نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب العلاقة بين عدد مولات الغاز المثالي وقيم خواصه الإجمالية. وبالطبع، ستختلف طريقة حسابنا عما نراه هنا.
في البداية، علينا ملاحظة أنه عند التعامل مع غاز مثالي، فهذا يعني أن الغاز يتكون من عدد كبير من الجزيئات المتطابقة المهملة الحجم. ولكل جزيء غاز خواص مثل الكتلة والسرعة. لكن عند التعامل مع غاز مثالي، وهو كما ذكرنا يتكون من العديد من الجزيئات، فما يعنينا عادة هو ما يسمى بالخواص الإجمالية للغاز. وهي خواص الضغط والحجم ودرجة الحرارة التي تنطبق على الغاز كله. يمكننا وصف الغاز المثالي بدلالة خواصه الإجمالية من تلخيص سلوك العديد من الجزيئات.
نعلم، على سبيل المثال، أن ضغط الغاز ينشأ بسبب التصادمات بين جزيئات الغاز وجدران وعاء هذا الغاز. وبدلًا من أن نأخذ في الاعتبار كل تصادم على حدة، يمكننا ببساطة وصف الخاصية الإجمالية لضغط الغاز. إذا مثلنا ضغط الغاز المثالي بـ 𝑃، وحجمه بـ 𝑉، ودرجة حرارته بـ 𝑇، فإن هذه الخواص الثلاث ترتبط معًا من خلال هذه المعادلة. ضغط الغاز المثالي مضروبًا في حجمه يتناسب طرديًّا مع درجة حرارته.
لكي نتعرف قليلًا على طبيعة هذه العلاقة، دعونا نتخيل أننا نحتفظ بوعاء الغاز كما هو، أي نبقي حجم الغاز ثابتًا، لكن مع رفع درجة حرارته. لعلنا نتذكر أن درجة حرارة الغاز ترتبط بالسرعة المتوسطة لجزيئاته. ومن ثم، فإن الارتفاع في درجة الحرارة يعني أن السرعة المتوسطة لهذه الجزيئات ستزيد هي الأخرى. ولذلك عند تصادم جزيئات الغاز مع جدران الوعاء، فإنها ستفعل ذلك بمعدل أكبر وبسرعة متوسطة أعلى، ومن ثم ستؤثر عمومًا بضغط أكبر على جدران الوعاء.
إذن، في حالة الغاز المثالي، يتناسب ضغط الغاز مضروبًا في حجمه تناسبًا طرديًّا مع درجة حرارته. رياضيًّا، متى تكن لدينا كمية معينة تتناسب طرديًّا مع كمية أخرى، يمكنا الربط بين هاتين الكميتين باستخدام معادلة. تحديدًا، نكتب أن الكمية الأولى، وهي في هذه الحالة 𝑃 في 𝑉، تساوي ثابتًا، وقد سمينا هذا الثابت 𝑘، مضروبًا في الكمية الأخرى، وهي في هذه الحالة درجة الحرارة 𝑇. أما 𝑘، فهو ثابت، وهذا ما يعني أنه لا يعتمد على ضغط الغاز أو حجمه أو درجة حرارته. ولكنه يعتمد على عدد الجزيئات في الغاز المثالي.
يمكننا هنا تذكر طريقة شائعة لوصف عدد العناصر عندما يكون هذا العدد كبيرًا جدًّا. لفعل ذلك، نستخدم كمية تسمى المول. المول الواحد من أي عنصر يساوي تقريبًا ستة في 10 أس 23 من ذلك العنصر. إن كمية المولات مفيدة في التعامل مع أعداد كبيرة من العناصر وجعل ذلك أكثر سهولة. ذكرنا كل ذلك لأن الثابت 𝑘، الذي قلنا إنه يعتمد على عدد جزيئات الغاز، يمكن التعبير عنه في صورة عدد مولات الغاز المثالي، وهو 𝑛، مضروبًا في القيمة 𝑅 التي تسمى ثابت الغاز المولي.
باستخدام هذه الحقيقة التي تتمثل في إن 𝑘 يمكن كتابته على الصورة 𝑛 في 𝑅، يمكننا كتابة معادلة وصف الغاز المثالي على هذه الصورة. الضغط 𝑃 للغاز المثالي مضروبًا في حجمه 𝑉 يساوي عدد مولات هذا الغاز 𝑛 في ثابت الغاز المولي 𝑅 مضروبًا في درجة حرارة الغاز 𝑇. تسمى هذه المعادلة أحيانًا قانون الغاز المثالي. لكنه، على وجه التحديد، قانون الغاز المثالي بدلالة عدد مولات الغاز. سنتدرب، بعد قليل، على استخدام هذه العلاقة.
