تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: المعادلات المثلثية البسيطة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد قياسات زوايا بمعلومية الفترة وقيم الدالة.

المعادلة المثلثية معادلة تتضمَّن دالة واحدة على الأقل من الدوال الآتية: دالة مثلثية؛ مثل دالة الجيب أو جيب التمام أو ظل الزاوية، أو مقلوب دالة مثلثية؛ مثل دالة قاطع التمام أو القاطع أو ظل تمام الزاوية؛ أو دالة عكسية لأيٍّ من هذه الدوال. يمكن حل بعض الأمثلة البسيطة على هذه المعادلات دون استخدام الآلة الحاسبة، ولكن، في كثير من الأحيان، سيكون من الصعب محاولة تذكُّر القيم المحدَّدة للدوال المثلثية. في هذه الحالات، يمكننا الاستعانة بالدوال العكسية لهذه الدوال، بجانب ما نعرفه عن تماثل منحنياتها ودوريتها، لإيجاد حلول إضافية.

قبل أن نوضِّح كيفية استخدام تماثل منحنى دالة مثلثية لإيجاد جميع الحلول في فترة معلومة، نسترجع أولًا القيم الدقيقة لدوال الجيب وجيب التمام وظل الزاوية لعدد من الزوايا الخاصة.

افترض أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية متساوي الساقين له ضلعان طول كلٍّ منهما ١ سم، كما هو موضَّح بالشكل.

باستخدام نظرية فيثاغورس، يمكننا حساب طول الوتر لنجد أنه يساوي 󰋴١+١=󰋴٢٢٢. بعد ذلك، باستخدام الاصطلاحات المثلثية لتسمية الأضلاع بنسبتها إلى الزاوية الموجودة أعلى الشكل، يمكننا حساب القيمة الدقيقة لـ (٥٤).

اا𝜃=٥٤=١󰋴٢=󰋴٢٢.

باستخدام هذا المثلث المتساوي الساقين والمثلث المتساوي الأضلاع الموضَّح في الآتي، ستتمكَّن من استخلاص القيم الدقيقة الآتية لدوال الجيب وجيب التمام والظل (كما هو موضَّح في الجدول).

يوضِّح الجدول الآتي القيم الدقيقة المناظرة للقيم المُعطاة للزاوية 𝜃.

𝜃٠٠٣=𝜋٦٥٤=𝜋٤٠٦=𝜋٣٠٩=𝜋٢
𝜃٠١٢١󰋴٢=󰋴٢٢󰋴٣٢١
𝜃١󰋴٣٢١󰋴٢=󰋴٢٢١٢٠
𝜃٠١󰋴٣=󰋴٣٣١󰋴٣غير مُعرَّفة

من المهم أن نكون قادرين على تذكُّر هذه القيم الدقيقة دون الحاجة إلى استخدام الآلة الحاسبة؛ ومن ثَمَّ، علينا قضاء ما يكفي من الوقت للاطلاع على الجداول المُعطاة.

في المثال الأول، نوضِّح كيفية استخدام تماثل منحنى دالة الجيب، بالإضافة إلى جدول القيم الدقيقة، لإيجاد جميع حلول معادلة مثلثية بسيطة.

مثال ١: إيجاد الحل العام لمعادلة مثلثية

ما الحل العام للمعادلة 𝜃=󰋴٢٢؟

الحل

لإيجاد الحل العام لمعادلة مثلثية، نبدأ بإيجاد حل خاص. في هذا السؤال، من الممكن أن يساعدنا جدول القيم المثلثية الدقيقة في ذلك.

بالنسبة إلى أي زاوية 𝜃 مُعطاة بوحدة الراديان، تكون القيم الدقيقة لدالة الجيب كما هو موضَّح في الآتي.

𝜃٠𝜋٦𝜋٤𝜋٣𝜋٢
𝜃٠١٢󰋴٢٢󰋴٣٢١

نلاحظ أن 𝜋٤=󰋴٢٢، إذن 𝜃=𝜋٤ حل خاص للمعادلة 𝜃=󰋴٢٢.

