيم المناظرة لقياس هذه الزوايا بوحدة الراديان. ورغم أننا لن نتناول إثباتات هذه القيم بالتفصيل في هذا الفيديو، فيجب أن نتذكر أننا نوجدها بالاستعانة بحساب المثلثات القائمة الزاوية ونظرية فيثاغورس. القيم الدقيقة لدوال الجيب وجيب التمام والظل للزوايا المعطاة موضحة هنا. وبتذكر المتطابقة ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃، يمكننا حساب ظل أي من هذه الزوايا بقسمة قيمة جيب الزاوية على قيمة جيب تمامها.

في المثال الأول، سنوضح كيف نستخدم تماثل منحنى دالة الجيب بالإضافة إلى جدول القيم هذا لإيجاد جميع الحلول لمعادلة مثلثية بسيطة.

ما الحل العام للمعادلة جا 𝜃 يساوي جذر اثنين على اثنين؟

لإيجاد الحل العام لمعادلة مثلثية، نبدأ بإيجاد حل خاص. في هذا السؤال، يمكن أن يساعدنا جدول القيم المثلثية الدقيقة في ذلك. لأي زاوية 𝜃 معطى قياسها بالراديان، تكون القيم الدقيقة لدالة جيبها كما هو موضح. نلاحظ أن جا ‏𝜋‏ على أربعة راديان يساوي جذر اثنين على اثنين. يعني هذا أن 𝜃 تساوي ‏𝜋‏ على أربعة حل خاص للمعادلة جا 𝜃 يساوي جذر اثنين على اثنين. لإيجاد حلول أخرى، نمثل ﺹ يساوي جا 𝜃 بين صفر واثنين ‏𝜋‏ بيانيًّا. ونوجد حلول جا 𝜃 يساوي جذر اثنين على اثنين عن طريق رسم الخط المستقيم ﺹ يساوي جذر اثنين على اثنين على الشكل.

نلاحظ أن هذا المستقيم يتقاطع مع المنحنى مرتين بين صفر واثنين ‏𝜋‏. أول نقطة تقاطع تناظر الحل ‏𝜋‏ على أربعة. وبما أن منحنى دالة الجيب متماثل حول ‏𝜋‏ على اثنين في الفترة من صفر إلى ‏𝜋‏، يمكن إيجاد الحل الثاني بطرح ‏𝜋‏ على أربعة من ‏𝜋‏. وهذا يساوي ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة. أصبح لدينا الآن حلان للمعادلة جا 𝜃 يساوي جذر اثنين على اثنين، وهما: 𝜃 تساوي ‏𝜋‏ على أربعة، و𝜃 تساوي ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة. بتذكر أن دالة الجيب هي دالة دورية طول دورتها ٣٦٠ درجة أو اثنان ‏𝜋‏ راديان، يمكننا إيجاد الحل العام. أولًا، لدينا 𝜃 تساوي ‏𝜋‏ على أربعة زائد اثنين ﻥ‏𝜋‏، ويمكننا كتابة ذلك على هذه الصورة لأنه يمكن إيجاد حلول أخرى عن طريق جمع مضاعفات اثنين ‏𝜋‏ أو ٣٦٠ درجة أو طرحها، وثانيًا لدينا ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة زائد اثنين ﻥ‏𝜋‏؛ حيث ﻥ عدد صحيح.

في هذا السؤال، أوضحنا كيف نفسر تماثل منحنى دالة الجيب لإيجاد جميع حلول معادلة ما. هناك طريقة أخرى لتوسيع نطاق دالة الجيب، وهي دائرة الوحدة. بتذكر أن دائرة الوحدة مركزها عند نقطة الأصل؛ حيث نصف قطرها يساوي وحدة واحدة، يمكننا إيجاد قيمة الجيب لأي زاوية 𝜃 عن طريق البدء من النقطة واحد، صفر، ثم التحرك على محيط الدائرة عكس اتجاه عقارب الساعة إلى أن تكون الزاوية المتكونة بين هذه النقطة ونقطة الأصل والجزء الموجب من المحور ﺱ تساوي 𝜃. إذا كانت إحداثيات هذه النقطة هي ﺱ،‏ ﺹ؛ فإن جا 𝜃 يساوي قيمة ﺹ. قيمة الإحداثي ﺹ موجبة في الربعين الأول والثاني. ومن ثم، فإن قيمة جا 𝜃 موجبة أيضًا في هذين الربعين.

وبما أن دائرة الوحدة لها تماثل انعكاسي حول المحور ﺹ، نجد أن جا 𝜃 يساوي جا ١٨٠ درجة ناقص 𝜃. وبمواصلة التحرك على محيط دائرة الوحدة، نجد أن جا 𝜃 يساوي أيضًا جا ٣٦٠ زائد 𝜃 لجميع قيم 𝜃. يمكن تعميم هاتين النتيجتين كما هو موضح، حيث تكون المجموعة التي تحتوي على جميع حلول جا 𝜃 يساوي ﺟ هي 𝜃 تساوي 𝜃 واحد زائد ٣٦٠ﻥ و𝜃 تساوي ١٨٠ ناقص 𝜃 واحد زائد ٣٦٠ﻥ، حيث ﻥ عدد صحيح. لاحظ أنه إذا كانت 𝜃 مقيسة بالراديان، فسنعوض عن ٣٦٠ درجة باثنين ‏𝜋‏، وعن ١٨٠ درجة بـ ‏𝜋‏. ورغم أننا قد نميل إلى حفظ هذه الصيغ، فمن الناحية العملية، قد يكون من الأفضل تمثيل الدالة بيانيًّا أو رسم دائرة الوحدة.

في المثال التالي، سنتناول كيفية استخدام تماثل منحنى دالة جيب التمام لحل معادلة مثلثية.

أوجد مجموعة القيم التي تحقق جتا 𝜃 ناقص ١٠٥ يساوي سالب نصف، حيث 𝜃 أكبر من صفر درجة وأصغر من ٣٦٠ درجة.

لإيجاد حلول معادلة مثلثية في فترة معطاة، نبدأ بإيجاد حل خاص. وفي هذه الحالة، يمكن أن يساعدنا جدول القيم المثلثية الدقيقة. سنبدأ بإعادة تعريف سعة الدالة بجعل 𝛼 يساوي 𝜃 ناقص ١٠٥، بحيث يكون جتا 𝛼 مساويًا لسالب نصف و𝜃 تساوي 𝛼 زائد ١٠٥. يمكننا بعد ذلك تعديل الفترة التي تكون فيها الحلول صحيحة بإضافة ١٠٥ إلى كل جزء من المتباينة فتصبح 𝛼 أكبر من ١٠٥ درجات وأصغر من ٤٦٥ درجة. عند تكملة الجدول بالقيم الدقيقة لـ جتا 𝛼، يمكننا ملاحظة أن جتا 𝛼 يساوي نصفًا عند 𝛼 يساوي ٦٠ درجة. لكن لا توجد أي قيم لـ 𝛼 في الجدول بحيث يكون جتا 𝛼 مساويًا لسالب نصف.

برسم منحنى دالة جيب التمام والخطين المستقيمين ﺹ يساوي نصفًا وﺹ يساوي سالب نصف، يمكننا إيجاد قيمة 𝛼 المرتبطة بها. يتضح من التمثيل البياني أنه قد يكون هناك ثلاث قيم بين ١٠٥ و٤٦٥ درجة. وبما أن المنحنى له تماثل دوراني بين صفر و١٨٠ درجة حول ٩٠ درجة وصفر، فإن الحل الأول يساوي ١٨٠ ناقص ٦٠. هذا يساوي ١٢٠ درجة، وهو ما يقع في الفترة المطلوبة. بعد ذلك، باستخدام تماثل المنحنى، يصبح لدينا 𝛼 يساوي ١٨٠ زائد ٦٠. هذا يساوي ٢٤٠ درجة، وهو ما يقع أيضًا في الفترة المعطاة. الحل الثالث يساوي ١٢٠ زائد ٣٦٠ درجة. لكن قيمة الزاوية التي قياسها ٤٨٠ درجة تقع خارج فترة 𝛼. ومن ثم، فإن حلي جتا 𝛼 يساوي سالب نصف هما 𝛼 يساوي ١٢٠ درجة، و𝛼 يساوي ٢٤٠ درجة.

