شارح الدرس: المعادلات المثلثية البسيطة الرياضيات

مثال ١: إيجاد الحل العام لمعادلة مثلثية

ما الحل العام للمعادلة ؟

الحل

لإيجاد الحل العام لمعادلة مثلثية، نبدأ بإيجاد حل خاص. في هذا السؤال، من الممكن أن يساعدنا جدول القيم المثلثية الدقيقة في ذلك.

بالنسبة إلى أي زاوية مُعطاة بوحدة الراديان، تكون القيم الدقيقة لدالة الجيب كما هو موضَّح في الآتي.

نلاحظ أن ، إذن حل خاص للمعادلة .

لإيجاد حلول أخرى، نرسم منحنى ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

يمكننا إيجاد حلول لـ عن طريق رسم الخط المستقيم على الشكل. ستكون قيم عند نقاط تقاطع هذا الخط مع منحنى دالة الجيب هي حلول المعادلة.

بما أن منحنى دالة الجيب متماثل حول على الفترة ، إذن يمكننا إيجاد الحل الثاني بطرح من :

تذكَّر أن دالة الجيب دالة دورية طول دورتها راديان؛ لذا، يمكننا إيجاد حلول أخرى لها عن طريق جمع راديان أو طرحه من الحلول الخاصة.

بعبارة أخرى، سيكون الحل لدينا هو ، ، للقيم الصحيحة لـ .

أو يمكننا تمثيل ذلك باستخدام ترميز المجموعة على الصورة ، ؛ حيث .

مثال ٢: إيجاد حلول معادلة مثلثية في فترة محدَّدة

أوجد مجموعة القيم التي تحقِّق ؛ حيث .

الحل

لحل هذه المعادلة المثلثية البسيطة، نبدأ بإعادة كتابتها لجعل دالة الجيب المتغيِّر التابع:

يجب الانتباه جيدًا إلى الخطوة التالية في هذه العملية الحسابية. لا بُد أن نأخذ الجذر التربيعي الموجب والجذر التربيعي السالب لـ . وبذلك، سيكون الأمر وكأننا كوَّنا زوجًا من المعادلات بدلالة :

لاحظ أنه كان بإمكاننا أيضًا أن نختار تحليل المقدار في صورة ؛ ومن ثَمَّ حل المعادلة ، لنحصل على النتيجة نفسها.

بعد ذلك، لحل المعادلة الأولى، نتذكَّر القيم الدقيقة لـ ؛ حيث الزاوية مقيسة بالدرجات كالآتي.

ومن ثَمَّ، نستنتج أن أحد حلول المعادلة هو . لاحظ أن هذه القيمة تقع خارج الفترة المحدَّدة ؛ لذا، نتناول تماثل دائرة الوحدة لإيجاد حلول أخرى.

يمكننا أن نرى أن الحل الوحيد في الفترة المُعطاة هو .

نحل الآن المعادلة الثانية، ومرةً أخرى، نستخدم تماثل دائرة الوحدة. بما أن لجميع قيم ، وقيمة سالبة في الربعين الثالث والرابع، إذن نرسم مثلثين قائمَي الزاوية في كل دائرة هنا، كما هو موضَّح.

ومن ثَمَّ، نجد أن الحلين التاليين هما و. في هذه المرحلة، قد نميل إلى إيجاد حلول أخرى عن طريق إضافة مضاعفات صحيحة لـ إلى هذين الحلين، إلا أن فعل ذلك تنتج عنه قيم خارج الفترة المطلوبة.

مجموعة القيم التي تحقِّق ؛ حيث هي:

مثال ٣: حل معادلة مثلثية تتضمَّن إزاحة لزاوية في فترة محدَّدة

أوجد مجموعة القيم التي تحقِّق ؛ حيث .

الحل

لإيجاد حلول معادلة مثلثية في فترة مُعطاة، نبدأ بإيجاد حل خاص. في هذا السؤال، يمكن أن يساعدنا استخدام جدول القيم المثلثية الدقيقة.

نبدأ أولًا بإعادة تعريف الزاوية المُدخَلة للدالة بجعل ؛ بحيث يكون:

وبتعديل الفترة، التي تكون فيها الحلول صحيحة، بإضافة ، نحصل على . وبذلك، نجد أن القيم الدقيقة لـ ؛ حيث مقيسة بالدرجات، كما هو موضَّح في الآتي.

يمكننا أن نلاحظ أن ، لكن لا تُوجد قيم مُعطاة لـ في الجدول؛ بحيث يكون . إذن، برسم منحنى دالة جيب التمام والخطين ، ، يمكننا إيجاد قيمة المصاحبة لها.

