فيديو السؤال: إيجاد مركبة متجه الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

افترض النقطتين ﺃ خمسة، سالب واحد، سالب ثمانية، وﺏ سالب ثلاثة، سالب تسعة، سالب ستة. أوجد مركبة المتجه ﻡ يساوي سالب خمسة ﺱ ناقص اثنين ﺹ زائد اثنين ﻉ في اتجاه ﺃﺏ، لأقرب جزء من مائة.

حسنًا، في هذا التمرين، لدينا المتجه ﻡ والنقطتان ﺃ وﺏ؛ حيث تقع جميعها في فضاء ثلاثي الأبعاد. إذا افترضنا أن هذه هي النقطة ﺃ، وأن هذه هي النقطة ﺏ، فإن المتجه ﺃﺏ يمتد من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺏ هكذا. إننا نريد معرفة مقدار تراكب المتجه ﻡ المعطى هذا على المتجه ﺃﺏ. للبدء في حل ذلك، دعونا نوجد مركبات المتجه ﺃﺏ هذا. هذا المتجه يعطى بواسطة إحداثيات ﺏ ناقص إحداثيات ﺃ. سنعوض بتلك الإحداثيات المعطاة. عند إجراء عملية الطرح، سيكون لدينا سالب ثلاثة ناقص خمسة، أي سالب ثمانية وسالب تسعة ناقص سالب واحد، وهو ما يساوي سالب ثمانية أيضًا، وسالب ستة ناقص سالب ثمانية. سيساوي هذا موجب اثنين. إذن مركبات المتجه ﺃﺏ هي سالب ثمانية، سالب ثمانية، اثنان.

بمعلومية ذلك، يمكننا الآن كتابة المتجه ﻡ بالترميز نفسه باستخدام الأقواس. سيكون إذن سالب خمسة، سالب اثنين، موجب اثنين. دعونا نتذكر الآن أنه إذا ما أردنا الحل بصفة عامة لإيجاد مركبة المتجه ﺃ في اتجاه متجه آخر ﺏ، فإنها ستساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين مقسومًا على معيار المتجه الثاني. عندما نحسب ذلك، فإننا نحسب ما يسمى بالإسقاط القياسي لـ ﺃ على ﺏ. بتطبيق هذه العلاقة على الحالة التي لدينا، فإن ما نريد حسابه هو ﻡ ضرب قياسي ﺃﺏ على معيار ﺃﺏ. هذا يعطينا مركبة المتجه ﻡ في اتجاه ﺃﺏ. بالتعويض بالقيم المعلومة لهذين المتجهين، نحصل على ذلك.

لاحظ أننا نستخدم حقيقة أن معيار أي متجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته. يمكننا إجراء هذه العملية الحسابية أولًا في البسط بضرب المركبات المتناظرة لهذه المتجهات معًا، وثانيًا في المقام بتربيع مركبات المتجه ﺃﺏ. بإجراء ذلك، نحصل في البسط على ٤٠ زائد ١٦ زائد أربعة، وفي المقام على الجذر التربيعي لـ ٦٤ زائد ٦٤ زائد أربعة. هذا يساوي ٦٠ مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ١٣٢. هذه هي الإجابة الدقيقة، لكننا نريد تقريب الناتج النهائي لأقرب جزء من مائة. بحساب قيمة هذا الكسر لأقرب جزء من مائة، فإنه يساوي ٥٫٢٢. هذه هي مركبة المتجه ﻡ في اتجاه ﺃﺏ.