يمكننا الآن حساب قيمتي 𝜃 المناظرتين. ‏١٢٠ زائد ١٠٥ يساوي ٢٢٥، و٢٤٠ زائد ١٠٥ يساوي ٣٤٥. إذن، مجموعة القيم التي تحقق جتا 𝜃 ناقص ١٠٥ يساوي سالب نصف هي ٢٢٥ درجة و٣٤٥ درجة. هناك طريقة بديلة لإيجاد الحل الخاص لـ جتا 𝛼 يساوي سالب نصف، ألا وهي استخدام الدالة العكسية لجيب التمام، حيث 𝛼 يساوي الدالة العكسية لـ جتا سالب نصف، وهو ما يساوي ١٢٠ درجة. نستخدم هنا الخطوات نفسها لإيجاد الحلول الأخرى. كان من الممكن أيضًا إيجاد الحلول باستخدام دائرة الوحدة، والتي ستقودنا إلى القاعدة العامة التي تنص على أن جتا 𝜃 يساوي جتا ٣٦٠ درجة ناقص 𝜃.

باستخدام تماثل دائرة الوحدة ودورية دالة جيب التمام، يمكننا استخدام صيغ الحل العام للمعادلات التي تتضمن هذه الدالة. وبالطريقة نفسها التي استعرضناها مع دالة الجيب، فإن مجموعة جميع الحلول لـ جتا 𝜃 يساوي ﺟ هي 𝜃 تساوي 𝜃 واحد زائد ٣٦٠ﻥ و𝜃 تساوي ٣٦٠ ناقص 𝜃 واحد زائد ٣٦٠ﻥ لجميع قيم الأعداد الصحيحة لـ ﻥ. مرة أخرى، إذا كانت 𝜃 مقيسة بالراديان، فإننا نعوض عن ٣٦٠ درجة باثنين ‏𝜋‏ راديان.

عرفنا في السؤال السابق كيفية حل معادلة مثلثية، حيث تم تحويل سعة الدالة بطريقة ما. سنتناول الآن صورة مماثلة لهذا السؤال تتضمن دالة الظل.

أوجد القيم التي تحقق المعادلة ظا اثنين ﺱ زائد ‏𝜋‏ على خمسة يساوي سالب واحد؛ حيث ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا وأصغر من أو يساوي اثنين ‏𝜋‏.

لحل هذه المعادلة، سنبدأ بإعادة تعريف السعة؛ لأن هذا سيسمح لنا باستخدام تماثل دالة الظل. سنجعل 𝜃 تساوي اثنين ﺱ زائد ‏𝜋‏ على خمسة. هذا يعني أن علينا حل ظا 𝜃 يساوي سالب واحد، حيث 𝜃 أكبر من أو تساوي ‏‏𝜋‏‏ على خمسة وأصغر من أو تساوي ٢١‏𝜋‏ على خمسة بعد ضرب كل جزء من المتباينة الأصلية في اثنين ثم إضافة ‏𝜋‏ على خمسة. نتذكر بعد ذلك أنه بالنسبة إلى الزاوية 𝜃 المقيسة بالراديان، فإن القيم الدقيقة لـ ظا 𝜃 تكون كما هو موضح. نلاحظ أن ظا ‏𝜋‏ على أربعة يساوي واحدًا. بعد ذلك، سنمثل ﺹ يساوي ظا 𝜃 بيانيًّا. ونرسم المستقيمين الأفقيين، حيث ﺹ يساوي واحدًا وﺹ يساوي سالب واحد.