لإيجاد حلول أخرى، نرسم منحنى 𞸑=𝜃، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

يمكننا إيجاد حلول لـ 𝜃=󰋴٢٢ عن طريق رسم الخط المستقيم 𞸑=󰋴٢٢ على الشكل. ستكون قيم 𝜃 عند نقاط تقاطع هذا الخط مع منحنى دالة الجيب هي حلول المعادلة.

بما أن منحنى دالة الجيب متماثل حول 𝜋٢ على الفترة ٠𝜃𝜋، إذن يمكننا إيجاد الحل الثاني بطرح 𝜋٤ من 𝜋: 𝜋𝜋٤=𝜋٤٣.

تذكَّر أن دالة الجيب دالة دورية طول دورتها ٢𝜋 راديان؛ لذا، يمكننا إيجاد حلول أخرى لها عن طريق جمع ٢𝜋 راديان أو طرحه من الحلول الخاصة.

بعبارة أخرى، سيكون الحل لدينا هو 𝜋٤+٢𞸍𝜋، ٣𝜋٤+٢𞸍𝜋، للقيم الصحيحة لـ 𞸍.

أو يمكننا تمثيل ذلك باستخدام ترميز المجموعة على الصورة 𝜋٤+٢𞸍𝜋، ٣𝜋٤+٢𞸍𝜋؛ حيث 𞸍𞹑.

في المثال السابق، أوضحنا كيفية تفسير تماثل منحنى دالة الجيب لإيجاد جميع الحلول الممكنة لمعادلة ما. هناك أداة أخرى مفيدة يمكن استخدامها لتوسيع مجال دالة الجيب، وهي دائرة الوحدة. تذكَّر أن هذه دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها يساوي وحدة واحدة. لاستخدام دائرة الوحدة لإيجاد دالة الجيب لأي زاوية 𝜃، نبدأ من النقطة (١،٠)، ونتحرَّك على محيط الدائرة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حتى تصبح الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم الواصل بين هذه النقطة ونقطة الأصل، والجزء الموجب من المحور 𞸎 مساوية لـ 𝜃. بعد ذلك، إذا كان إحداثيا هذه النقطة هما (𞸎،𞸑)، فإن 𝜃 يساوي قيمة 𞸑.

لاحظ أن قيمة الإحداثي 𞸑 موجبة في الربعين الأول والثاني؛ ومن ثَمَّ، فإن قيمة 𝜃 ستكون أيضًا موجبة في هذين الربعين. وبما أن دائرة الوحدة لها تماثل انعكاسي حول المحور 𞸑، إذن نستنتج أن 𝜃=(٠٨١𝜃).

بمواصلة التحرُّك على محيط دائرة الوحدة، نجد أن 𝜃=(٠٦٣+𝜃) لجميع قيم 𝜃.

ويمكن تعميم هاتين النتيجتين على النحو الآتي.

كيفية إيجاد حلول المعادلات البسيطة التي تتضمَّن دالة الجيب

إذا كان 𝜃=𝜃١ أحد حلول المعادلة 𝜃=𞸖، لثابت ما 𞸖[١،١]، يمكن الحصول على حل ثانٍ من خلال المعادلة 𝜃=٠٨١𝜃١. ومن ثَمَّ، فإن المجموعة التي تتضمَّن جميع حلول 𝜃=𞸖 هي: 𝜃=𝜃+٢𞸍𝜋𝜃=𝜋𝜃+٢𞸍𝜋،𞸍𞹑.١١،

وإذا كان قياس 𝜃 مُعطى بالدرجات، فستكون الحلول هي: 𝜃=𝜃+٠٦٣𞸍𝜃=٠٨١𝜃+٠٦٣𞸍،𞸍𞹑.١١،

على الرغم من أننا قد نشعر أنه علينا حفظ هذه الصيغ، فعمليًّا، قد يكون من الأفضل رسم منحنى دالة الجيب أو استخدام دائرة الوحدة لمساعدتنا في استنتاج مجموعة حلول المعادلة التي تتضمَّن دالة الجيب. نوضِّح ذلك في المثال الآتي.

