شارح الدرس: حساب الكثافة الفيزياء

مثال ١: إيجاد كثافة جسم بمعلومية كتلته وحجمه

مكعب كتلته 30 kg. إذا كان حجم المكعب 0.02 m³، فما كثافته؟

الحل

يُمكن حساب كثافة الجسم من المعادلة حيث كتلة الجسم، و حجمه.

في هذا السؤال، نعلم من المُعطيات أن كتلة المكعب ، وحجمه .

علينا التعويض بالقيمتين المُعطاتين عن كتلة المكعب وحجمه في معادلة الكثافة. وبذلك نحصل على:

هيَّا نقسم هذا الكسر إلى جزء عددي، وجزء خاص بالوحدات. يُمكننا حساب الجزء العددي على أنه . ببساطة، يُمكننا أن نترك الوحدات في الكسر في صورة كيلوجرام لكل متر مكعب.

وبذلك، تكون إجابتنا النهائية هي:

مثال ٢: إيجاد كثافة جسم بدلالة كتلته وأبعاده

مكعب حديدي صغير طول ضلعه 0.15 m. إذا كانت كتلة المكعب 26.6 kg، فما كثافته؟ قرِّب إجابتك لأقرب كيلوجرام لكل متر مكعب.

الحل

في هذا السؤال، لدينا مكعب حديدي كتلته ، وطول ضلعه .

بمعلومية ذلك، المطلوب هو إيجاد الكثافة للمكعب. تذكَّر أن معادلة إيجاد الكثافة هي:

نعرف كتلة المكعب، لكننا لا نعرف حجمه. يُمكننا إيجاد حجمه باستخدام معادلة حجم المكعب، وهي: . إذن، لدينا هنا:

لقد وصلنا الآن إلى نقطة يُمكننا عندها إيجاد كثافة المكعب الحديدي. علينا التعويض بالكتلة ، والحجم في معادلة الكثافة. وبذلك نحصل على:

يُمكننا الآن تبسيط هذه النتيجة من خلال إيجاد القيمة العددية أولًا: . يُمكننا أن نترك الوحدات كما هي، أيْ تكون بوحدة كيلوجرام لكل متر مكعب. هذا يعني:

يطلب منَّا السؤال تقريب الإجابة لأقرب كيلوجرام لكل متر مكعب، وهو ما يعني أن الإجابة النهائية تكون:

مثال ٣: إيجاد حجم الجسم بمعلومية كتلته وكثافته

أوجد حجم قالب من الألومنيوم كتلته 54 kg. استخدم القيمة 2‎ ‎700 kg/m³ لكثافة الألومنيوم.

الحل

في هذا السؤال، لدينا كثافة قالب من الألومنيوم، والمطلوب هو إيجاد حجمه. نعلم من المُعطيات أن كتلة هذا القالب، والتي نرمز لها بالرمز تساوي 54 kg. ونعلم أيضًا أن كثافة مادة الألومنيوم، وهي المادة المصنوع منها القالب، هي .

يُمكننا إعادة ترتيب معادلة الكثافة: ، واستخدامها لحساب حجم هذا المكعب. إذا ضربنا طرفَيْ معادلة الكثافة في الحجم ، نحصل على:

يُمكننا بعد ذلك قسمة طرفي المعادلة على الكثافة، ، وهذا يُعطينا:

علينا الآن التعويض في هذه المعادلة بالقِيَم المُعطاة عن ، . وبذلك نحصل على:

لنقسم هذا الكسر إلى جزء عددي ووحدات. يُمكننا حساب الجزء العددي؛ حيث .

بالنسبة إلى الوحدات، يُمكننا أولًا قسمة بسط الكسر ومقامه على كيلوجرام، ونلاحِظ أن وحدتَيِ الـ kg تُلغي كلٌّ منهما الأخرى من الكسر. وثانيًا: إذا ضربنا البسط والمقام في متر مكعب، فسنلاحِظ أن وحدة m³ تُحذَف في المقام، لكن سيظلُّ لدينا m³ في الأعلى. هذا يعني أنه يتبقَّى لدينا إجمالًا:

وبذلك يكون الناتِج النهائي هو أن حجم قالب الألومنيوم يساوي 0.02 m³.

مثال ٤: إيجاد كتلة جسم بدلالة حجمه وكثافته

حُسِب حجم تاج ذهبي مُصمَت فوُجِد أنه يساوي 150 cm³. أوجد كتلة هذا التاج، باستخدام القيمة 19‎ ‎300 kg/m³ للتعبير عن كثافة الذهب. قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

الحل

في هذا السؤال، لدينا الحجم ، والكثافة لتاج ذهبي، ومطلوب إيجاد كتلته .

لنبدأ بأخذ معادلة الكثافة: ، وضرب الطرفين في الحجم، ، لنحصل على:

نستنتج من ذلك أن كتلة التاج تساوي كثافة التاج مضروبة في حجمه.

لكنْ قبل حساب الكتلة، يجب أن نلاحِظ أن كثافة التاج مُعطاة بوحدة الكيلوجرام لكل متر مكعب، لكن حجم التاج هنا بوحدة سنتيمتر مكعب.

هذا يعني أنه قبل الشروع في دمج هاتين الكميتين، علينا تحويلهما إلى وحدات متطابقة. هذا يعني هنا أن علينا تحويل الحجم ليكون بوحدة متر مكعب.

تذكَّر أن . وهذا يعني أن ؛ ومن ثَمَّ .

هذا يعني أن علينا قسمة الحجم بوحدة سنتيمتر مكعب على 1‎ ‎000‎ ‎000. وعندئذٍ يكون حجم التاج بوحدة متر مكعب هو:

يُمكننا الآن التعويض بالقِيَم التي نعرفها عن ، ، لإيجاد كتلة التاج:

يطلب منَّا السؤال تقريب الإجابة لأقرب منزلة عشرية؛ ومن ثَمَّ فإن الإجابة النهائية لكتلة التاج هي 2.9 kg.

لاحِظ أننا في هذه المسألة، لم نحتج إلى معرفة شكل التاج. فما دمنا نعلم حجم التاج، يُمكننا استخدام معادلة الكثافة لإيجاد كتلته.

مثال ٥: إيجاد كثافة كرة بمعلومية كتلتها ونصف قطرها

كرة بولينج كتلتها 5.5 kg. ونصف قطرها 7 cm. ما كثافة كرة البولينج؟ قرِّب إجابتك لأقرب كيلوجرام لكل متر مكعب.

الحل

مطلوب منَّا في هذا السؤال أن نحسب الكثافة، ، لجسم كروي بمعلومية كتلته ونصف قطره.

كتلة كرة البولينج هنا ، ونصف قطرها . لاحِظ أن المطلوب في السؤال هو إيجاد الكثافة بوحدة كيلوجرام لكل متر مكعب؛ لذا سيكون من المفيد لنا أن نحوِّل نصف القطر المُعطى بوحدة سنتيمتر، إلى وحدة متر، قبل الشروع في الحل.

وذلك عن طريق قسمة نصف القطر بوحدة السنتيمتر على 100، إذن .

بما أننا نعرف الآن جميع المعلومات اللازمة، فيُمكننا استخدام معادلة كثافة الكرة، وهي:

كل ما علينا فعله هو التعويض بقيمتَيْ ، . إذا فعلنا ذلك، سنحصل على:

إذا أوجدنا ذلك، مع تذكُّر تكعيب العدد والوحدات في المقام، فسنحصل على:

مطلوب منَّا تقريب الإجابة لأقرب كيلوجرام لكل متر مكعب، إذن إجابتنا النهائية هي:

مثال ٦: إيجاد حجم جسم ما بمعلومية كتلته وكثافته

كتلة كرة فولاذ 0.034 g. أوجد قُطْر الكرة بالملليمتر، لأقرب ملليمتر. استخدم القيمة 8‎ ‎000 kg/m³ لكثافة الفولاذ.

الحل

في هذا المثال، لدينا كتلة كرة الفولاذ ، وكذلك كثافتها . بمعلومية ذلك، مطلوب منَّا إيجاد قطر الكرة.

دعونا نُطلِقْ على قطر الكرة ، وتذكَّر أن القطر يساوي اثنين في نصف القطر. حسنًا، إذا كان نصف قطر الكرة ، فإن . بوضْع هذا في الاعتبار، دعونا أولًا نحسب نصف قطر الكرة، باستخدام معادلة إيجاد كثافة الكرة.

لنبدأ بإعادة ترتيب معادلة كثافة الكرة، حتى نتمكَّن من استخدامها لإيجاد نصف القطر . تُعطى كثافة الكرة بالمعادلة:

دعونا أولًا نضرب طرفَيْ هذه المعادلة في . وبذلك نحصل على:

يُمكننا قسمة الطرفين على لنحصل على:

والآن، يتضمن الطرف الأيمن من هذه المعادلة حدودًا نعرف قيمتها.

الخطوة الإضافية الوحيدة هنا هي تحويل كتلة الكرة، المُعطاة لنا بالجرام، إلى ال كيلوجرام. نريد فعل ذلك؛ لأن كثافة الفولاذ مُعطاة بوحدة كيلوجرام لكل متر مكعب.

نفعل ذلك بقسمة الكتلة بالجرام على 1‎ ‎000، إذن كتلة الكرة:

سيكون من الأسهل بكثير التعامل مع هذا الرقم إذا كتبناه بالصيغة العلمية. وبذلك نحصل على .

يُمكننا التعويض بقِيَم ، لنحصل على:

لاحِظ أن وحدة القياس kg تُلغَى، وتصبح الوحدة الناتِجة m³. يُمكننا أيضًا حساب الجزء العددي من هذا الكسر:

هذا يعني أننا أوجدنا قيمة نصف القطر تكعيب، وهي:

علينا الآن أخذ الجذر التكعيبي لهذا التعبير لإيجاد نصف قطر الكرة، وهذا يعطينا: حيث أخذنا الجذر التكعيبي للوحدات وكذلك العدد. يطلب منَّا السؤال كتابة الإجابة بوحدة الملليمتر؛ لذا دعونا نحوِّل إجابتنا (بوحدة المتر) إلى الملليمتر. وذلك عن طريق الضرب في 1‎ ‎000، وبهذا يكون:

علينا ضرب نصف القطر في اثنين لإيجاد قطر الكرة ، كما هو مطلوب في السؤال. وبالتقريب لأقرب ملليمتر، نحصل على:

هذه هي الإجابة النهائية: قطر الكرة يساوي 2 mm.

مثال ٧: إيجاد كثافة جسم بدلالة كتلته وأبعاده

قالب طوب كتلته 3.5 kg. القالب على شكل متوازي مستطيلات أطوال أضلاعه 23 cm، 11 cm، 7 cm. ما كثافة قالب الطوب؟ قرِّب إجابتك لأقرب كيلوجرام لكل متر مكعب.

الحل

في هذا السؤال، لدينا أبعاد وكتلة متوازي مستطيلات، والمطلوب منَّا إيجاد كثافته.

لا يُهِمُّ أيُّ الأبعاد نُطلِق عليها الطول أو الارتفاع أو العرض. في هذا المثال، لنفترض أن الطول هو أطول ضلع؛ إذن . لنفترض أن العرض هو الطول الأوسط؛ إذن . وأخيرًا، لنفترض أن الارتفاع أقصر طول؛ إذن .

لاحِظ أن هذه الأطوال كلها بوحدة السنتيمتر، لكن المطلوب حساب الكثافة بوحدة الكيلوجرام لكل متر مكعب. لذا سيكون من الأسهل تحويل المسافات إلى وحدة المتر قبل الشروع في حساب الكثافة. وذلك بقسمة كل مسافة بوحدة السنتيمتر على 100، وبهذا، يُمكن كتابة أبعاد قالب الطوب هكذا:

هذا يعني أننا جاهزون لحساب كثافة قالب الطوب. نستخدم هذه الأبعاد إلى جانب كتلة قالب الطوب المذكور في السؤال، وهي 3.5 kg. وهذا يُتيح لنا حساب الكثافة:

يُمكننا أولًا تبسيط الوحدات، لتصبح بوحدة كيلوجرام لكل متر مكعب، ثم حساب القيمة العددية:

وبالتقريب لأقرب كيلوجرام لكل متر مكعب، تكون كثافة قالب الطوب: وهذه هي الإجابة النهائية.