لكن في الوقت الحالي، علينا ملاحظة أن القيمة التقريبية لثابت الغاز المولي، 𝑅، هي 8.31 جول لكل كلفن مول. قد تبدو وحدة 𝑅 غريبة، لكن علينا تذكر أن 𝑛 يعبر عنه بوحدة المول، ودرجة الحرارة 𝑇 يعبر عنها بالكلفن. ومن ثم، عند ضرب 𝑛 بوحدة المول في 𝑅 بوحدة الجول لكل كلفن مول، وضرب ذلك في 𝑇 بوحدة الكلفن، تحذف وحدتا المول من البسط والمقام، وكذلك وحدتا الكلفن. وبذلك يتبقى لدينا وحدة الجول.
والجول، كما نتذكر، يساوي نيوتن في متر. ونظرًا لأنه يمكن التعبير عن النيوتن في صورة كيلوجرام متر لكل ثانية تربيع، يمكننا التعبير عن الجول في صورة كيلوجرام متر مربع لكل ثانية تربيع. كل ذلك يعني أن لدينا مجموعة أخرى من الوحدات نكتب بدلالتها ثابت الغاز المولي 𝑅. فيمكننا كتابة هذا الثابت على الصورة 8.31 كيلوجرام متر مربع لكل ثانية تربيع كلفن مول. هذه طريقة أخرى لكتابة نفس القيمة الموضحة في الأعلى.
بعد أن عرفنا كل ذلك عن قانون الغاز المثالي بدلالة عدد المولات، دعونا نتناول الآن مثالًا.
حاوية حجمها 0.225 متر مكعب تحتوي على 2.24 مول من غاز الأكسجين عند درجة حرارة 320 كلفن. أوجد الضغط على الأسطح الداخلية للحاوية. استخدم القيمة 8.31 متر مربع كيلوجرام لكل ثانية تربيع كلفن مول لثابت الغاز المولي. قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
لنفترض أن هذه هي الحاوية التي تحتوي على غاز الأكسجين. علمنا من المعطيات أن حجم الحاوية، الذي سنرمز له بالرمز 𝑉، يساوي 0.225 متر مكعب، وعدد مولات الغاز، الذي سنرمز له بالرمز 𝑛، يساوي 2.24. علاوة على ذلك، يوجد الغاز عند درجة حرارة 𝑇 مقدارها 320 كلفن. عندما تكون درجة الحرارة فوق الصفر المطلق، مثل هذه الدرجة، فهذا يعني أن جزيئات الأكسجين الموجودة في الحجم تتحرك. وفي أثناء تحرك الجزيئات، يتصادم بعضها ببعض وبجدران الحاوية. والتأثير الكلي لهذه التصادمات على الأسطح الداخلية للحاوية هو إحداث ضغط. وهذا الضغط هو الذي نريد إيجاد قيمته.
لفعل ذلك، سنستخدم صورة من قانون الغاز المثالي تتضمن عدد مولات الغاز، وهو 𝑛. تنص هذه المعادلة على أن ضغط الغاز المثالي 𝑃 مضروبًا في حجم هذا الغاز يساوي عدد مولات الغاز في ثابت الغاز المولي 𝑅 مضروبًا في درجة حرارة الغاز 𝑇. مع وجود غاز الأكسجين في الحاوية، الذي نتعامل معه على أنه غاز مثالي، نريد إيجاد قيمة ضغطه.
لذا، علينا إعادة ترتيب معادلة قانون الغاز المثالي هذه بحيث يكون الضغط 𝑃 في طرف بمفرده. يمكننا فعل ذلك بقسمة كلا طرفي المعادلة على حجم الغاز 𝑉. في الطرف الأيسر، يحذف الحجم 𝑉 من البسط والمقام. ونجد أن الضغط 𝑃 يساوي 𝑛 في 𝑅 في 𝑇 الكل مقسومًا على 𝑉. يعطينا نص المسألة قيم الحجم 𝑉 وعدد المولات 𝑛 ودرجة حرارة الغاز 𝑇. بالإضافة إلى ذلك، لدينا قيمة محددة لاستخدامها لثابت الغاز 𝑅. ومن ثم، يمكننا التعويض بكل هذه القيم الأربع في المعادلة لإيجاد 𝑃.
نلاحظ أنه في البسط تحذف وحدتا المول، ووحدتا الكلفن كذلك. وبذلك تكون الوحدات المتبقية في هذه المعادلة مكافئة لوحدة الضغط الباسكال. عندما نحسب هذه القيمة، نحصل على 26473 باسكال تقريبًا. نتذكر هنا أن 1000 باسكال يساوي كيلو باسكال واحدًا. إذا أردنا إذن تحويل الإجابة إلى وحدة الكيلو باسكال، فسنحرك العلامة العشرية خانة، خانتين، ثلاث خانات إلى اليسار. وبذلك نحصل على قيمة للضغط تساوي 26.473 كيلو باسكال. يطلب منا السؤال تقريب الإجابة إلى أقرب منزلة عشرية. بما أن الرقم الذي يقع بعد العلامة العشرية بمنزلتين أكبر من خمسة، فهذا يعني أننا سنقرب لأعلى، وبذلك تكون الإجابة النهائية 26.5 كيلو باسكال. هذا هو الضغط الناشئ على الأسطح الداخلية للحاوية نتيجة لغاز الأكسجين.
دعونا نتناول الآن مثالًا آخر.
سحابة غاز ضغطها 220 كيلو باسكال، ودرجة حرارتها 440 كلفن. يحتوي الغاز على 8.2 مولات من جزيء كتلته المولية 10.5 جرامات لكل مول. أوجد حجم السحابة. استخدم القيمة 8.31 متر مربع كيلوجرام لكل ثانية تربيع كلفن مول لثابت الغاز المولي. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
لنفترض أن هذه هي سحابة الغاز. نعلم من المعطيات ضغط الغاز ودرجة حرارته كذلك. ونعرف أن هذا الغاز يحتوي على 8.2 مولات من الجزيء الذي يتكون منه الغاز. بمعرفة كل ذلك، نريد إيجاد حجم السحابة، الذي سنرمز له بالرمز 𝑉. يمكننا البدء في ذلك بتذكر قانون الغاز المثالي بدلالة عدد مولات الغاز 𝑛.
تنص هذه المعادلة على أن ضغط الغاز المثالي مضروبًا في حجمه يساوي عدد مولات هذا الغاز مضروبًا في ثابت الغاز المولي مضروبًا في درجة حرارة الغاز. وكما رأينا، نريد في هذا المثال إيجاد حجم الغاز. بقسمة كلا طرفي المعادلة على ضغط الغاز 𝑃، نحذف هذا العامل في الطرف الأيسر. ونلاحظ أن حجم الغاز 𝑉 يساوي 𝑛 في 𝑅 في 𝑇 الكل مقسومًا على 𝑃.
سنفترض أن سحابة الغاز غاز مثالي، ومن ثم فإنها توصف بهذه المعادلة. يمكننا الآن إجراء خطوة التعويض بالقيم الأربع في الطرف الأيمن من المعادلة. 𝑛 يساوي 8.2 مولات. وثابت الغاز المولي 𝑅 يساوي 8.31 متر مربع كيلوجرام لكل ثانية تربيع كلفن مول، ودرجة حرارة الغاز تساوي 440 كلفن، وضغط الغاز يساوي 220 كيلو باسكال. أصبحنا الآن جاهزين تقريبًا لحساب قيمة 𝑉. لكن قبل أن نفعل ذلك، علينا تحويل وحدة الضغط من كيلو باسكال إلى باسكال. نفعل ذلك لكي تكون جميع الوحدات في هذه المعادلة مستندة إلى الأساس نفسه.
نتذكر أن الكيلو باسكال الواحد يساوي 1000 باسكال. إذن، إذا أخذنا هذا العدد وضربناه في 1000، فسيكون العدد الناتج، 220000، هو الضغط بوحدة الباسكال. والآن عندما نحسب هذا الكسر، سنحصل على ناتج بوحدة المتر المكعب. بحساب قيمة هذه المعادلة، نحصل على ناتج يساوي 0.136284 متر مكعب. لكن لاحظ أننا سنقرب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. بهذا المستوى من الدقة، يكون الحجم 0.14 متر مكعب. هذا هو حجم سحابة الغاز. ولاحظ أننا لم نحتج إلى استخدام الكتلة المولية للغاز لحل ذلك. فكانت معرفة عدد مولات الغاز الموجودة في السحابة كافية.
لنتناول الآن مثالًا أخيرًا.
غاز يتكون من 25.6 مولًا من الكربون يشغل حجمًا مقداره 0.128 متر مكعب، ويبلغ ضغطه 135 كيلو باسكال. أوجد درجة حرارة الغاز. استخدم القيمة 12.0107 جرامًا لكل مول للكتلة المولية للكربون، والقيمة 8.31 متر مربع كيلوجرام لكل ثانية تربيع كلفن مول لثابت الغاز المولي. قرب إجابتك لأقرب كلفن.
لنفترض أن هذا هو الغاز داخل الحجم المعطى. بمعرفتنا لهذا الحجم وضغط الغاز وعدد مولات الغاز، نريد إيجاد درجة حرارة الغاز، التي سنرمز لها بالرمز 𝑇. للبدء في ذلك، يمكننا تذكر قانون الغاز المثالي. ينص هذا القانون، المكتوب هنا بدلالة عدد مولات الغاز المثالي، على أنه إذا ضربنا ضغط الغاز المثالي في حجمه، فسيساوي حاصل الضرب عدد مولات الغاز مضروبًا فيما يسمى بثابت الغاز المولي مضروبًا في درجة حرارة الغاز.
درجة حرارة الغاز هي التي نريد إيجاد قيمتها. إذن سنعيد ترتيب هذه المعادلة لجعل 𝑇 في طرف بمفردها. بقسمة كلا طرفي المعادلة على 𝑛 في 𝑅، يحذف هذان العاملان في الطرف الأيمن. نرى بعد ذلك أن درجة حرارة الغاز المثالي تساوي ضغطه مضروبًا في حجمه على عدد مولات الغاز في ثابت الغاز المولي.
في نص المسألة، لدينا قيم جميع العوامل التي تظهر في الطرف الأيمن من هذه المعادلة. ضغط الغاز 𝑃 يساوي 135 كيلو باسكال، وحجمه 𝑉 يساوي 0.128 متر مكعب. ويوجد 25.6 مولًا من الغاز، وهي قيمة 𝑛. وثابت الغاز المولي 𝑅 يساوي 8.31 متر مربع كيلوجرام لكل ثانية تربيع كلفن مول. قبل حساب قيمة 𝑇، علينا تحويل وحدة الضغط من الكيلو باسكال إلى باسكال. سنجري هذا التحويل لكي تكون جميع الوحدات في هذه المعادلة متكافئة. ونعني بذلك التعبير عنها إما بالوحدات الأساسية في النظام الدولي للوحدات أو بوحدات يمكن تحويلها مباشرة إلى تلك الوحدات.
نعلم أن الكيلو باسكال الواحد يساوي 1000 باسكال. ومن ثم، للتحويل من الكيلو باسكال إلى الباسكال، سنضرب 135 في 1000. وبذلك نجد أن الضغط بوحدة الباسكال يساوي 135000 باسكال. نحن الآن جاهزون لحساب درجة الحرارة 𝑇. إذا قربنا الإجابة إلى أقرب عدد صحيح، أي إلى أقرب كلفن، فسنحصل على 81 كلفن. هذه هي درجة حرارة الغاز.
لاحظ أنه لإيجاد درجة الحرارة، لم نحتج إلى استخدام الكتلة المولية لهذا الغاز. بل استطعنا إيجاد قيمة درجة الحرارة باستخدام المعطيات الأخرى.
لنلخص الآن هذا الدرس في بعض النقاط الرئيسية. في هذا الفيديو، تعلمنا معادلة لقانون الغاز المثالي بدلالة عدد مولات الغاز. تنص هذه المعادلة على أن ضغط الغاز المثالي مضروبًا في حجمه يساوي عدد مولات الغاز في ثابت الغاز المولي مضروبًا في درجة حرارة الغاز.
ثابت الغاز المولي 𝑅 يساوي تقريبًا 8.31 جول لكل كلفن مول. وبكتابة هذا الثابت بالوحدات الأساسية في النظام الدولي للوحدات، سيساوي 8.31 متر مربع كيلوجرام لكل ثانية تربيع كلفن مول. وختامًا، رأينا من خلال مجموعة من الأمثلة أن قانون الغاز المثالي يتيح لنا إيجاد قيم الخواص الإجمالية للغاز، وهي ضغط الغاز وحجمه ودرجة حرارته.