مثال ٢: إيجاد حلول معادلة مثلثية في فترة محدَّدة

أوجد مجموعة القيم التي تحقِّق ٤𝜃١=٠٢؛ حيث ٠٩𝜃٠٦٣.

الحل

لحل هذه المعادلة المثلثية البسيطة، نبدأ بإعادة كتابتها لجعل دالة الجيب المتغيِّر التابع: ٤𝜃١=٠٤𝜃=١𝜃=١٤.٢٢٢

يجب الانتباه جيدًا إلى الخطوة التالية في هذه العملية الحسابية. لا بُد أن نأخذ الجذر التربيعي الموجب والجذر التربيعي السالب لـ ١٤. وبذلك، سيكون الأمر وكأننا كوَّنا زوجًا من المعادلات بدلالة 𝜃: ،،𝜃=󰋺١٤𝜃=󰋺١٤،𝜃=١٢𝜃=١٢.

لاحظ أنه كان بإمكاننا أيضًا أن نختار تحليل المقدار ٤𝜃١٢ في صورة (٢𝜃١)(٢𝜃+١)؛ ومن ثَمَّ حل المعادلة (٢𝜃١)(٢𝜃+١)=٠، لنحصل على النتيجة نفسها.

بعد ذلك، لحل المعادلة الأولى، نتذكَّر القيم الدقيقة لـ 𝜃؛ حيث الزاوية 𝜃 مقيسة بالدرجات كالآتي.

𝜃٠٠٣٥٤٠٦٠٩
𝜃٠١٢󰋴٢٢󰋴٣٢١

ومن ثَمَّ، نستنتج أن أحد حلول المعادلة 𝜃=١٢ هو 𝜃=٠٣. لاحظ أن هذه القيمة تقع خارج الفترة المحدَّدة ٠٩𝜃٠٦٣؛ لذا، نتناول تماثل دائرة الوحدة لإيجاد حلول أخرى.

يمكننا أن نرى أن الحل الوحيد في الفترة المُعطاة هو 𝜃=٠٨١٠٣=٠٥١.

نحل الآن المعادلة الثانية، ومرةً أخرى، نستخدم تماثل دائرة الوحدة. بما أن 𝜃=𞸑 لجميع قيم 𝜃، وقيمة 𞸑 سالبة في الربعين الثالث والرابع، إذن نرسم مثلثين قائمَي الزاوية في كل دائرة هنا، كما هو موضَّح.

ومن ثَمَّ، نجد أن الحلين التاليين هما 𝜃=٠٨١+٠٣=٠١٢ و𝜃=٠٦٣٠٣=٠٣٣. في هذه المرحلة، قد نميل إلى إيجاد حلول أخرى عن طريق إضافة مضاعفات صحيحة لـ ٠٦٣ إلى هذين الحلين، إلا أن فعل ذلك تنتج عنه قيم خارج الفترة المطلوبة.

مجموعة القيم التي تحقِّق ٤𝜃١=٠٢؛ حيث ٠٩𝜃٠٦٣ هي: {٠٥١،٠١٢،٠٣٣}.

في المثال السابق، أوضحنا كيفية استخدام تماثل دائرة الوحدة بالإضافة إلى ما نعرفه عن القيم الدقيقة لحل المعادلات المثلثية؛ حيث 𝜃 ليست زاوية حادة. وتجدر الإشارة إلى أنه لحل المعادلة الثانية 𝜃=١٢، كان من الممكن أن نستخدم الدالة العكسية لدالة الجيب والآلة الحاسبة لإيجاد: 𝜃=󰂔١٢󰂓=٠٣.١

ولو اخترنا هذه الطريقة، لاحتجنا إلى تناول المناطق من دائرة الوحدة؛ حيث 𝜃<٠؛ ومن ثَمَّ، نطبق قواعد التماثل والدورية كالمعتاد.

في المثال الآتي، نتناول كيفية استخدام تماثل منحنى دالة جيب التمام لحل معادلة مثلثية.

مثال ٣: حل معادلة مثلثية تتضمَّن إزاحة لزاوية في فترة محدَّدة

أوجد مجموعة القيم التي تحقِّق (𝜃٥٠١)=١٢؛ حيث ٠<𝜃<٠٦٣.

