فيديو الدرس: الإسقاط القياسي الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتحدث عن مسقط المتجه. وكما قد نخمن، فهذا يعني شيئًا مختلفًا قليلًا عما نشاهده على الشاشة. فمسقط المتجه الذي سنتحدث عنه يتعلق بإيجاد قيمة مركبة المتجه المعطى التي تقع على امتداد آخر.

سنبدأ بالحديث عن فكرة الإسقاط. لنفترض أن لدينا متجهًا، سنطلق عليه المتجه ﺃ، يوجد في فضاء ثلاثي الأبعاد. في هذه الحالة، يمكننا القول إن مركبات المتجه ﺃ تمثل قيمة مركبة المتجه الواقعة على امتداد المحاور الثلاثة ﺱ وﺹ وﻉ أو يتداخل معها. على سبيل المثال، إذا نزلنا بالمتجه ﺃ لأسفل إلى المستوى ﺱ وﻉ؛ أي أسقطناه على هذا المستوى، فسنجد أن قيمة مركبة المتجه في الاتجاه ﺱ يساوي ﺃﺱ وقيمة مركبته في الاتجاه ﻉ يساوي ﺃﻉ. يمكننا القول إذن إن هاتين المركبتين تمثلان مسقطي المتجه على محوري الإحداثيات هذين.

لكن بعد ذلك لا يوجد ما ينص على أنه لا يمكننا إسقاط أي متجه إلا في هذه الاتجاهات الثلاثة؛ ﺱ وﺹ وﻉ. إذ يمكننا اختيار متجه في أي اتجاه، ثم إيجاد قيمة مركبة المتجه ﺃ الواقعة على امتداده. أيًا كان الناتج الذي نحصل عليه، فسيكون كمية قياسية وليس كمية متجهة. وعليه، فإن هذا ما نعنيه عندما نتحدث عن مسقط المتجه، أي طول الجزء الذي يشترك فيه متجه مع آخر.

سنفترض أن لدينا متجهًا في أي اتجاه، أطلقنا عليه المتجه ﺏ، وله هذه المركبات الثلاثة. بمعلومية ذلك، يمكننا إيجاد مسقط المتجه ﺃ على المتجه ﺏ رياضيًا بهذه الطريقة. سنوجد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين، ونقسم ذلك على معيار المتجه الذي يتم الإسقاط عليه، وهو في هذه الحالة المتجه ﺏ. من هذه الصيغة لمسقط المتجه، نلاحظ أن علينا معرفة مركبات المتجهين المذكورين، وهما في هذه الحالة ﺃ وﺏ. لكن إذا تذكرنا ما يساويه حاصل الضرب القياسي لمتجهين بشكل عام، فسنرى أن هذا لا ينطبق دائمًا.

دعونا نتذكر أن حاصل الضرب القياسي لمتجهين، يمكننا أن نطلق عليهما ﻡ واحد وﻡ اثنين، يساوي حاصل ضرب معياري هذين المتجهين مضروبًا في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما. هذه العلاقة تعني أنه يمكننا التعويض عن حاصل الضرب القياسي لـ ﺃ وﺏ في معادلة مقدار مسقط المتجه بمعيار ﺃ مضروبًا في معيار ﺏ في جيب تمام الزاوية المحصورة بين ﺃ وﺏ. بالعودة إلى الرسم، يمكننا الإشارة إلى تلك الزاوية بهذه الطريقة. ونلاحظ أننا قد أطلقنا عليها 𝜃.

بالنظر إلى الطريقة الثانية المكافئة للتعبير عن مقدار مسقط المتجه، نجد أن معيار المتجه ﺏ يحذف من البسط والمقام. إذن، لدينا هاتان الطريقتان المتكافئتان لكتابة مسقط المتجه ﺃ على المتجه ﺏ. ونلاحظ أنه في الطريقة الثانية، علينا فقط معرفة معيار المتجه الأول وقياس الزاوية المحصورة بين المتجهين.

