شارح الدرس: الإسقاط القياسي الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مقدار مسقط متجه على آخر.

المتجهات هي كميات لها مقدار واتجاه. في هذا الشارح، نستعرض مفهوم إسقاط متجه في اتجاه متجه آخر.

لوصف الإسقاط رياضيًّا، نحتاج إلى استخدام الضرب القياسي. وهذا هو أحد أنواع ضرب المتجهات. نسترجع تعريف الضرب القياسي لمتجهين ، :

لا يتضمَّن الضرب القياسي، في حد ذاته، تمثيلًا هندسيًّا مفيدًا خاصًّا به، لكنه يصبح مفيدًا للغاية عند التعامل مع الإسقاط القياسي.

وكما يشير الاسم، فإن إجراء الإسقاط القياسي لمتجه في اتجاه تَنتج عنه كمية قياسية. هذه الكمية القياسية تَصِف مركبة المتجه في اتجاه .

إن إجراء الإسقاط الاتجاهي له تفسير مشابه جدًّا. إذ يَنتج عن هذه العملية في حد ذاتها متجه، وذلك يُبقي على الخاصية الاتجاهية بالتوازي مع المتجه .

ولتحقيق غرض هذا الشارح، نتناول فقط: الإسقاط القياسي، المعرف بالأسفل.

يخبرنا الإسقاط القياسي بمركبة المتجه التي تشير في اتجاه متجه آخر، .

ربما نكون قد اختبرنا ذلك بالفعل فيما سبق؛ حيث يمكن اعتبار الصورة الإحداثية لمتجه تطبيقًا للإسقاط القياسي. يمكننا معرفة ذلك بتذكُّر أن متجه الوحدة في اتجاه مُعرَّف بواسطة:

ويعني هذا أن التعريف البديل للإسقاط القياسي هو:

وبما أن ، ، متجهات وحدة في الاتجاهات ، ، على الترتيب، إذن يمكننا إيجاد مركبة في أحد الاتجاهات الأصلية عن طريق إجراء الضرب القياسي مع متجهات الوحدة هذه. على سبيل المثال، يمكن إيجاد مركبة في الاتجاه عن طريق حساب .

للوصول إلى فهم بديهي للإسقاط القياسي، قد يكون من المفيد تذكُّر هندسة المثلث القائم الزاوية.

فكِّر في الحالة التي يكون فيها قياس الزاوية بين متجهين أصغر من . في الشكل السابق، يمكن التفكير في على أنه طول الوتر في مثلث قائم الزاوية، وفي مقدار مسقط المتجه على أنه طول الضلع المجاور للزاوية .

نتناول مثالًا فيما بعد يوضِّح أن الإسقاط القياسي يتجاوز ما هو أبعد من هندسة المثلث القائم الزاوية؛ ذلك لأن الزاوية يمكن أن تكون أكبر من ، لكن العلاقة لا تزال قائمة.

يوجد بعض الحالات المعيَّنة الجديرة بالذكر التي يكون فيها المتجهان متوازيين أو متعامدين. إذا كان المتجهان متوازيين ويشيران إلى الاتجاه نفسه، فإن الزاوية بينهما تساوي . أما إذا كانا متوازيين ويشيران إلى اتجاهين متعاكسين، فإن الزاوية بينهما تساوي . وأخيرًا، إذا كان المتجهان متعامدين، فإن الزاوية بينهما تساوي . هذه الحالات موضَّحة بالأسفل:

من المنطقي أن مركبة أي متجه يشير إلى نفس الاتجاه الموازي له تساوي ببساطة معيار المتجه. بالنسبة إلى المتجهين اللذين يشيران إلى اتجاهين متوازيين متعاكسين، نلاحظ وجود معيار سالب، سنتحدث عنه لاحقًا في هذا الشارح. وبالمثل، لا توجد مركبة لمتجه يشير إلى الاتجاه العمودي؛ ذلك لأن مقدار مسقط المتجه في هذا الاتجاه يساوي صفرًا.

ولفهم ذلك بصورة أوضح، سنلقي نظرة على بعض الأمثلة للإسقاط القياسي.

من الجدير بالملاحظة أيضًا، أنه باستخدام الضرب القياسي، يمكننا إجراء الإسقاط القياسي دون الحاجة إلى إيجاد قياس الزاوية، ، الواقعة بين المتجهين:

قد يكون ذلك مفيدًا في الحالات التي يكون فيها المتجهان مُعطيين على الصورة الإحداثية.

يمكن أيضًا استخدام الإسقاط القياسي في الأمثلة المتعلِّقة بالأنظمة الهندسية. نلقي نظرة على أحد هذه الأمثلة.

مثال ٣: إيجاد المسقط القياسي عندما يمثِّل متجهان قطرَي مكعب

طول حرف المكعب الموضَّح وحدة طول. ما طول مسقط على ، مقرِّبًا الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

يطلب منا هذا السؤال إيجاد مقدار مسقط متجه على متجه آخر. هذان المتجهان هما قطرا مكعب.

قد يقودنا حدسنا إلى الاعتقاد بأن قطرَي المكعب متعامدان؛ ومن ثَمَّ، فإن النتيجة بالتأكيد تساوي صفرًا. وهذا خطأ! في الواقع، قياس الزاوية بين القطرين لا يساوي ، ومن ثَمَّ، فإن مقدار مسقط المتجه لا يساوي صفرًا. نتحقَّق من ذلك من خلال إجراء بعض العمليات الحسابية.

لا يعطينا هذا السؤال أيًّا من المتجهين، وبدلًا من ذلك، يعطينا طول حرف المكعب. يمكننا استخدام ذلك لإيجاد المتجهين.

نبدأ بإيجاد إحداثيات النقطة . وبما أن هي نقطة الأصل، إذن يعطينا هذا على الفور المتجه .

وبما أن النقطة تقع عند نقطة الأصل، والنقطة تقع في الركن المقابل لها في المكعب، إذن من المنطقي أن المسافات بين هاتين النقطتين في الاتجاهات ، ، جميعها متساوية في المقدار. ومن الشكل، يمكننا ملاحظة أن مقدار المسافة الفاصلة يساوي طول حرف المكعب؛ ومن ثَمَّ، نستنتج الآتي:

وباستخدام المنطق نفسه، قد نلاحظ أن النقطة تقع رأسيًّا أعلى نقطة الأصل، وتفصلها مسافة ما في اتجاه المحور فقط مقدارها يساوي طول أحد أحرف المكعب، أما النقطة فتبعُد مسافة ما عن نقطة الأصل في اتجاه المحورين ، ، لكن ليس في اتجاه المحور :

وهذا يعطينا طريقة لإيجاد المتجه :

لإيجاد مقدار مسقط المتجه المطلوب، يمكننا استخدام الصيغة الآتية:

للمتابعة، سنحتاج إلى معيار المتجه :

يمكننا التعويض بهذه القيمة في صيغتنا وفك حاصل الضرب القياسي كالآتي:

بعد حذف العاملين المشتركين ٤٤ و١٧ من بسط الكسر ومقامه، يتبقَّى لدينا مقام غير نسبي. وعلى الرغم من أنه يمكننا إنطاق المقام، فإننا نتذكَّر أن السؤال يطلب أن تكون الإجابة مقرَّبة لأقرب منزلتين عشريتين:

من الجدير بالملاحظة أن إيجاد قياس زاوية بين متجهين، كما في الأمثلة الهندسية السابقة، طريقة صحيحة تمامًا (وأحيانًا أكثر كفاءةً).

لكن، بالنسبة إلى المكعب، نظرًا لأن الزاوية بين القطرين غير معلومة عادةً، اخترنا استخدام طريقة مختلفة بالاستعانة بمركبات المتجهين. كما أن إيجاد قياس الزاوية بين هذين المتجهين يتضمَّن العديد من الوسائل نفسها (مثل الضرب القياسي).

والمثير للاهتمام، أننا لو اخترنا طريقة إيجاد قياس الزاوية، لوجدنا أن بدلًا من أن يكون قياسها الذي قد يفترضه البعض.

والملاحظة الأخيرة في هذا الشارح، هي أن إجابتنا في المثال السابق سالبة. ويمكننا معرفة سبب ذلك بالنظر إلى الشكلين الآتيين.

في الأمثلة القليلة الأولى في هذا الشارح، لاحظنا أن قياس الزاوية بين المتجهين، ، كان أصغر من . وفي مثل هذه الحالات، سيكون للمتجه مركبة موجبة في اتجاه .

ولو كنا قد استخدمنا الزاوية المكمِّلة (التي يُرمَز لها بالرمز في الشكلين)، لاحتوت الإجابة على خطأ في الإشارة؛ حيث .

والسبب في ذلك هو أننا كنا سنحسب بالفعل مقدار مسقط المتجه على المتجه الجديد الذي يشير إلى الاتجاه المعاكس لـ .

إن التفسير الهندسي لأي نتيجة سالبة لمسقط متجه هو أن المتجه الأصلي، ، له مركبة تشير إلى الاتجاه المعاكس للمتجه .

ومن ثَمَّ، يعطينا مقدار مسقط المتجه إجابات موجبة عندما يكون قياس الزاوية بين المتجهين أصغر من ، وإجابات سالبة عندما يكون قياس الزاوية بين المتجهين أكبر من .