فيديو الدرس: مجموع متتابعة هندسية منتهية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب مجموع الحدود في متتابعة هندسية بها عدد منته من الحدود. سنبدأ بتذكر ما تعنيه المتتابعة الهندسية المنتهية. في المتتابعة الهندسية، يمكن إيجاد كل حد عن طريق ضرب الحد السابق في ثابت، مثالًا على ذلك: المتتابعة اثنان، ستة، ١٨، ٥٤، وهكذا مع توالي الأعداد. فلكي ننتقل من الحد الأول إلى الحد الثاني، ومن الثاني إلى الثالث، ومن الثالث إلى الرابع، علينا أن نضرب في ثلاثة؛ حيث إن اثنين مضروبًا في ثلاثة يساوي ستة، وستة مضروبًا في ثلاثة يساوي ١٨، و١٨ مضروبًا في ثلاثة يساوي ٥٤.

هذا الثابت، أي العدد ثلاثة في المثال، يعرف بأنه أساس المتتابعة الهندسية، ويرمز له بالحرف ﺭ. نرمز للحد الأول في أي متتابعة هندسية بالحرف ﺃ أو ﺡ واحد. وعندما نضرب ذلك الحد في الثابت ﺭ لنحصل على الحد التالي، أي الحد الثاني ﺡ اثنين، نجد أنه يساوي ﺃﺭ. والحد الثالث يساوي ﺃﺭ تربيع. يستمر هذا النمط، بحيث يكون الحد النوني مساويًا لـ ﺃ مضروبًا في ﺭ مرفوعًا للقوة ﻥ ناقص واحد. وهذا يعطينا صيغة عامة للحد النوني للمتتابعة الهندسية. سنتناول الآن كيفية حساب مجموع متتابعة هندسية منتهية.

يمكن كتابة مجموع أول عدد ﻥ من الحدود في متتابعة هندسية كما يلي. ‏ﺟﻥ يساوي ﺃ زائد ﺃﺭ زائد ﺃﺭ تربيع، وهكذا، حتى نصل لآخر حدين وهما: ﺃ مضروبًا في ﺭ مرفوعًا للقوة ﻥ ناقص اثنين، وﺃ مضروبًا في ﺭ مرفوعًا للقوة ﻥ ناقص واحد. سنسمي هذه المعادلة «المعادلة واحد». إذا ضربنا كل حد من حدود هذه المعادلة في ﺭ، فسنحصل على ﺭ مضروبًا في ﺟﻥ يساوي ﺃﺭ زائد ﺃﺭ تربيع زائد ﺃﺭ تكعيب، وهكذا؛ بحيث يصبح آخر حدين هما: ﺃ مضروبًا في ﺭ مرفوعًا للقوة ﻥ ناقص واحد، وﺃ مضروبًا في ﺭ مرفوعًا للقوة ﻥ. وسنسمي هذه المعادلة «المعادلة اثنين»، ثم نطرحها من «المعادلة واحد».

في الطرف الأيمن، لدينا ﺟﻥ ناقص ﺭ مضروبًا في ﺟﻥ. يمكننا أخذ ﺟﻥ عاملًا مشتركًا بحيث يصبح ذلك ﺟﻥ مضروبًا في واحد ناقص ﺭ. وفي الطرف الأيسر، عند الطرح نحذف الحدين ﺃﺭ، وكذلك الحدان ﺃﺭ تربيع. في الحقيقة، سنحذف جميع الحدود فيما عدا ﺃ في «المعادلة واحد»، وﺃ مضروبًا في ﺭ مرفوعًا لقوة ﻥ في «المعادلة اثنين». هذا يعني أن الطرف الأيسر يصبح: ﺃ ناقص ﺃ مضروبًا في ﺭ مرفوعًا للقوة ﻥ. هذان الحدان بينهما عامل مشترك وهو ﺃ، ومن ثم يمكننا أخذه عاملًا مشتركًا.

بعد ذلك، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على واحد ناقص ﺭ. وهذا يعطينا ﺟﻥ يساوي ﺃ مضروبًا في واحد ناقص ﺭ مرفوعًا للقوة ﻥ الكل مقسوم على واحد ناقص ﺭ. تمكننا هذه الصيغة من حساب مجموع أول عدد ﻥ من الحدود في متتابعة هندسية منتهية. سنتناول الآن بعض الأسئلة التي سنحتاج فيها لاستخدام هذه الصيغة.

متتابعة هندسية حدها الأول ثلاثة، وأساس المتتابعة خمسة. أوجد مجموع أول ستة حدود.

نعلم أن مجموع أول عدد ﻥ من الحدود في متتابعة هندسية، الذي يكتب ﺟﻥ، يساوي ﺃ مضروبًا في واحد ناقص ﺭ مرفوعًا للقوة ﻥ الكل مقسوم على واحد ناقص ﺭ. في هذا السؤال، نعلم أن الحد الأول ﺃ يساوي ثلاثة. وأساس المتتابعة الهندسية ﺭ يساوي خمسة. وما يعنينا هو مجموع أول ستة حدود. ومن ثم، فإن ﻥ يساوي ستة. وبالتعويض بهذه القيم، يصبح لدينا ﺟ ستة يساوي ثلاثة مضروبًا في واحد ناقص خمسة أس ستة الكل مقسوم على واحد ناقص خمسة. خمسة أس ستة أو خمسة مرفوعًا للقوة السادسة يساوي ١٥٦٢٥، وواحد ناقص خمسة يساوي سالب أربعة. وبكتابة هذه العملية الحسابية على الآلة الحاسبة، نحصل على ١١٧١٨. إذن، مجموع أول ستة حدود في المتتابعة الهندسية التي حدها الأول ثلاثة وأساسها خمسة هو: ١١٧١٨.

في السؤال التالي، سيكون علينا حساب أساس المتتابعة الهندسية ﺭ وعدد ﻥ من الحدود قبل حساب مجموع المتتابعة.

أوجد مجموع المتتابعة الهندسية ١٦، سالب ٣٢، ٦٤، وهكذا مع توالي الأعداد، وصولًا إلى ٢٥٦.

نعلم أن مجموع أي متتابعة هندسية، الذي يرمز له بـ ﺟﻥ، يساوي ﺃ مضروبًا في واحد ناقص ﺭ مرفوعًا للقوة ﻥ الكل مقسوم على واحد ناقص ﺭ. نلاحظ مباشرة من المتتابعة أن قيمة الحد الأول ﺃ تساوي ١٦. والحد الثاني، الذي هو ﺃ مضروبًا في ﺭ، يساوي سالب ٣٢. إذا أسمينا هاتين المعادلتين «المعادلة واحد» و«المعادلة اثنين»، يمكننا حساب قيمة ﺭ بقسمة المعادلة اثنين على المعادلة واحد. في الطرف الأيمن، لدينا ﺃﺭ مقسومًا على ﺃ، وفي الطرف الأيمن لدينا سالب ٣٢ مقسومًا على ١٦. وبما أن ﺃ لا يساوي صفرًا، يمكننا أن نحذفه من البسط والمقام في الطرف الأيمن. وسالب ٣٢ مقسومًا على ١٦ يساوي سالب اثنين.

قيمة ﺭ هذه منطقية لأننا نضرب الحد الأول ١٦ في سالب اثنين لنحصل على الحد الثاني سالب ٣٢. وينطبق هذا أيضًا عندما ننتقل من الحد الثاني إلى الحد الثالث. إذ إن سالب ٣٢ مضروبًا في سالب اثنين يساوي ٦٤. نعلم أن الحد النوني لأي متتابعة هندسية، الذي يكتب على الصورة ﺡﻥ، يساوي ﺃ مضروبًا في ﺭ مرفوعًا للقوة ﻥ ناقص واحد. ولحساب قيمة ﻥ، يمكننا التعويض بقيمتي ﺃ وﺭ، والحد النوني الذي قيمته ٢٥٦. هذا يعطينا المعادلة: ٢٥٦ يساوي ١٦ مضروبًا في سالب اثنين مرفوعًا للقوة ﻥ ناقص واحد. يمكننا قسمة الطرفين على ١٦؛ بحيث يصبح لدينا ١٦ يساوي سالب اثنين مرفوعًا للقوة ﻥ ناقص واحد.

نعلم أن سالب اثنين أس أربعة أو سالب اثنين مرفوعًا للقوة الرابعة يساوي ١٦. هذا يعني أن ﻥ ناقص واحد لا بد أن يساوي أربعة. وبإضافة واحد إلى طرفي هذه المعادلة، نجد أن قيمة ﻥ تساوي خمسة. لدينا الآن قيمة كل من ﺃ وﺭ وﻥ. إذن، مجموع أول خمسة حدود يساوي ١٦ مضروبًا في واحد ناقص سالب اثنين أس خمسة، الكل مقسوم على واحد ناقص سالب اثنين. يبسط هذا إلى ١٦ مضروبًا في واحد زائد ٣٢ الكل مقسوم على ثلاثة. عند كتابة هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على الناتج ١٧٦. إذن، مجموع المتتابعة الهندسية ١٦، سالب ٣٢، ٦٤، وهكذا مع توالي الأعداد، وصولًا إلى ٢٥٦ يساوي ١٧٦.

في السؤال التالي، علينا حساب عدد الحدود في متتابعة هندسية.

عدد حدود متتابعة هندسية حدها الأول هو ٧٢٩، وحدها الأخير هو واحد، ومجموع جميع الحدود يساوي ١٠٩٣ هو (فراغ).

يخبرنا السؤال أن الحد الأول في المتتابعة هو ﺡ واحد أو ﺃ يساوي ٧٢٩. والحد الأخير ﺡﻥ يساوي واحدًا. ونعلم أن ﺡﻥ يساوي ﺃ مضروبًا في ﺭ مرفوعًا للقوة ﻥ ناقص واحد. كما يخبرنا أيضًا أن مجموع كل الحدود ﺟﻥ يساوي ١٠٩٣؛ حيث ﺟﻥ يساوي ﺃ مضروبًا في واحد ناقص ﺭ مرفوعًا للقوة ﻥ الكل مقسوم على واحد ناقص ﺭ. وهدفنا في هذا السؤال هو حساب عدد الحدود ﻥ.

وبالتعويض بقيمة ﺃ، نجد أن ٧٢٩ مضروبًا في ﺭ مرفوعًا للقوة ﻥ ناقص واحد يساوي واحدًا. بقسمة كلا طرفي هذه المعادلة على ٧٢٩، نجد أن ﺭ مرفوعًا للقوة ﻥ ناقص واحد يساوي واحدًا على ٧٢٩. وباستخدام أحد قوانين الأسس أو القوى، يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيسر على الصورة: ﺭ مرفوعًا للقوة ﻥ على ﺭ أس واحد؛ لأن ﺱ مرفوعًا للقوة ﻭ ناقص ﻕ يساوي ﺱ مرفوعًا للقوة ﻭ مقسومًا على ﺱ مرفوعًا للقوة ﻕ. يمكننا بعد ذلك ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في ﺭ، لنحصل على أن ﺭﻥ يساوي واحدًا على ٧٢٩ ﺭ.

الآن سنفرغ بعض المساحة لنتناول الصيغة الثانية. هذا يعطينا ٧٢٩ مضروبًا في واحد ناقص واحد على ٧٢٩ ﺭ الكل مقسوم على واحد ناقص ﺭ يساوي ١٠٩٣. يمكننا توزيع القوس في بسط الطرف الأيمن لنحصل على ٧٢٩ ناقص ﺭ. بضرب كلا الطرفين في واحد ناقص ﺭ، نحصل على ٧٢٩ ناقص ﺭ يساوي ١٠٩٣ مضروبًا في واحد ناقص ﺭ. يمكننا مرة أخرى توزيع القوس أو فكه، لنحصل على ١٠٩٣ ناقص ١٠٩٣ﺭ. بطرح ٧٢٩ وإضافة ١٠٩٣ﺭ إلى كلا الطرفين، نحصل على:١٠٩٢ﺭ يساوي ٣٦٤. يمكننا بعد ذلك قسمة الطرفين على ١٠٩٢ لنجد أن ﺭ يساوي ثلثًا. يمكننا الآن التعويض بهذه القيمة هنا لحساب قيمة ﻥ.

إذن، ثلث مرفوعًا للقوة ﻥ يساوي واحدًا على ٧٢٩ مضروبًا في ثلث. نعلم أن ثلاثة أس ستة يساوي ٧٢٩. وهذا يعني أن ثلثًا أس ستة يساوي واحدًا على ٧٢٩. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيسر من المعادلة على الصورة: ثلث أس ستة مضروبًا في ثلث. مرة أخرى، باستخدام قوانين الأسس، يمكننا جمع الأسين. ستة زائد واحد يساوي سبعة. وبما أن ثلثًا مرفوعًا للقوة ﻥ يساوي ثلثًا أس سبعة، إذن ﻥ لا بد أن يساوي سبعة. إذن، فإن عدد حدود المتتابعة الهندسية التي حدها الأول ٧٢٩، وحدها الأخير واحد، ومجموع جميع الحدود يساوي ١٠٩٣ هو: سبعة.

في السؤال الأخير، علينا مرة أخرى إيجاد مجموع ﻥ من الحدود في متتابعة هندسية.

أوجد مجموع أول سبعة حدود في متتابعة هندسية؛ إذا كان ﺡ خمسة يساوي سالب ثمانية مضروبًا في ﺡ اثنين، وﺡ أربعة زائد ﺡ ستة يساوي سالب ٦٤.

نعلم أن الحد النوني لأي متتابعة هندسية، الذي يرمز له بـ ﺡﻥ، يساوي ﺃ مضروبًا في ﺭ مرفوعًا للقوة ﻥ ناقص واحد. إذن، الحد الخامس في المتتابعة يساوي ﺃ مضروبًا في ﺭ أس أربعة، والحد الثاني ﺡ اثنان يساوي ﺃﺭ. وبالمثل، الحد الرابع يساوي ﺃﺭ تكعيب، والحد السادس ﺡ ستة يساوي ﺃ مضروبًا في ﺭ أس خمسة. يمكننا إذن إعادة كتابة المعادلتين.

أولًا، لدينا ﺃ مضروبًا في ﺭ أس أربعة يساوي سالب ثمانية ﺃﺭ. وبما أن كلًّا من ﺃ وﺭ لا يمكن أن يساوي صفرًا، يمكننا قسمة كلا الطرفين على ﺃ وﺭ. وبهذا، يتبقى لدينا ﺭ تكعيب يساوي سالب ثمانية. يمكننا أخذ الجذر التكعيبي لكلا طرفي هذه المعادلة، وبهذا يصبح ﺭ مساويًا لسالب اثنين. يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمة ﺭ هذه في المعادلة الثانية. ‏ﺃﺭ تكعيب زائد ﺃﺭ أس خمسة يساوي سالب ٦٤. سالب اثنين تكعيب يساوي سالب ثمانية. إذن، الحد الأول يصبح سالب ثمانية ﺃ. وسالب اثنين أس خمسة يساوي سالب ٣٢. ومن ثم، تصبح المعادلة: سالب ثمانية ﺃ زائد سالب ٣٢ﺃ يساوي سالب ٦٤.

يبسط الطرف الأيمن إلى سالب ٤٠ﺃ. ويمكننا بعد ذلك قسمة كلا الطرفين على سالب ٤٠ لنحصل على ﺃ يساوي ثمانية على خمسة أو ثمانية أخماس. وهذا يساوي أيضًا العدد العشري ١٫٦. لدينا الآن قيمة كل من ﺭ، وﺃ، وقيمة ﻥ التي تساوي سبعة؛ حيث إننا نحتاج إلى حساب مجموع أول سبعة حدود. ولفعل ذلك، سنستخدم الصيغة: ﺟﻥ يساوي ﺃ مضروبًا في واحد ناقص ﺭ مرفوعًا للقوة ﻥ الكل مقسوم على واحد ناقص ﺭ. إذن، ﺟ سبعة يساوي ١٫٦ أو ثمانية على خمسة مضروبًا في واحد ناقص سالب اثنين أس سبعة الكل مقسوم على واحد ناقص سالب اثنين. وبكتابة هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على الناتج ٣٤٤ على خمسة. وفي الصورة العشرية، فإن ذلك يساوي ٦٨٫٨. إذن، مجموع أول سبعة حدود في متتابعة هندسية، إذا كان ﺡ خمسة يساوي سالب ثمانية مضروبًا في ﺡ اثنين، وﺡ أربعة زائد ﺡ ستة يساوي سالب ٦٤؛ هو:٣٤٤ على خمسة، أو ٦٨٫٨.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. المتتابعة الهندسية يكون حدها الأول هو ﺃ، وأساسها هو ﺭ. ويمكن إيجاد كل حد عن طريق ضرب الحد السابق في أساس المتتابعة الهندسية هذا. الحد النوني في أي متتابعة هندسية، الذي يكتب على الصورة ﺡﻥ، يساوي ﺃ مضروبًا في ﺭ مرفوعًا للقوة ﻥ ناقص واحد. ومجموع أول عدد ﻥ من الحدود في المتتابعة الهندسية، الذي يكتب على الصورة ﺟﻥ، يساوي ﺃ مضروبًا في واحد ناقص ﺭ مرفوعًا للقوة ﻥ مقسومًا على واحد ناقص ﺭ. ولقد رأينا في هذا الفيديو أنه يمكننا استخدام هاتين الصيغتين لحساب مجموع الحدود في متتابعة هندسية منتهية.