للمنحنى تماثل دوراني؛ حيث ، حول ؛ ومن ثَمَّ، فإن الحل الأول لـ هو:

باستخدام تماثل المنحنى، يصبح الحل الثاني:

يبدو أن هناك حلًّا آخر يمكن الحصول عليه من خلال ، ولكنه يقع خارج الفترة .

وبذلك، يكون حلا المعادلة هما و.

وبما أننا عرَّفنا ، فإن حلَّي المعادلة هما:

إذن مجموعة القيم هي:

مثال ٤: حل معادلة مثلثية تتضمَّن ثلاثة أمثال الزاوية في فترة محدَّدة

أوجد مجموعة القيم التي تُحقِّق ؛ حيث .

الحل

لحل المعادلة ، نبدأ بإعادة تعريف الزاوية المُدخَلة. ويمكننا فعل ذلك بجعل ؛ بحيث تكون ؛ ومن ثَمَّ، تصبح المعادلة ؛ حيث . لتبسيط هذه الفترة، نضرب في ثلاثة لنحصل على .

والآن، يمكننا حل المعادلة في هذه الفترة الجديدة. بالنسبة إلى أي زاوية مقيسة بالراديان، تكون القيم الدقيقة لدالة الجيب على النحو الآتي.

ومن ثَمَّ، فإن أحد حلول المعادلة هو . لإيجاد حلول أخرى، نرسم منحنى في الفترة ، مع تذكُّر أن دالة الجيب دالة دورية، وطول دورتها راديان.

يمكننا أن نلاحظ ظهور الحلول كل راديان، وبذلك، يكون الحلان الإضافيان هما و.

ومن ثَمَّ، نستنتج أن مجموعة حل في الفترة المطلوبة هي:

وبما أن ، إذن يمكننا العثور على مجموعة حل بقسمة كل قيمة من هذه القيم على ثلاثة. وهكذا، نستنتج أن مجموعة الحل هي:

مثال ٥: حل معادلة مثلثية تتضمَّن إزاحة لضعف زاوية في فترة محدَّدة

أوجد القيم التي تحقِّق المعادلة ؛ حيث .

الحل

لحل هذه المعادلة، نبدأ بإعادة تعريف الزاوية المُدخَلة لنتمكَّن من استخدام تماثل دالة الظل. نفترض أن ؛ ومن ثَمَّ، فإن في الفترة .

بعد ذلك، يمكننا استخدام جدول القيم الدقيقة بالإضافة إلى ما نعرفه عن دورية دالة الظل لحل هذه المعادلة الجديدة.

تذكَّر، أنه لأي زاوية مقيسة بالراديان، تكون القيم الدقيقة لـ كالآتي.

يمكننا أن نلاحظ أن ؛ لذا، نستخدمها لإيجاد قيمة ؛ حيث . يوضِّح الشكل الآتي منحنى الدالة في الفترة .

نلاحظ أن منحنى دالة الظل له تماثل دوراني حول ؛ حيث . ومن ثَمَّ، نجد أن الحل الأول لـ هو . وبالمثل، بما أن الدالة دورية، وطول دورتها راديان، إذن يمكننا إيجاد الحلول الأخرى بإضافة مضاعفات إلى هذه القيمة:

لدينا الآن أربعة حلول لـ في الفترة المطلوبة. وبما أننا عرَّفنا ، إذن يمكننا إيجاد قيمة بالتعويض بـ في كل حالة، والحل لإيجاد قيم . في حالة القيمة الأولى لـ ، نحصل على:

وبالمثل، فإن القيم الأخرى لـ تكون ، . إذن مجموعة القيم التي تحقِّق ؛ حيث هي:

مثال ٦: إيجاد الحل العام لمعادلة تتضمَّن مقلوب دالة مثلثية

أوجد الحل العام للمعادلة .

الحل

تذكَّر أن دالة القاطع هي مقلوب دالة جيب التمام. بعبارة أخرى:

ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة كتابة المعادلة على الصورة:

نعلم أنه لأي زاوية مقيسة بالراديان، تنطبق القيم الدقيقة الآتية لدالة جيب التمام.

وفي حين نلاحظ أن قيمة هي ، لا تُوجد لدينا قيمة مناظرة لـ . لذا، بدلًا من ذلك، نرسم منحنى لاستنتاج الحلول ذات الصلة.

لمنحنى الدالة تماثل دوراني في الفترة حول ؛ لذا، فإن الحل الأول لـ هو:

وبالمثل، يُعطى الحل الثاني من خلال:

وبما أن دالة جيب التمام دالة دورية طول فترتها راديان، إذن يمكننا إيجاد حلول أخرى بإضافة المضاعفات الصحيحة إلى كلا الحلين. على سبيل المثال، يمكننا إيجاد حل آخر عن طريق طرح من :

بعبارة أخرى، الحل العام للمعادلة هو:

أو: