فيديو السؤال: إيجاد مجموع متسلسلة هندسية منتهية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموع المتسلسلة الهندسية ثلاثة على ٢٢ ناقص واحد على ٢٢ زائد واحد على ٦٦ وهكذا ناقص واحد على ١٧٨٢.

حسنًا، علمنا من المعطيات أن هذه متسلسلة هندسية. تذكر أن المتسلسلة الهندسية هي مجموع عدد معين من حدود المتتابعة الهندسية. والصيغة التي نستخدمها لإيجاد مجموع أول عدد ﻥ من الحدود في المتتابعة الهندسية هي: ﺃ في واحد ناقص ﺭ أس ﻥ الكل على واحد ناقص ﺭ؛ حيث ﺃ هو الحد الأول في المتتابعة، وﺭ هو النسبة المشتركة (أساس المتتابعة الهندسية). حسنًا، يمكننا ملاحظة أن ﺃ هنا يساوي ثلاثة على ٢٢. لكن ما قيمة النسبة المشتركة في هذه المتتابعة؟ يمكننا إيجاد النسبة المشتركة بقسمة أي حد في المتتابعة على الحد الذي يسبقه. يمكننا، على سبيل المثال، قسمة سالب واحد على ٢٢ على ثلاثة على ٢٢. وهذا يعطينا سالب ثلث. وكنا سنحصل على النتيجة نفسها بالطبع إذا قسمنا واحدًا على ٦٦ على سالب واحد على ٢٢.

إننا نعرف الآن قيمتي ﺃ وﺭ. لكننا لا نعرف عدد الحدود في المتتابعة. كيف يمكننا إذن إيجاد قيمة ﻥ؟ حسنًا، دعونا نسترجع أن الحد النوني في المتتابعة الهندسية يساوي ﺃ في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد. لدينا هنا ﺡﻥ، آخر حد في المتتابعة، وهو سالب واحد على ١٧٨٢. إذن يمكننا قول إن سالب واحد على ١٧٨٢ لا بد من أن يساوي ثلاثة على ٢٢ في سالب واحد على ثلاثة أس ﻥ ناقص واحد عند قيمة ما لـ ﻥ. وهذا هو ما نريد إيجاده. دعونا نقسم الطرفين على ثلاثة على ٢٢. وبذلك، نحصل على سالب واحد على ٢٤٣ يساوي سالب ثلث أس ﻥ ناقص واحد.

حسنًا، توجد طريقتان يمكننا بهما حل هذا. لكن في الواقع، الطريقة الأسهل هي ملاحظة أن ثلاثة أس خمسة يساوي ٢٤٣. ولأن الأس فردي، فإن سالب ثلاثة أس خمسة يجب أن يساوي سالب ٢٤٣. ويمكننا أيضًا مواصلة الحل وقول إن سالب ثلث أس خمسة يجب أن يساوي سالب واحد على ٢٤٣. إذن في هذه المعادلة، ﻥ ناقص واحد يجب أن يساوي خمسة، وهو ما يعني أن ﻥ يجب أن يساوي خمسة زائد واحد، وهذا يساوي ستة. من الواضح هنا أن علينا إيجاد مجموع الحدود الستة الأولى. هذا يساوي ﺃ، الذي يساوي ثلاثة على ٢٢، في واحد ناقص ﺭ أس ﻥ. حسنًا، هذا يساوي سالب ثلث أس ستة. وهذا كله مقسوم على واحد ناقص ﺭ؛ أي واحد ناقص سالب ثلث. وهذا يعطينا ٩١ على ٨٩١.

وبذلك نكون قد أوجدنا مجموع الحدود الستة الأولى للمتتابعة الهندسية التي حددنا أن حدها الأول هو ثلاثة على ٢٢، والنسبة المشتركة بها هي سالب ثلث، وعليه فإن مجموع المتسلسلة الهندسية في هذا السؤال هو ٩١ على ٨٩١. حسنًا، توجد طريقة يمكننا بها التحقق من بعض القيم التي حصلنا عليها. لقد حسبنا أن ﻥ يساوي ستة. وقد يكون من المنطقي بالفعل التحقق من أن الحد السادس في المتتابعة الهندسية هو بالفعل سالب واحد على ١٧٨٢. بالرجوع إلى صيغة الحد النوني، نجد أن الحد السادس هو ثلاثة على ٢٢ مضروبًا في سالب ثلث أس ستة ناقص واحد. وهذا يعطينا بالفعل سالب واحد على ١٧٨٢ كما هو مطلوب.