فيديو السؤال: إيجاد الجذور التربيعية للأعداد المركبة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل المعادلة ﻉ تربيع يساوي اثنين زائد اثنين جذر ثلاثة ﺕ في مجموعة الأعداد المركبة.

حسنًا، لحل هذه المعادلة وإيجاد قيمة ﻉ، علينا إيجاد الجذر التربيعي لكلا الطرفين. في الطرف الأيسر من المعادلة، نلاحظ أن لدينا عددًا مركبًا. إنه يتضمن جزءًا حقيقيًّا يساوي اثنين، وجزءًا تخيليًّا يساوي اثنين جذر ثلاثة. لإيجاد جذور الأعداد المركبة، نعرف أنه يمكننا استخدام نظرية ديموافر. وتنص نظرية ديموافر للجذور على أنه بإمكاننا إيجاد الجذر النوني لعدد مركب على الصورة ﻝ جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 عن طريق حساب ﻝ أس واحد على ﻙ في جتا 𝜃 زائد اثنين ‏𝜋‏ على ﻙ زائد ﺕ جا 𝜃 زائد اثنين ‏𝜋‏ﺭ على ﻙ؛ حيث يأخذ ﺭ قيمًا صحيحة من صفر إلى ﻙ ناقص واحد. في المعادلة لدينا، ذكرنا أننا سنحل عن طريق إيجاد الجذر التربيعي لكلا الطرفين. إذن، سنجعل ﻙ يساوي اثنين. هذا يعني أن ﺭ سيساوي صفرًا، وسيساوي واحدًا.

لكن بعد ذلك نلاحظ أن العدد المركب في المعادلة مكتوب على الصورة الديكارتية، وليس على الصورة القطبية. لذا، دعونا نرسم العدد المركب اثنان زائد اثنين جذر ثلاثة ﺕ على مخطط أرجاند لمساعدتنا في تحويله. بما أن العدد المركب يتكون من جزء حقيقي يساوي اثنين وجزء تخيلي يساوي اثنين جذر ثلاثة، فإننا سنشير إليه بنقطة إحداثياتها الديكارتية هي اثنان، اثنان جذر ثلاثة. إننا نعلم أن ﻝ هو المقياس، وهو طول القطعة المستقيمة التي تصل هذه النقطة بنقطة الأصل. يمكننا استخدام صيغة المسافة لإيجاد المقياس. بعبارة أخرى، نوجد الجذر التربيعي لمجموع مربعي الجزء الحقيقي والجزء التخيلي. إذن، هذا يساوي الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد اثنين جذر ثلاثة تربيع. اثنان جذر ثلاثة تربيع يساوي أربعة في ثلاثة، وهذا يساوي ١٢. ومن ثم، يصبح لدينا الجذر التربيعي لأربعة زائد ١٢. هذا يساوي جذر ١٦، وهو ما يساوي أربعة. طول القطعة المستقيمة يساوي أربع وحدات، إذن ﻝ، وهو مقياس العدد المركب، يساوي أربع وحدات.

إننا نريد بعد ذلك إيجاد السعة. ونحن نعلم أن السعة هي الزاوية التي تصنعها هذه القطعة المستقيمة مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. بالنسبة إلى الأعداد المركبة التي تقع في الربع الأول، يمكننا استخدام نسبة ظل الزاوية. وفي الحالة لدينا، نجد أن طول الضلع المقابل للزاوية المحصورة 𝜃 يساوي اثنين جذر ثلاث وحدات، والضلع المجاور لها يساوي وحدتين. سنقسم كلًّا من بسط هذا الكسر ومقامه على اثنين. ونحصل بذلك على ظا 𝜃 يساوي الجذر التربيعي لثلاثة. في الواقع، نحن نعرف هذه القيمة. نعلم أن ظا ‏𝜋‏ على ثلاثة راديان يساوي الجذر التربيعي لثلاثة. وعليه، فإن السعة 𝜃 تساوي ‏𝜋‏ على ثلاثة. وبهذا نكون قد كتبنا العدد المركب على الصورة القطبية. إنه أربعة جتا ‏𝜋‏ على ثلاثة زائد ﺕ جا ‏𝜋‏ على ثلاثة.

نحن الآن مستعدون لتطبيق نظرية ديموافر؛ حيث ﻙ يساوي اثنين. المقياس هو أربعة أس نصف. ولكن بالطبع، أربعة أس نصف يساوي الجذر التربيعي لأربعة، وهو ما يساوي اثنين. إذن، الصورة العامة لسعة الحل هي ‏𝜋‏ على ثلاثة زائد اثنين ‏𝜋‏ﺭ على اثنين. لإيجاد الحل الدقيق، سنعوض بـ ﺭ يساوي صفرًا وﺭ يساوي واحدًا في هذا التعبير. عند ﺭ يساوي صفرًا، نحصل على اثنين جتا ‏𝜋‏ على ثلاثة زائد صفر على اثنين زائد ﺕ جا ‏𝜋‏ على ثلاثة زائد صفر على اثنين. لكن بالطبع ‏𝜋‏ على ثلاثة زائد صفر يساوي ‏𝜋‏ على ثلاثة. إذن، البسط هو ‏𝜋‏ على ثلاثة، وعلينا قسمة ذلك على اثنين.

عندما نفعل ذلك، نجد أن الحل الأول للمعادلة هو اثنان في جتا ‏𝜋‏ على ستة زائد ﺕ جا ‏𝜋‏ على ستة. لكن جتا ‏𝜋‏ على ستة يساوي جذر ثلاثة على اثنين، وجا ‏𝜋‏ على ستة يساوي نصفًا، ومن ثم يمكننا فك هذين القوسين بالتوزيع. اثنان في الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين يساوي الجذر التربيعي لثلاثة. واثنان في نصف ﺕ يساوي ﺕ فقط، وبذلك نكون قد وصلنا إلى الحل الأول للمعادلة. لإيجاد الحل الثاني، سنعوض بـ ﺭ يساوي واحدًا في الصورة العامة. هذه المرة، نحصل على سعة تساوي ‏𝜋‏ على ثلاثة زائد اثنين ‏𝜋‏ على اثنين. ‏‏𝜋‏ على ثلاثة زائد اثنين ‏𝜋‏ يساوي سبعة ‏𝜋‏ على ثلاثة. وعندما نقسم ذلك على اثنين، يكون الناتج سبعة ‏𝜋‏ على ستة. إذن، لدينا اثنان في جتا سبعة ‏𝜋‏ على ستة زائد ﺕ جا سبعة ‏𝜋‏ على ستة.

سنوجد قيمة جتا سبعة ‏𝜋‏ على ستة، حيث يصبح لدينا سالب جذر ثلاثة على اثنين. وبالمثل، جا سبعة ‏𝜋‏ على ستة يساوي سالب نصف. وأخيرًا، سنفك هذين القوسين بالتوزيع، فنحصل على الحل الثاني للمعادلة؛ وهو سالب جذر ثلاثة ناقص ﺕ. وبذلك، نكون قد استخدمنا نظرية ديموافر لحل المعادلة. ونكتب ذلك باستخدام ترميز المجموعة كما هو موضح. إذن، نجد أن مجموعة حل المعادلة الموجودة في مجموعة الأعداد المركبة هي المجموعة التي تحتوي على العنصرين جذر ثلاثة زائد ﺕ وسالب جذر ثلاثة ناقص ﺕ.