عندما نتحدث عن مقدار مسقط المتجه، سيكون من المفيد تمثيله لرؤية ما يعنيه هذا. لننظر إلى هذين المتجهين ﺟ وﺩ، وهما في فضاء ثنائي الأبعاد. إذا أسقطنا المتجه ﺟ على المتجه ﺩ، فإننا سنحسب هذا الطول المحدد هنا. إنه الطول الذي يشترك فيه هذان المتجهان. وقد علمنا أن هذا الطول رياضيًا يساوي حاصل الضرب القياسي لـ ﺟ وﺩ مقسومًا على معيار المتجه الذي يتم الإسقاط عليه. حتى عندما نتعامل مع المتجهات الثلاثية الأبعاد، يمكننا أن نفكر في هذه الصورة الثنائية الأبعاد. ومن ثم، نعرف التفسير الهندسي لما نفعله عند حساب مسقط المتجه.

بعد معرفة هذا كله، دعونا نتدرب قليلًا على هذه الأفكار من خلال مثال تدريبي.

إذا كان معيار ﺃ يساوي خمسة، ومعيار ﺏ يساوي ١٥، وقياس الزاوية بينهما ٣٠ درجة، فأوجد مسقط ﺏ الجبري في اتجاه ﺃ.

حسنًا، في هذا التدريب، لدينا هذان المتجهان ﺃ وﺏ. ونعرف أن معيار المتجه ﺃ يساوي ثلث معيار المتجه ﺏ، وكذلك يفصل بينهما زاوية قياسها ٣٠ درجة. بمعلومية ذلك، نريد إيجاد قيمة المسقط الجبري، المعروف أيضًا باسم مقدار مسقط المتجه ﺏ في اتجاه المتجه ﺃ. إذن، ما نقترحه هو إسقاط المتجه ﺏ على امتداد هذا الخط الذي رسمناه على امتداد المتجه ﺃ. إننا نريد بالأساس إيجاد قيمة مركبة المتجه ﺏ الذي يوازي المتجه ﺃ.

يمكننا معرفة كيفية حساب مقدار مسقط المتجه من خلال إحدى طريقتين. الطريقة الأولى هي أن نتذكر أن مقدار مسقط متجه، نطلق عليه ﻡ واحد، على آخر، أي ﻡ اثنين، يعطى بهذين التعبيرين الموضحين هنا. فعلى سبيل المثال، يمكننا استخدام حقيقة أن معيار المتجه الأول مضروبًا في جيب تمام الزاوية المحصورة بين المتجهين يعطينا مقدار مسقط المتجه لإيجاد مقدار مسقط ﺏ الجبري على ﺃ.

نلاحظ على الرغم من ذلك أنه يمكننا أيضًا الوصول إلى هذا الاستنتاج برسم المتجهين ﺃ وﺏ. يمثل المتجه ﺏ بالأساس وتر مثلث قائم الزاوية. وبذلك، نجد أن معيار الوتر هنا، أي معيار ﺏ، مضروبًا في جيب تمام الزاوية المحصورة بين ﺏ واتجاه ﺃ، وهي ٣٠ درجة، يعطينا هذا المسقط الجبري. فأي طريقة نختارها تصل بنا إلى النتيجة نفسها.

سنعوض عن معيار ﺏ بـ ١٥. وبمعلومية أن جتا ٣٠ درجة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين، نجد أن الناتج يساوي ١٥ في الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين. إذن، هذا هو المسقط الجبري أو مقدار مسقط المتجه ﺏ في اتجاه ﺃ.

دعونا الآن نلق نظرة على مثال فيه مقدار مسقط المتجه يساوي قيمة سالبة.

إذا كان قياس الزاوية الصغرى بين المتجهين ﺃ وﺏ يساوي ١٥٠ درجة ومعيار المتجه ﺏ يساوي ٥٤، فأوجد مركبة المتجه ﺏ في اتجاه ﺃ.

حسنًا، في هذا السؤال، لدينا هذان المتجهان ﺃ وﺏ. ولكي نعرف العلاقة بينهما، دعونا نفترض أنهما يقعان في المستوى ﺱﺹ. يمكننا إذن رسم هذين المتجهين بهذا الشكل. ونحن نعلم من المعطيات أن الزاوية الصغرى المحصورة بين هذين المتجهين، أي هذه الزاوية هنا، والتي يمكن أن نطلق عليها 𝜃، قياسها يساوي ١٥٠ درجة. المطلوب منا هو إيجاد مركبة المتجه ﺏ في اتجاه المتجه ﺃ.