الحل

لإيجاد حلول معادلة مثلثية في فترة مُعطاة، نبدأ بإيجاد حل خاص. في هذا السؤال، يمكن أن يساعدنا استخدام جدول القيم المثلثية الدقيقة.

نبدأ أولًا بإعادة تعريف الزاوية المُدخَلة للدالة بجعل 𝛼=𝜃٥٠١؛ بحيث يكون: ،𝛼=١٢𝜃=𝛼+٥٠١.

وبتعديل الفترة، التي تكون فيها الحلول صحيحة، بإضافة ٥٠١، نحصل على ٥٠١<𝛼<٥٦٤. وبذلك، نجد أن القيم الدقيقة لـ 𝛼؛ حيث 𝛼 مقيسة بالدرجات، كما هو موضَّح في الآتي.

𝛼٠٠٣٥٤٠٦٠٩
𝛼١󰋴٣٢󰋴٢٢١٢٠

يمكننا أن نلاحظ أن 𝛼=١٢، لكن لا تُوجد قيم مُعطاة لـ 𝛼 في الجدول؛ بحيث يكون 𝛼=١٢. إذن، برسم منحنى دالة جيب التمام والخطين 𞸑=١٢، 𞸑=١٢، يمكننا إيجاد قيمة 𝛼 المصاحبة لها.

للمنحنى تماثل دوراني؛ حيث ٠𝛼٠٨١، حول (٠٩،٠)؛ ومن ثَمَّ، فإن الحل الأول لـ 𝛼=١٢ هو: 𝛼=٠٨١٠٦=٠٢١.

باستخدام تماثل المنحنى، يصبح الحل الثاني: 𝛼=٠٨١+٠٦=٠٤٢.

يبدو أن هناك حلًّا آخر يمكن الحصول عليه من خلال 𝛼=٠٢١+٠٦٣=٠٨٤، ولكنه يقع خارج الفترة ٥٠١<𝛼<٥٦٤.

وبذلك، يكون حلا المعادلة 𝛼=١٢ هما 𝛼=٠٢١ و𝛼=٠٤٢.

وبما أننا عرَّفنا 𝜃=𝛼+٥٠١، فإن حلَّي المعادلة (𝜃٥٠١)=١٢ هما: 𝜃=٠٢١+٥٠١=٥٢٢𝜃=٠٤٢+٥٠١=٥٤٣.،

إذن مجموعة القيم هي: {٥٢٢،٥٤٣}.

لاحظ أن هناك طريقة بديلة يمكننا استخدامها لإيجاد الحل الخاص لـ 𝛼=١٢، ألا وهي استخدام الدالة العكسية لجيب التمام؛ بحيث يكون: 𝛼=󰂔١٢󰂓=٠٢١.١

عند هذه المرحلة، تكون الخطوات المتبقية لإيجاد الحلول الأخرى هي الخطوات نفسها التي اتبعناها سابقًا.

تذكَّر أيضًا أنه يمكننا استخدام تماثل دائرة الوحدة للوصول إلى النتيجة نفسها. فتمامًا كما تخبرنا قيمة الإحداثي 𞸑 لنقطة تقاطع الضلع النهائي لزاوية مع دائرة الوحدة بقيمة 𝜃، فإن قيمة الإحداثي 𞸎 تخبرنا بقيمة 𝜃.

بما أن قيمة الإحداثي 𞸎 موجبة في الربعين الأول والرابع، فباستخدام تماثل دائرة الوحدة، نجد أن 𝜃=(٠٦٣𝜃).

باستخدام تماثل دائرة الوحدة ودورية دالة جيب التمام، يمكننا كتابة صيغ الحل العام للمعادلات التي تتضمَّن هذه الدالة.

كيفية حل المعادلات البسيطة التي تتضمَّن دالة جيب التمام

إذا كان 𝜃=𝜃١ أحد حلول المعادلة 𝜃=𞸖، لثابت ما 𞸖[١،١]، يمكن الحصول على حلٍّ ثانٍ من خلال المعادلة 𝜃=٠٦٣𝜃١. ومن ثَمَّ، فإن المجموعة التي تتضمَّن جميع حلول 𝜃=𞸖 هي: 𝜃=𝜃+٢𞸍𝜋𝜃=٢𝜋𝜃+٢𞸍𝜋،𞸍𞹑.١١،

وإذا كانت 𝜃 مقيسة بالدرجات تكون الحلول هي: 𝜃=𝜃+٠٦٣𞸍𝜃=٠٦٣𝜃+٠٦٣𞸍،𞸍𞹑.١١،

في المثال السابق، أوضحنا كيفية حل معادلة مثلثية تم فيها تحويل الزاوية المُدخَلة للدالة المثلثية بطريقة ما. في مثل هذه الحالات، نبدأ بإعادة تعريف الزاوية المُدخَلة وتعديل الفترة التي نَحُل فيها، وهو ما يسمح لنا باستخدام تماثل المنحنيات المثلثية القياسية، قبل أن نَحُل أخيرًا المعادلات الناتجة بدلالة 𝜃. وهذه الطريقة، بوجه عام، أكثر منطقية من محاولة تطبيق تحويلات هندسية على منحنيات الدوال المثلثية. وفيما يلي تلخيص لذلك.

كيفية حل معادلة مثلثية بسيطة تتضمَّن تحويلًا للسعة

  1. أعِد تعريف الزاوية المُدخَلة للدالة المثلثية (على سبيل المثال، بجعل 𞸎=𝜃+٠٣).
  2. عدِّل الفترة المُعطاة التي تحاول إيجاد الحلول فيها باستخدام التعريف نفسه (على سبيل المثال، ٠𝜃٠٦٣ يعني أن ٠٣𞸎٠٩٣).
  3. أوجد جميع حلول المعادلة الناتجة في هذه الفترة الجديدة.
  4. حوِّل هذه الحلول مرةً أخرى للمتغيِّر الأصلي باستخدام التعريف الأصلي (على سبيل المثال، 𝜃=𞸎٠٣).

والآن، نوضِّح كيفية استخدام هذه الطريقة لحل معادلة تتضمَّن ثلاثة أمثال الزاوية.

مثال ٤: حل معادلة مثلثية تتضمَّن ثلاثة أمثال الزاوية في فترة محدَّدة

أوجد مجموعة القيم التي تُحقِّق ٣𞸎=١؛ حيث ٠𞸎<٢𝜋.

الحل

لحل المعادلة ٣𞸎=١، نبدأ بإعادة تعريف الزاوية المُدخَلة، وذلك بجعل 𝜃=٣𞸎؛ بحيث تكون 𞸎=𝜃٣؛ ومن ثَمَّ، تصبح المعادلة 𝜃=١؛ حيث ٠𝜃٣<٢𝜋. لتبسيط هذه الفترة، نضرب في ثلاثة لنحصل على ٠𝜃<٦𝜋.

والآن، يمكننا حل المعادلة 𝜃=١ في هذه الفترة الجديدة. بالنسبة إلى أي زاوية 𝜃 مقيسة بالراديان، تكون القيم الدقيقة لدالة الجيب على النحو الآتي.

𝜃٠𝜋٦𝜋٤𝜋٣𝜋٢
𝜃٠١٢󰋴٢٢󰋴٣٢١

ومن ثَمَّ، فإن أحد حلول المعادلة 𝜃=١ هو 𝜃=𝜋٢. لإيجاد حلول أخرى، نرسم منحنى 𞸑=𝜃 في الفترة ٠𝜃<٦𝜋، مع تذكُّر أن دالة الجيب دالة دورية، وطول دورتها ٢𝜋 راديان.

يمكننا أن نلاحظ ظهور الحلول كل ٢𝜋 راديان، وبذلك، يكون الحلان الإضافيان هما 𝜃=٥𝜋٢ و𝜃=٩𝜋٢.

ومن ثَمَّ، نستنتج أن مجموعة حل 𝜃=١ في الفترة المطلوبة هي: 󰂚𝜋٢،٥𝜋٢،٩𝜋٢󰂙.

وبما أن 𞸎=𝜃٣، إذن يمكننا العثور على مجموعة حل ٣𞸎=١ بقسمة كل قيمة من هذه القيم على ثلاثة. وهكذا، نستنتج أن مجموعة الحل هي: 󰂚𝜋٦،٥𝜋٦،٣𝜋٢󰂙.

نوضِّح الآن كيفية تطبيق هذه العملية لحل المعادلات التي تتضمَّن دالة الظل.

مثال ٥: حل معادلة مثلثية تتضمَّن إزاحة لضعف زاوية في فترة محدَّدة

أوجد القيم التي تحقِّق المعادلة 󰂔٢𞸎+𝜋٥󰂓=١؛ حيث ٠𞸎٢𝜋.

الحل

لحل هذه المعادلة، نبدأ بإعادة تعريف الزاوية المُدخَلة لنتمكَّن من استخدام تماثل دالة الظل. نفترض أن 𝜃=٢𞸎+𝜋٥؛ ومن ثَمَّ، فإن 𝜃=١ في الفترة 𝜋٥𝜃١٢𝜋٥.

بعد ذلك، يمكننا استخدام جدول القيم الدقيقة بالإضافة إلى ما نعرفه عن دورية دالة الظل لحل هذه المعادلة الجديدة.

تذكَّر، أنه لأي زاوية 𝜃 مقيسة بالراديان، تكون القيم الدقيقة لـ 𝜃 كالآتي.

𝜃٠𝜋٦𝜋٤𝜋٣𝜋٢
𝜃٠١󰋴٣=󰋴٣٣١󰋴٣غير مُعرَّفة

يمكننا أن نلاحظ أن 𝜋٤=١؛ لذا، نستخدمها لإيجاد قيمة 𝜃؛ حيث 𝜃=١. يوضِّح الشكل الآتي منحنى الدالة 𞸑=𝜃 في الفترة ٠𝜃١٢𝜋٥.

نلاحظ أن منحنى دالة الظل له تماثل دوراني حول (𞸍𝜋،٠)؛ حيث 𞸍𞹑. ومن ثَمَّ، نجد أن الحل الأول لـ 𝜃=١ هو 𝜃=𝜋𝜋٤=٣𝜋٤. وبالمثل، بما أن الدالة دورية، وطول دورتها 𝜋 راديان، إذن يمكننا إيجاد الحلول الأخرى بإضافة مضاعفات 𝜋 إلى هذه القيمة: 𝜃=٣𝜋٤+𝜋=٧𝜋٤،𝜃=٣𝜋٤+٢𝜋=١١𝜋٤،𝜃=٣𝜋٤+٣𝜋=٥١𝜋٤.

لدينا الآن أربعة حلول لـ 𝜃=١ في الفترة المطلوبة. وبما أننا عرَّفنا 𝜃=٢𞸎+𝜋٥، إذن يمكننا إيجاد قيمة 𞸎 بالتعويض بـ 𝜃=٢𞸎+𝜋٥ في كل حالة، والحل لإيجاد قيم 𞸎. في حالة القيمة الأولى لـ 𝜃، نحصل على: ٢𞸎+𝜋٥=٣𝜋٤٢𞸎=١١𝜋٠٢𞸎=١١𝜋٠٤.

وبالمثل، فإن القيم الأخرى لـ 𞸎 تكون ١٣𝜋٠٤،١٥𝜋٠٤، ١٧𝜋٠٤. إذن مجموعة القيم التي تحقِّق 󰂔٢𞸎+𝜋٥󰂓=١؛ حيث ٠𞸎٢𝜋 هي: 󰂚١١𝜋٠٤،١٣𝜋٠٤،١٥𝜋٠٤،١٧𝜋٠٤󰂙.

في المثال السابق، تناولنا دورية دالة الظل. ومثلما كتبنا صيغًا لدالتَي الجيب وجيب التمام، يمكننا الآن كتابة الحلول العامة للمعادلات التي تتضمَّن دالة الظل هذه.