نتيجة للتماثل الدوراني لدالة الظل، يتحقق الحل الأول عندما تكون 𝜃 تساوي ‏𝜋‏ ناقص ‏𝜋‏ على أربعة. هذا يساوي ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة. وبما أن الدالة دورية وطول دورتها ‏𝜋‏ راديان، يمكننا إيجاد الحلول المتبقية بإضافة مضاعفات ‏𝜋‏ إلى هذه القيمة. أولًا، ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة زائد ‏𝜋‏ يساوي سبعة ‏𝜋‏ على أربعة. لدينا أيضًا الحلان ١١‏𝜋‏ على أربعة، و١٥‏𝜋‏ على أربعة. هذه هي نقاط التقاطع الأربع الموضحة على التمثيل البياني. بعدما نفرغ بعض المساحة ونعيد كتابة الحلول الأربعة لـ 𝜃، يمكننا حساب قيم ﺱ. بما أن 𝜃 تساوي اثنين ﺱ زائد ‏𝜋‏ على خمسة، فإن اثنين ﺱ يساوي 𝜃 ناقص ‏𝜋‏ على خمسة. بقسمة الطرفين على اثنين، يصبح لدينا ﺱ يساوي 𝜃 على اثنين ناقص ‏𝜋‏ على ١٠.

يمكننا الآن التعويض بكل قيمة من قيم 𝜃 في هذه المعادلة. هذا يعطينا أربع قيم لـ ﺱ وهي ١١‏𝜋‏ على ٤٠، و٣١‏𝜋‏ على ٤٠، و٥١‏𝜋‏ على ٤٠، و٧١‏𝜋‏ على ٤٠. هذه هي مجموعة القيم التي تحقق المعادلة ظا اثنين ﺱ زائد ‏𝜋‏ على خمسة يساوي سالب واحد، حيث ﺱ يقع بين صفر واثنين ‏𝜋‏ بما في ذلك هاتان القيمتان.

وكما كتبنا صيغًا لدوال الجيب وجيب التمام، يمكننا الآن كتابة الحلول العامة للمعادلات التي تتضمن دالة الظل. عندما تكون 𝜃 مقيسة بالدرجات، فإن الحلول هي 𝜃 تساوي 𝜃 واحد زائد ١٨٠ﻥ، حيث ﻥ عدد صحيح. وإذا كانت 𝜃 مقيسة بالراديان، فإن 𝜃 تساوي 𝜃 واحد زائد ﻥ‏𝜋‏، حيث ﻥ عدد صحيح أيضًا.

تناولنا في هذا الفيديو الدوال المثلثية القياسية وهي دوال الجيب وجيب التمام والظل. ورغم أننا لن نتناول مقلوبات الدوال المثلثية هنا، فمن المهم أن نفهم أن العملية نفسها تنطبق على هذه المقلوبات وهي قاطع التمام والقاطع وظل التمام.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. يمكننا حل المعادلات المثلثية البسيطة باستخدام جداول القيم الدقيقة أو الدوال المثلثية العكسية. لمساعدتنا في حساب جميع حلول معادلة معطاة في مدى معين، يمكننا تمثيل الدالة المثلثية المطلوبة بيانيًّا أو استخدام دائرة الوحدة. يسمح لنا تماثل دوال الجيب وجيب التمام والظل ودوريتها بحساب مزيد من الحلول للمعادلات المثلثية أو الحلول العامة التي تتضمن المضاعفات الصحيحة لـ ٣٦٠ درجة أو اثنين ‏𝜋‏ راديان لدالتي الجيب وجيب التمام و١٨٠ درجة أو ‏𝜋‏ راديان لدالة الظل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.