بالنظر إلى الرسم، قد نتساءل ما إذا كانت الإجابة لا تساوي صفرًا؛ لأنه يبدو كما لو أن المتجه ﺏ لا يقع أي جزء منه في اتجاه المتجه ﺃ. لابد هنا أن ننتبه لأن هذه العبارة «في اتجاه ﺃ» تعني في اتجاه المستقيم الذي يمر بالمتجه ﺃ، أي هذا الخط المتقطع، حيث افترضنا أن يكون للمستقيم نفس اتجاه المتجه ﺃ. للإجابة عن هذا السؤال، سنحسب هذه المسافة هنا. وهي مركبة المتجه ﺏ في اتجاه ﺃ.

لكي نبدأ في إيجاد قيمة هذا، دعونا نتذكر أن مقدار مسقط متجه على آخر يساوي حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين مقسومًا على معيار المتجه الذي يتم الإسقاط عليه. وهذا يساوي أيضًا معيار المتجه الأول، وأطلقنا عليه ﻡ واحد، مضروبًا في جيب تمام الزاوية المحصورة بين المتجهين. فهذه الصورة لمعادلة مقدار مسقط المتجه، هي التي يمكننا الاستفادة منها في هذا السؤال تحديدًا. على كل حال، نحن نعرف معيار ما يمكننا أن نطلق عليه المتجه الأول، أي معيار المتجه ﺏ، ونعلم أيضًا قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين.

ما نريد حسابه إذن هو معيار ﺏ في جتا 𝜃، أو التعويض بالقيم المعطاة، ليصبح لدينا ٥٤ في جتا ١٥٠ درجة. وجيب تمام هذه الزاوية يساوي بالضبط سالب الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين. إذن، مقدار مسقط المتجه يساوي ٥٤ في سالب جذر ثلاثة على اثنين؛ أو بصورة مبسطة سالب ٢٧ جذر ثلاثة. وهذه هي مركبة المتجه ﺏ في اتجاه المتجه ﺃ. ونلاحظ من هذه النتيجة أن مقدار مسقط المتجه بشكل عام قد يكون سالبًا. في هذه الحالة، يرجع ذلك إلى حقيقة أن جزء المتجه ﺏ الواقع على المستقيم الممتد من المتجه ﺃ يشير إلى الاتجاه المعاكس للمتجه ﺃ.

سنتناول الآن مثالًا نتعامل فيه مع المتجهات باستخدام مركباتها.

أوجد، لأقرب جزء من مائة، مركبة المتجه ﻡ في اتجاه ﺃﺏ، إذا كان ﻡ يساوي سالب سبعة، اثنان، ١٠؛ وإحداثيات النقطتين ﺃ وﺏ هما واحد، سالب أربعة، سالب ثمانية وثلاثة، اثنان، صفر، على الترتيب.

حسنًا، في هذا السؤال، لدينا متجه ثلاثي الأبعاد، وهو ﻡ، ونقطتان في فضاء ثلاثي الأبعاد هما ﺃ وﺏ. لنفترض أن النقطة ﺃ تقع هنا والنقطة ﺏ هنا. نريد إيجاد قيمة مركبة هذا المتجه ﻡ المعطى في اتجاه المتجه ﺃﺏ. يمتد هذا المتجه ﺃﺏ من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺏ بهذا الشكل. ولحساب مركبة المتجه ﻡ في اتجاه ﺃﺏ، علينا معرفة مركبات المتجه ﺃﺏ.

لإيجاد قيم هذه المركبات، يمكننا طرح إحداثيات النقطة ﺃ من إحداثيات النقطة ﺏ. بعبارة أخرى، يمكننا كتابة أن المتجه ﺃﺏ يساوي ﺏ ناقص ﺃ على الصورة المتجهة. بالتعويض بإحداثيات ﺏ وﺃ، نجد أن طرح إحداثيات ﺃ من إحداثيات ﺏ يعطينا متجهًا مركباته ثلاثة ناقص واحد؛ أي اثنين، واثنان ناقص سالب أربعة؛ أي ستة، وصفر ناقص سالب ثمانية؛ أي ثمانية. إذن، لدينا الآن المتجه ﺃﺏ. وكما علمنا، فإننا نريد إيجاد قيمة مركبة المتجه ﻡ الواقعة في اتجاه ﺃﺏ.

يمكننا البدء في حساب ذلك بتذكر أن مقدار مسقط متجه على آخر يساوي حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين مقسومًا على معيار المتجه الذي يتم الإسقاط عليه. في هذا المثال، عند حساب مركبة المتجه ﻡ في اتجاه ﺃﺏ، فإننا نحسب مقدار مسقط المتجه ﻡ على ﺃﺏ. ومن ثم، يمكننا القول إن الكمية التي نريد إيجادها تساوي حاصل الضرب القياسي لـ ﻡ في ﺃﺏ على معيار المتجه ﺃﺏ.

بتذكر أن معيار المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته، نجد أن ما نريد حسابه هو حاصل الضرب القياسي هذا مقسومًا على هذا الجذر التربيعي. عند إجراء هذا الضرب القياسي، نبدأ بضرب المركبات المتناظرة لهذين المتجهين معًا. سنحسب قيمة المقام، لنجد أن اثنين تربيع يساوي أربعة، وستة تربيع يساوي ٣٦، وثمانية تربيع يساوي ٦٤. فيبسط الكسر إلى سالب ١٤ زائد ١٢ زائد ٨٠ مقسومًا على الجذر التربيعي لأربعة زائد ٣٦ زائد ٦٤. هذا يساوي ٧٨ على الجذر التربيعي لـ ١٠٤.

يمكننا ترك الناتج بهذه الصورة، إلا أنه مطلوب منا تقريب ذلك لأقرب جزء من مائة. إذا حسبنا هذا الكسر على الآلة الحاسبة، فسنجد أنه لأقرب جزء من مائة يساوي ٧٫٦٥. إذن، هذه هي مركبة المتجه ﻡ في اتجاه المتجه ﺃﺏ.

دعونا الآن نتناول مثالًا آخر على مقدار مسقط المتجه.

‏‏ﺃﺏﺟ مثلث قائم الزاوية في ﺏ؛ حيث ﺃﺏ يساوي ١٧ سنتيمترًا، وﺏﺟ يساوي ١١ سنتيمترًا، وﺩ تنصف ﺃﺟ. أوجد المسقط الجبري للمتجه ﺃﺩ في اتجاه ﺟﺏ.

حسنًا، في هذا المثال، لدينا هذا المثلث القائم الزاوية الذي يبدو بهذا الشكل. نحن نعلم من المعطيات أن طول الضلع ﺃﺏ يساوي ١٧ سنتيمترًا، لن نكتب هنا الوحدات، بينما ﺏﺟ يساوي ١١ سنتيمترًا. وهناك نقطة يطلق عليها ﺩ، وهي تمثل نقطة المنتصف بين ﺃ وﺟ على وتر المثلث. يطلب منا السؤال إيجاد المسقط الجبري للمتجه ﺃﺩ في اتجاه متجه آخر هو ﺟﺏ.

أولًا، دعونا نعرف ﺃﺩ. هذا متجه يبدأ من النقطة ﺃ وينتهي عند النقطة ﺩ. وبالمثل، ﺟﺏ هو متجه يبدأ من النقطة ﺟ وينتهي عند النقطة ﺏ. إذن الفكرة هي أننا نريد إيجاد المسقط الجبري لهذا المتجه على هذا المتجه.

للبدء في إيجاد ذلك، دعونا أولًا نوجد مركبات هذين المتجهين. لنفترض أن النقطة ﺏ في المثلث تمثل نقطة الأصل للمستوى الإحداثي ﺱﺹ. ونرى هنا أن المتجه ﺟﺏ يقع على المحور ﺱ، والقطعة المستقيمة ﺃﺏ تقع على المحور ﺹ. من هذا المنظور، يمكننا تحديد إحداثيات النقاط الأربعة ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ.