كيفية حل المعادلات البسيطة التي تتضمَّن دالة الظل

إذا كان 𝜃=𝜃١ هو أحد حلول المعادلة 𝜃=𞸖، لثابت ما 𞸖𞹇، فإن المجموعة التي تتضمَّن كل حلول 𝜃=𞸖 هي: 𝜃=𝜃+𞸍𝜋،𞸍𞹑.١

إذا كانت الزاوية 𝜃 مقيسة بالدرجات، تكون مجموعة الحل هي: 𝜃=𝜃+٠٨١𞸍،𞸍𞹑.١

حتى الآن، لم نتناول سوى الدوال المثلثية «القياسية»؛ أي دوال الجيب وجيب التمام والظل. لكن، من المهم أن نفهم أن هذه العملية نفسها تنطبق على مقلوبات الدوال؛ أي قاطع التمام والقاطع وظل تمام الزاوية. نوضِّح ذلك في المثال الآتي.

مثال ٦: إيجاد الحل العام لمعادلة تتضمَّن مقلوب دالة مثلثية

أوجد الحل العام للمعادلة 𝜃=󰋴٢.

الحل

تذكَّر أن دالة القاطع هي مقلوب دالة جيب التمام. بعبارة أخرى: 𝜃١𝜃.

ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة كتابة المعادلة 𝜃=󰋴٢ على الصورة: ١𝜃=󰋴٢𝜃=١󰋴٢=󰋴٢٢.

نعلم أنه لأي زاوية 𝜃 مقيسة بالراديان، تنطبق القيم الدقيقة الآتية لدالة جيب التمام.

𝜃٠𝜋٦𝜋٤𝜋٣𝜋٢
𝜃٠󰋴٣٢󰋴٢٢١٢٠

وفي حين نلاحظ أن قيمة 𝜋٤ هي 󰋴٢٢، لا تُوجد لدينا قيمة مناظرة لـ 󰋴٢٢. لذا، بدلًا من ذلك، نرسم منحنى 𞸑=𝜃 لاستنتاج الحلول ذات الصلة.

لمنحنى الدالة تماثل دوراني في الفترة ٠𝛼٠٨١ حول 󰂔𝜋٢،٠󰂓؛ لذا، فإن الحل الأول لـ 𝜃=󰋴٢٢ هو: 𝜃=𝜋𝜋٤=٣𝜋٤.

وبالمثل، يُعطى الحل الثاني من خلال: 𝜃=٣𝜋٢𝜋٤=٥𝜋٤.

وبما أن دالة جيب التمام دالة دورية طول فترتها ٢𝜋 راديان، إذن يمكننا إيجاد حلول أخرى بإضافة المضاعفات الصحيحة إلى كلا الحلين. على سبيل المثال، يمكننا إيجاد حل آخر عن طريق طرح ٢𝜋 من ٥𝜋٤: 𝜃=٥𝜋٤٢𝜋=٣𝜋٤.

بعبارة أخرى، الحل العام للمعادلة 𝜃=󰋴٢ هو: ٣𝜋٤+٢𝜋𞸍،٥𝜋٤+٢𝜋𞸍،𞸍𞹑.

أو: ٣𝜋٤+٢𝜋𞸍،٣𝜋٤+٢𝜋𞸍،𞸍𞹑.

في هذا الشارح، أوضحنا كيفية استخدام تماثل دوال الجيب وجيب التمام وظل الزاوية ودورية كلٍّ منها لإيجاد جميع حلول معادلة مثلثية في فترة محدَّدة أو الحل العام لها. والآن نلخِّص المفاهيم الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • يمكننا حل المعادلات المثلثية البسيطة باستخدام جداول القيم الدقيقة أو الدوال المثلثية العكسية.
  • لمساعدتنا في حساب جميع حلول معادلة مُعطاة في فترة محدَّدة، يمكننا رسم منحنى الدالة المثلثية المطلوبة أو استخدام دائرة الوحدة.
  • يسمح لنا تماثل دوال الجيب وجيب التمام وظل الزاوية ودورية كلٍّ منها بحساب المزيد من حلول المعادلات المثلثية أو الحلول العامة التي تتضمَّن المضاعفات الصحيحة لـ ٠٦٣ أو ٢𝜋 لدالتَي الجيب وجيب التمام و٠٨١ أو 𝜋 لدالة الظل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.