فيديو السؤال: إيجاد قطر كرة بمعلومية كتلتها وكثافتها الفيزياء • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

محمل كرات فولاذي كتلته 0.034 جرام. أوجد قطر محمل الكرات بالملليمترات، لأقرب ملليمتر. قيمة كثافة الفولاذ 8000 كيلوجرام لكل متر مكعب.

لدينا في هذا الشكل محمل كرات فولاذي. ونعلم أن هذا المحمل كروي الشكل، والمطلوب منا إيجاد قطره. دعونا نشير إلى هذا القطر المجهول بالحرف ‪𝑑‬‏. ونشير أيضًا لكتلة الكرة بالحرف ‪𝑚‬‏، ونحن نعلم من المعطيات أن هذه الكتلة تساوي 0.034 جرام. المعلومة الأخرى التي نعلمها هي كثافة الفولاذ، أي المادة المصنوع منها محمل الكرات. عادة ما نشير إلى الكثافة بالرمز ‪𝜌‬‏، ونحن نعلم من المعطيات أن قيمة الكثافة في هذا السؤال 8000 كيلوجرام لكل متر مكعب. يمكننا تذكر أن الكثافة ‪𝜌‬‏ للجسم تساوي كتلته ‪𝑚‬‏ مقسومة على حجمه ‪𝑉‬‏. يمكننا أيضًا تذكر أن حجم الكرة ‪𝑉‬‏ يساوي أربعة أثلاث في ‪𝜋‬‏ في مكعب نصف قطر الكرة ‪𝑟‬‏.

في هذا السؤال، لا نريد إيجاد قيمة نصف القطر، بل نريد إيجاد قطر الكرة، الذي أشرنا له بالحرف ‪𝑑‬‏. نصف القطر ‪𝑟‬‏ هو المسافة من مركز الكرة إلى حافتها، بينما القطر ‪𝑑‬‏ هو المسافة الممتدة عبر الكرة من جانب إلى الجانب الآخر، مرورًا بمركز الكرة. إذن، القطر ‪𝑑‬‏ يساوي نصف القطر ‪𝑟‬‏ مضروبًا في اثنين. أو بقسمة طرفي هذه المعادلة على اثنين، يحذف الاثنان من بسط ومقام الطرف الأيمن، ويصبح لدينا نصف القطر ‪𝑟‬‏ يساوي القطر ‪𝑑‬‏ مقسومًا على اثنين.

يمكننا استخدام العلاقة بين نصف القطر والقطر للتعويض بنصف القطر ‪𝑟‬‏ في معادلة حجم الكرة. بالتعويض عن ‪𝑟‬‏ بـ ‪𝑑‬‏ على اثنين، نجد أن ‪𝑉‬‏ يساوي أربعة أثلاث في ‪𝜋‬‏ في مكعب ‪𝑑‬‏ على اثنين. يمكننا أيضًا كتابة ذلك على صورة أربعة أثلاث في ‪𝜋‬‏ في ‪𝑑‬‏ تكعيب على ثمانية. وبضرب الثلاثة والثمانية الموجودين في المقام، يصبح لدينا 24. وبهذا نحصل على الكسر أربعة على 24، وهو ما يمكن تبسيطه إلى واحد مقسومًا على ستة. إذن، الحجم ‪𝑉‬‏ للكرة يساوي سدسًا في ‪𝜋‬‏ في مكعب قطر الكرة. يمكننا استخدام هذه المعادلة مع هذه المعادلة لحساب الكثافة ‪𝜌‬‏ لحل هذه المسألة.

إذا أعدنا ترتيب معادلة الكثافة هذه لجعل ‪𝑉‬‏ في طرف بمفرده، فسيمكننا استخدام قيمتي الكتلة ‪𝑚‬‏ والكثافة ‪𝜌‬‏ لمحمل الكرات لحساب حجمه. وبعد إيجاد الحجم، يمكننا إعادة ترتيب معادلة حجم الكرة لنجعل القطر ‪𝑑‬‏ في طرف بمفرده. وبالتعويض بعد ذلك بقيمة الحجم ‪𝑉‬‏ المحسوبة، سنتمكن من إيجاد القطر ‪𝑑‬‏، وهو ما يطلبه السؤال. إحدى الصعوبات التي ستواجهنا هنا وحدات الكميات. المطلوب منا هو إيجاد القطر بالملليمتر، ونحن لدينا الكتلة بالجرام والكثافة بالكيلوجرام لكل متر مكعب.

دعونا نبدأ بتحويل الكتلة ‪𝑚‬‏ إلى وحدة الكيلوجرام؛ لكي تطابق وحدة الكثافة ‪𝜌‬‏. يمكننا تذكر أن الكيلوجرام الواحد يساوي 1000 جرام. بقسمة الطرفين على 1000، وحذف 1000 من بسط ومقام الطرف الأيمن، نجد أن الجرام الواحد يساوي واحدًا على الألف من الكيلوجرام. إذن، للتحويل من الجرام إلى الكيلوجرام، علينا أن نقسم على 1000. عند قسمة قيمة كتلة محمل الكرات بالجرامات على 1000، نحصل على الناتج 0.000034 كيلوجرام. ويمكننا أيضًا كتابة هذه القيمة بالصيغة العلمية على صورة 3.4 في 10 أس سالب خمسة كيلوجرام، حيث استخدمنا أس سالب خمسة لأننا حركنا العلامة العشرية خمس منازل لتحويل هذه القيمة إلى 3.4.

الآن، بعد أن أصبحت الكتلة ‪𝑚‬‏ بالكيلوجرام، لتطابق الكثافة بالكيلوجرام لكل متر مكعب، يمكننا استخدام هاتين القيمتين في معادلة حساب حجم الكرة ‪𝑉‬‏. في البداية، علينا أن نجعل ‪𝑉‬‏ في طرف بمفرده في المعادلة. وللقيام بذلك، سنضرب طرفي المعادلة في ‪𝑉‬‏. في الطرف الأيمن، يلغى ‪𝑉‬‏ في البسط مع ‪𝑉‬‏ في المقام. وبالتالي، يصبح لدينا الحجم ‪𝑉‬‏ في الكثافة ‪𝜌‬‏ يساوي الكتلة ‪𝑚‬‏. والآن، نقسم كلا طرفي المعادلة على الكثافة ‪𝜌‬‏. مرة أخرى، نحذف ‪𝜌‬‏ من بسط ومقام الطرف الأيسر. نحصل في النهاية على المعادلة: الحجم ‪𝑉‬‏ يساوي الكتلة ‪𝑚‬‏ مقسومة على الكثافة ‪𝜌‬‏.

إذا عوضنا بقيمتي ‪𝑚‬‏ و‪𝜌‬‏ لمحمل الكرات الفولاذي في الطرف الأيمن من هذه المعادلة، فسنجد أن حجم الكرة ‪𝑉‬‏ يساوي 3.4 في 10 أس سالب خمسة كيلوجرام مقسومًا على 8000 كيلوجرام لكل متر مكعب. بدلالة الوحدات، تحذف الكيلوجرامات من البسط والمقام. وهكذا يتبقى واحد مقسوم على واحد على متر مكعب، أو ببساطة وحدة المتر المكعب. عند إيجاد قيمة هذا التعبير، نحصل على الناتج 4.25 في 10 أس سالب تسعة متر مكعب. وهذه قيمة حجم محمل الكرات الفولاذي.

والآن، بعد أن أصبح لدينا قيمة الحجم ‪𝑉‬‏، سنستخدم هذه القيمة في معادلة حساب قطر محمل الكرات. دعونا نعد ترتيب المعادلة لنجعل القطر ‪𝑑‬‏ في طرف بمفرده. نبدأ بضرب طرفي المعادلة في ستة مقسومًا على ‪𝜋‬‏. في الطرف الأيمن، تحذف الستة و‪𝜋‬‏ في البسط مع نظيريهما في المقام. ويصبح لدينا ستة في ‪𝑉‬‏ مقسومًا على ‪𝜋‬‏ يساوي ‪𝑑‬‏ تكعيب. وبعد ذلك إذا أخذنا الجذر التكعيبي لكلا الطرفين، فسنجد أنه في الطرف الأيمن من المعادلة، لدينا الجذر التكعيبي لـ ‪𝑑‬‏ تكعيب يساوي ‪𝑑‬‏. وأخيرًا، بعكس المعادلة، نجد أن القطر ‪𝑑‬‏ يساوي الجذر التكعيبي لستة في الحجم ‪𝑉‬‏ مقسومًا على ‪𝜋‬‏.

نحن الآن جاهزون للتعويض بقيمة الحجم ‪𝑉‬‏ لمحمل الكرات في هذه المعادلة. وعندما نفعل ذلك، نحصل على هذا المقدار للقطر ‪𝑑‬‏. وبحساب قيمة المقدار تحت الجذر التكعيبي، نحصل على الناتج 8.1169 في 10 أس سالب تسعة متر مكعب، حيث تشير هذه النقاط إلى وجود منازل عشرية أخرى. بإيجاد قيمة ما تحت الجذر التكعيبي، نجد أن القطر ‪𝑑‬‏ يساوي 2.0097 مع توالي الأرقام في 10 أس سالب ثلاثة متر. لاحظ أنه بما أن الحجم ‪𝑉‬‏ كان بوحدة المتر المكعب، فإن القطر ‪𝑑‬‏ بوحدة المتر.

ولكن المطلوب منا هو إيجاد الإجابة بوحدة الملليمتر. دعونا نتذكر أن المتر يساوي 1000 ملليمتر، أو بشكل مكافئ؛ المتر الواحد يساوي 10 أس ثلاثة ملليمتر. إذن، للتحويل من متر إلى ملليمتر، علينا أن نضرب في 10 أس ثلاثة. إذا ضربنا قيمة القطر ‪𝑑‬‏، بوحدة المتر، في 10 أس ثلاثة، فسنحصل على 10 أس سالب ثلاثة مضروبًا في 10 أس ثلاثة، وهذا يساوي واحدًا. إذن، بوحدة الملليمتر، نجد أن قطر محمل الكرات يساوي 2.0097 إلى آخره ملليمتر.

آخر ما علينا فعله هو تقريب هذا الناتج لأقرب ملليمتر. وهذا يعطينا الإجابة النهائية لقطر محمل الكرات: اثنين ملليمتر.