الإحداثي ﺱ للنقطة ﺃ يساوي صفرًا والإحداثي ﺹ يساوي ١٧. النقطة ﺏ؛ لأنها موجودة عند نقطة الأصل، فإن إحداثياتها هي صفر، صفر، بينما إحداثيات النقطة ﺟ هي ١١، صفر. لكن ماذا عن إحداثيات النقطة ﺩ؟ نظرًا لأن النقطة ﺩ تنصف القطعة المستقيمة ﺃﺟ، فهذا يعني أن إحداثييها ﺱ وﺹ يساويان نصف طولي هذين الضلعين في المثلث. وهو ما يعني أن الإحداثي ﺱ للنقطة ﺩ يساوي ١١ مقسومًا على اثنين؛ أي ٥٫٥، بينما الإحداثي ﺹ يساوي ١٧ مقسومًا على اثنين؛ أي ٨٫٥.

بعد معرفة هذا كله، يمكننا الآن التركيز على إيجاد مركبات المتجهين ﺃﺩ وﺟﺏ. المتجه ﺃﺩ يساوي إحداثيات النقطة ﺩ ناقص إحداثيات النقطة ﺃ، جميعها على الصورة المتجهة. عندما نعوض بإحداثيات النقطتين ﺩ وﺃ، نجد أن عملية الطرح هذه تعطينا الناتج ٥٫٥ وسالب ٨٫٥. وهما يمثلان المركبتين ﺱ وﺹ للمتجه ﺃﺩ.

بعد ذلك، دعونا نحسب مركبتي ﺟﺏ. للقيام بذلك، سنطرح إحداثيات النقطة ﺟ من إحداثيات النقطة ﺏ، وهو ما يعني أننا سنطرح النقطة ١١، صفر من النقطة صفر، صفر. وينتج عن ذلك المتجه سالب ١١، صفر. حسنًا، لدينا الآن متجهان، ونريد إيجاد قيمة المسقط الجبري لـ ﺃﺩ في اتجاه ﺟﺏ.

لإيجاد ذلك، دعونا نتذكر أن مقدار مسقط المتجه، والذي يعرف أيضًا بالمسقط الجبري لمتجه، أي ﻡ واحد، على آخر، أي ﻡ اثنين، يساوي حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين مقسومًا على معيار المتجه الذي يتم الإسقاط عليه. في هذه الحالة، ما نريد حسابه هو حاصل الضرب القياسي لـ ﺃﺩ في ﺟﺏ مقسومًا على معيار ﺟﺏ. بعد التعويض بمركبات هذين المتجهين، وتذكر أن معيار المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي مركبتيه، نبدأ في حساب حاصل الضرب القياسي بضرب المركبتين المتناظرتين للمتجهين معًا.

بالإضافة إلى ذلك، نلاحظ أن سالب ١١ تربيع يساوي ١٢١، وصفر تربيع يساوي صفرًا؛ ما يعني أن مقدار هذا المسقط يساوي ٥٫٥ في سالب ١١ مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ١٢١. لكن ١٢١ يساوي ١١ تربيع؛ ومن ثم سنحذف العامل ١١ الموجود في البسط والمقام. ويتبقى لدينا سالب ٥٫٥. وهذا هو مقدار المسقط الجبري للمتجه ﺃﺩ في اتجاه ﺟﺏ.

دعونا نختتم الآن بتلخيص بعض النقاط الأساسية عن مقدار مسقط المتجه. في هذا الدرس، عرفنا أن مركبة متجه، نطلق عليه المتجه ﺃ، في اتجاه متجه آخر، نطلق عليه المتجه ﺏ، تسمى مقدار مسقط المتجه ﺃ على ﺏ. رياضيًا، مقدار المسقط هذا يساوي حاصل الضرب القياسي لـ ﺃ وﺏ مقسومًا على معيار المتجه ﺏ أو يكافئ معيار ﺃ في جيب تمام الزاوية المحصورة بين المتجهين. هندسيًا، توضح لنا هذه الصورة كيف يبدو شكل هذا المسقط في فضاء ثنائي الأبعاد. وأخيرًا، عرفنا أن مقدار مسقط المتجه يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا أو يساوي صفرًا.