نسخة الفيديو النصية
أسطوانتان معدنيتان لهما نفس الحجم تحتويان على نفس الغاز عند نفس الضغط. في الأسطوانة 1، درجة الحرارة 𝑇 واحد للغاز تساوي 350 كلفن. في الأسطوانة 2، درجة الحرارة 𝑇 اثنان للغاز تساوي 400 كلفن. ما نسبة عدد مولات الغاز 𝑛 اثنين في الأسطوانة 2 إلى عدد مولات الغاز 𝑛 واحد في الأسطوانة 1؟
لنفترض أن هاتين هما الأسطوانتان. وعلمنا أن لهما نفس الحجم وتحتويان على نفس الغاز. عدد مولات الغاز في الأسطوانة 2 هو 𝑛 اثنان، وعدد مولات الغاز في الأسطوانة 1 هو 𝑛 واحد. نريد إيجاد نسبة 𝑛 اثنين إلى 𝑛 واحد.
لمساعدتنا في ذلك، سنتعامل مع الغاز الموجود في كل من الأسطوانتين على أنه غاز مثالي. هذا يعني أنه يمكننا وصف الغاز باستخدام قانون الغاز المثالي المكتوب بدلالة عدد مولات الغاز. يوضح لنا هذا القانون أن ضغط الغاز المثالي مضروبًا في حجمه يساوي عدد مولات الغاز مضروبًا في ثابت مضروبًا في درجة حرارة الغاز. يمكننا كتابة تعبير لقانون الغاز المثالي للغاز الموجود في الأسطوانة 1، وتعبير آخر منفصل للغاز الموجود في الأسطوانة 2.
فيما يتعلق بالغاز الموجود في الأسطوانة 1، فإن الضغط 𝑃 واحد مضروبًا في الحجم 𝑉 واحد يساوي عدد مولات الغاز 𝑛 واحد مضروبًا في ثابت الغاز 𝑅 مضروبًا في درجة حرارة الغاز 𝑇 واحد. 𝑅 الذي يسمى «ثابت الغاز المولي» هو بالفعل قيمة ثابتة. ولهذا، لا يوجد رقم أسفله في هذه المعادلة. فدائمًا ما يكون له القيمة نفسها بغض النظر عن الغاز المثالي الذي نتناوله. إذن هذه هي معادلة الغاز الموجود في الأسطوانة 1.
والآن، يمكننا كتابة تعبير مشابه للغاز الموجود في الأسطوانة 2. يمكننا كتابة أن ضغط هذا الغاز 𝑃 اثنين مضروبًا في حجمه 𝑉 اثنين يساوي عدد مولات الغاز في الأسطوانة 2، أي 𝑛 اثنين، مضروبًا في 𝑅 مضروبًا في درجة الحرارة 𝑇 اثنين. وبما أننا نريد إيجاد النسبة 𝑛 اثنين على 𝑛 واحد، يمكننا جعل 𝑛 واحد في طرف بمفرده في هذه المعادلة و𝑛 اثنين في طرف بمفرده في هذه المعادلة الأخرى.
نبدأ بالمعادلة الأولى، ونقسم كلا الطرفين على ثابت الغاز المولي 𝑅 مضروبًا في درجة الحرارة 𝑇 واحد. يعني ذلك أن هذين العاملين يحذفان من الطرف الأيمن. فنجد أن 𝑛 واحد يساوي 𝑃 واحد مضروبًا في 𝑉 واحد مقسومًا على 𝑅 في 𝑇 واحد. وبالمثل، نفعل ذلك أيضًا في المعادلة الثانية. لجعل 𝑛 اثنين في طرف بمفرده، سنقسم كلا الطرفين على 𝑅 في 𝑇 اثنين. يؤدي هذا إلى حذف هذين العاملين في الطرف الأيمن. فنجد أن 𝑛 اثنين يساوي 𝑃 اثنين في 𝑉 اثنين مقسومًا على 𝑅 في 𝑇 اثنين.
نفرغ بعض المساحة لاستكمال الحل، ونعوض بهذين التعبيرين لـ 𝑛 واحد و𝑛 اثنين في هذه النسبة. وبذلك، نحصل على هذا الكسر. إذا ضربنا بسط هذا الكسر ومقامه في 𝑅 مضروبًا في 𝑇 واحد، فسنلاحظ أن هذين العاملين سيحذفان في المقام. وفي البسط، سيحذف ثابت الغاز المولي 𝑅، لكن تظل درجتا الحرارة. فنحصل على هذا التعبير. وإذا ضربنا البسط والمقام في واحد مقسومًا على 𝑃 واحد في 𝑉 واحد، فسنحذف كلًّا من 𝑃 واحد و𝑉 واحد في المقام. يبسط الكسر إلى 𝑃 اثنين في 𝑉 اثنين في 𝑇 واحد مقسومًا على 𝑃 واحد في 𝑉 واحد في 𝑇 اثنين. لاحظ أنه يمكننا كتابة هذا الكسر في صورة نسبة منفصلة لكل من الضغط والحجم ودرجة الحرارة في الأسطوانتين.
نتذكر الآن أن الأسطوانتين لهما نفس الحجم، وتحتويان على غاز عند نفس الضغط. هذا يعني أن 𝑉 واحد، أي حجم الأسطوانة 1، يساوي حجم الأسطوانة 2، أي 𝑉 اثنين. وعليه، فإن 𝑉 اثنين مقسومًا على 𝑉 واحد يساوي واحدًا. وبالمثل، الضغط 𝑃 واحد يساوي الضغط 𝑃 اثنين. ومن ثم، فإن 𝑃 اثنين مقسومًا على 𝑃 واحد يساوي واحدًا أيضًا. إذن، نسبة عدد المولات تعتمد على نسبة درجتي الحرارة في الأسطوانتين.
نعلم من المعطيات أن درجة الحرارة 𝑇 واحد للغاز في الأسطوانة 1 هي 350 كلفن، ودرجة حرارة الغاز في الأسطوانة 2 هي 400 كلفن. لاحظ أنه في هذه النسبة، ستحذف وحدة الكلفن في كل من البسط والمقام. وعند كتابة النسبة في صورة عدد عشري، فإن 350 مقسومًا على 400 يساوي 0.875. إذن، هذه هي نسبة عدد مولات الغاز 𝑛 اثنين في الأسطوانة 2 إلى عدد مولات الغاز 𝑛 واحد في الأسطوانة 1.
