في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب مجموع الحدود في متتابعة هندسية بها عدد منتهٍ من الحدود.
ننظر إلى متتابعة يُمكِن إيجاد كلٍّ من حدودها بضرب الحد السابق في ثابت، على سبيل المثال، .
نُطلِق على هذا المُضاعِف الثابت النسبة المشتركة (أساس المتتابعة الهندسية). هناك طريقة أخرى لوصف المتتابعة، وهي أن نقول إن كلًّا من حدود المتتابعة يساوي الحد السابق له مضروبًا في أساس المتتابعة.
تُعرَف هذه باسم المتتابعة الهندسية، وفي هذه الحالة لدينا حدها الأول يساوي ٢، وأساسها يساوي ٣. وإذا كانت المتتابعة لدينا تتكوَّن مثلًا من الحدود الستة السابقة فقط (أو أيِّ عدد معيَّن من الحدود)، فسنُسمِّيها متتابعة هندسية منتهية؛ لأن بها عددًا منتهيًا من الحدود. أما إذا اتَّبعتِ المتتابعة هذا النمط إلى ما لا نهاية، كما تشير علامة الحذف في نهايتها، فسنُسمِّيها متتابعة هندسية غير منتهية.
تعريف: المتتابعة الهندسية
المتتابعة الهندسية هي متتابعة بها نسبة مشتركة، ، بين الحدود المتتالية. نرمز إلى الحد الأول بالرمز أو ، وإلى الحد الثاني بالرمز ، وإلى الحد الثالث بالرمز ، وهكذا. أما الحد النوني، فنرمز له بالرمز .
وكل حد يساوي الحد السابق له مضروبًا في أساس المتتابعة:
ويمكن التعبير عن هذا أيضًا بأنه الحد الأول مضروبًا في قوى أساس المتتابعة:
بالعودة إلى المتتابعة الهندسية التي بدأنا بها سابقًا، إذا عرفنا الأعداد الموجودة في المتتابعة، فسنتمكَّن من حساب أساسها بقسمة قيمة أحد حدودها على قيمة الحد السابق له. وبما أن النسبة تكون ثابتة بين جميع أزواج الحدود المتتالية، إذن لا يهم أيُّ زوج نختار لإجراء عملية الحساب هذه.
وبناءً على ذلك، تكون النسبة بين الحدَّيْن الأوَّلين هي ، والنسبة بين الحد الثاني والثالث هي ، وهكذا.
تعريف: أساس المتتابعة
بما أننا نضرب حدًّا واحدًا في أساس المتتابعة للحصول على الحد التالي له، إذن يمكننا التعبير عن ذلك بصورة عامة على النحو الآتي: وبقسمة طرفَي المعادلة على نحصل على:
أو بدلًا من ذلك، بناءً على التعريف الذي ينص على أن أيَّ حدٍّ هو حاصل ضرب الحد السابق له في أساس المتتابعة، نجد أن:
مجموع الحدود في متتابعة يُسمَّى متسلسلة. إذا كان لدينا متتابعة هندسية ، فإن المتسلسلة الهندسية المناظرة لها يمكن تمثيلها كما هو موضَّح:
في هذه الحالة، بجمع أول ١٠ حدود في المتسلسلة معًا، يمكننا أن نلاحظ أن مجموع هذه الحدود يساوي ٥٩ ٠٤٨.
ونستنتج الآن صيغة لمجموع أول عدد من الحدود في متتابعة هندسية.
افترض أن لدينا متتابعة هندسية حدها الأول وأساسها . إذا كان أول عدد من الحدود يمكن كتابته بالصورة ، فإن مجموع أول عدد من حدود المتتابعة الهندسية يمكن كتابته على النحو الآتي:
إذا ضربنا طرفَي المعادلة في ، فسنحصل على:
عند طرح المعادلة (٢) من المعادلة (١)، نجد أن جميع الحدود في الطرف الأيسر، باستثناء ، ، ستُحذف.
إذن:
بأخذ عاملًا مشتركًا من الطرف الأيسر، وأخذ من الطرف الأيمن، نتمكَّن من تكوين صيغة لـ :
بدلًا من ذلك، كان يمكننا أن نطرح المعادلة (١) من المعادلة (٢)، لنحصل على الصيغة:
تعريف: مجموع متتابعة هندسية منتهية
مجموع أول عدد من الحدود في متتابعة هندسية حدها الأول وأساسها ، يُرمَز له بالرمز :
بشكل عام، نستخدم الصورة الأولى عندما يكون ، ونستخدم الثانية عندما يكون .
وإذا كان ، فإن هذا يعني أن حدود المتتابعة الهندسية جميعها متساوية؛ لذا، كلُّ ما علينا فعله هو ضرب الحد الأول في عدد الحدود: .
في المثال الأول، نحسب مجموع الحدود الستة الأولى في متتابعة هندسية، بمعلومية أساسها والحد الأول.
مثال ١: حساب مجموع حدود معيَّنة في متتابعة هندسية منتهية
متتابعة هندسية حدها الأول ٣ وأساس المتتابعة ٥. أوجد مجموع أول ٦ حدود.
الحل
للإجابة عن هذا السؤال، نستخدم الصيغة لحساب مجموع أول عدد من الحدود في متتابعة هندسية، حدها الأول وأساسها :
يخبرنا السؤال أن الحد الأول ٣، وأساس المتتابعة ٥، وعلينا أن نحسب مجموع الحدود الستة الأولى؛ إذن نجعل ، ، :
من ثَمَّ، فإن مجموع أول ٦ حدود في المتتابعة الهندسية يساوي ١١ ٧١٨.
الإجابة: ١١ ٧١٨
في المثال الثاني، نستخدم صيغة الحد النوني للمتتابعة الهندسية المنتهية لمساعدتنا في حساب عدد الحدود؛ ومن ثَمَّ، إيجاد مجموع المتسلسلة.
مثال ٢: إيجاد مجموع متتابعة هندسية منتهية
أوجد مجموع المتتابعة الهندسية .
الحل
نُعرِّف الحد الأول في المتتابعة الهندسية بأنه . نجعل .
وبناءً على ذلك، يمكننا حساب قيمة أساس المتتابعة، ، بقسمة أحد الحدود على الحد السابق له:
إذن أساس المتتابعة يساوي . نجعل .
الحد الأخير في المتتابعة هو ٢٥٦. إذا عرَّفنا عدد الحدود في المتتابعة بأنه ، إذن يمكننا القول إن . وصيغة الحد النوني للمتتابعة الهندسية التي حدها الأول وأساسها هي:
نعرف أن:
إذن:
ومن ثَمَّ:
ولإيجاد مجموع المتسلسلة، يمكننا استخدام الصيغة ؛ حيث ، ، :
إذن مجموع المتتابعة الهندسية يساوي ١٧٦.
الإجابة: ١٧٦
في المثال التالي، علينا إعادة ترتيب الصيغة لحساب عدد الحدود في متتابعة هندسية معيَّنة.
مثال ٣: إيجاد عدد حدود متتابعة هندسية منتهية بمعلومية مجموعها
عدد حدود المتتابعة الهندسية التي حدها الأول هو ٧٢٩، وحدها الأخير هو ١، ومجموع جميع حدودها يساوي ١ ٠٩٣، هو .
الحل
نُعرِّف الحد الأول في المتتابعة الهندسية بأنه . نجعل .
والحد الأخير ؛ حيث ، النسبة المشتركة بين الحدود:
باستخدام قاعدة القسمة للأسس، ، يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيسر من المعادلة على النحو الآتي:
بعد ذلك، نتذكَّر صيغة مجموع أول عدد من الحدود في المتتابعة الهندسية، وهي كالآتي: . نجعل . إذن:
من المعادلة (٣) يمكننا استخدام بدلًا من :
إذن أساس المتتابعة هو ، ويمكننا التعويض به في المعادلة (٣) لحساب :
باستخدام قاعدة الضرب للأسس، ، يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيمن من المعادلة على النحو الآتي:
إذن .
إذن عدد حدود المتتابعة الهندسية التي حدها الأول هو ٧٢٩، وحدها الأخير هو ١، ومجموع جميع حدودها يساوي ١ ٠٩٣، هو ٧.
الإجابة: ٧
في المثال الرابع، علينا إيجاد المتتابعة الهندسية بمعلومية بعض المعطيات عن خواصها.
مثال ٤: إيجاد المتتابعة الهندسية بمعلومية حدها الأخير، وأساسها، ومجموع جميع حدودها
أوجد المتتابعة الهندسية إذا كان مجموع جميع حدودها ٣ ٣٣٩، والحد الأخير ١ ٦٩٦، وأساس المتتابعة ٢.
الحل
نُعرِّف أساس المتتابعة الهندسية على أنه . نجعل .
والحد الأخير ؛ حيث ، هو الحد الأول:
باستخدام قاعدة القسمة للأسس، ، يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيسر من المعادلة على النحو الآتي:
مجموع جميع حدود المتسلسلة الهندسية هو ؛ حيث :
نعلم من المعادلة (٤) أن ؛ لذا، نعوِّض بذلك في المعادلة (٥) لتكوين معادلة بدلالة يمكننا حلها:
إذن الحد الأول في المتتابعة هو ٥٣، وأساسها هو ٢.
يعني هذا أن الحد الثاني للمتتابعة يساوي ، والحد الثالث يساوي . ويمكننا إيجاد الحدود التالية بضرب الحد السابق في ٢.
إذن المتتابعة الهندسية هي
الإجابة:
في المثال الأخير، لدينا علاقة مضاعفة بين حدَّيْن غير متتاليين في متتابعة هندسية، ومجموع حدَّيْن مختلفين غير متتاليين. علينا استخدام ما نعرفه عن المتتابعات الهندسية لتحديد الحد الأول وأساس المتتابعة، ثم إيجاد مجموع عدد منتهٍ من الحدود.
مثال ٥: إيجاد مجموع عدد ن من الحدود في متتابعة هندسية في ظل وجود شرط معيَّن
أوجد مجموع أول ٧ حدود في متتابعة هندسية، إذا كان ، .
الحل
الحد النوني لمتتابعة هندسية حدها الأول ، وأساسها ، نرمز له بالرمز ؛ حيث .
يعني هذا أن ، .
بالتعويض بهذين المقدارين في المعادلة الأولى، ، نجد أن:
إن الحد الأول في المتتابعة الهندسية لا يساوي صفرًا؛ لأن مجموع حدَّيْن من حدودها لا يساوي صفرًا. وبما أن ، لا يساويان صفرًا، إذن يمكننا قسمة طرفَي المعادلة على :
والآن بعد أن عرفنا قيمة أساس المتتابعة، يمكننا استخدام المعادلة الثانية، ؛ حيث ، .
إذن:
بالتعويض بـ :
إذن الحد الأول في المتتابعة هو ، وأساسها هو .
يمكننا الآن حساب مجموع الحدود السبعة الأولى في المتتابعة الهندسية باستخدام الصيغة:
نضع : و:
إذن مجموع أول ٧ حدود في المتتابعة الهندسية هو .
الإجابة:
نختم هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.
النقاط الرئيسية
- المتتابعة الهندسية المنتهية تُكتَب على الصورة ؛ حيث هو الحد الأول، هو أساس المتتابعة، هو عدد الحدود في المتتابعة.
- الحد النوني في المتتابعة الهندسية هو .
- أساس المتتابعة الهندسية ، التي حدها النوني هو ، يُعطَى بواسطة أو .
- مجموع الحدود في المتتابعة يُسمَّى متسلسلة.
- مجموع أول عدد من الحدود في متتابعة هندسية، حدها الأول ، وأساسها ، يُرمَز له بالرمز ؛ حيث:
